备战2024高考二轮复习讲义第3讲 分类讨论思想在解析几何中的应用

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。也是高考常考查的知识点。【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐标轴的直线截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．相离相切相交图形量化方程观点Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0几何观点deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过作圆的切线，则其切线方程为____________.．【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过,,三点的圆与直线的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定【变式1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线与直线平行，则的值为（）A. B.3 C.3或 D.或6【变式1.3】（202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（

）A． B． C． D．【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（

）A．或 B．C．或 D．【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．3、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点，，动点满足条件（为常数，且），则点的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆：和：，其中常数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（）A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）A． B．C．或 D．以上都不对【变式2.3】（2022湖北师大附中期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）A． B．C．或 D．以上都不对【应用三】分类讨论思想在圆锥曲线性质中的应用1、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b22、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)【例3.1】【2020年山东卷09】已知曲线C:mxA．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±D．若m=0，n>0，则C是两条直线【思维提升】圆锥曲线的性质的考查关键要注意焦点在什么轴上，进而确定a,b.c的值。不易明确的就要进行分类讨论。【变式3.1】（2022福建·莆田锦江中学高二期末）若椭圆的焦距为2，则（）A．3 B．5 C．2 D．1【变式3.2】（2023·广东广州·高三月考）已知曲线C：，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则C是圆B．若，且，则C是椭圆C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为D．若，则C是椭圆，其离心率为【变式3.3】【江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模）】已知双曲线C:x2a2−y212=1a>0，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A巩固练习1、（2022·河北唐山·高二期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或82、（2023·广东江门·统考一模）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示两条平行线，则B．若曲线表示双曲线，则C．若，则曲线表示椭圆D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆3、（2021·广东茂名·高三月考）（多选题）已知曲线：，则下列结论正确的是（）A．直线与曲线没有公共点B．直线与曲线最多有三个公共点C．当直线与曲线有且只有两个不同公共点，时，的取值范围为D．当直线与曲线有公共点时，记公共点为．则的取值范围为4、【2021年新高考2卷11】（多选题）已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切5、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为是圆与轴的交点，是坐标原点，则下列正确的是（）A．给定，对于任意，圆弧所对的圆心角B．对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角C．对于任意，该曲线有且仅有一个内接正D．当时，存在面积大于2022的内接正6、（2022·福建泉州·高二期中）已知两直线.若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数__________（写出一个即可）.7、（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二期中）过点作圆圆的切线，则的方程是___________.8、（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二期中）已知点，圆：，则过点且与圆相切的直线方程为___________.9、（2023·云南玉溪·统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。也是高考常考查的知识点。【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐标轴的直线截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．相离相切相交图形量化方程观点Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0几何观点deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过作圆的切线，则其切线方程为____________.【答案】或【分析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案．【详解】圆的圆心为，半径为1，（1）当过点的直线垂直于轴时，此时直线斜率不存在，方程是，圆心到直线的距离为，直线符合题意；（2）当过点的直线不垂直于轴时，设直线方程为，即．直线是的切线，点到直线的距离为，解之得，此时直线方程为．切线方程为或．故答案为：或．【思维提升】涉及到直线的方程问题。若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过,,三点的圆与直线的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．无法确定【答案】A【分析】先根据圆上三点坐标求出圆的方程及圆心半径,再根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系,得出圆与直线的位置关系.【详解】解:由题知,圆过,,三点,因为,所以,即,所以该圆是以为直径的圆,可得圆心为,即,半径,故圆的方程为,因为直线方程为:,所以圆心到直线的距离,当时,有,所以圆与直线相交,当时,有,所以圆与直线相交,综上:圆与直线的位置关系是相交.故选：A.【变式1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线与直线平行，则的值为（）A. B.3 C.3或 D.或6【答案】B【解析】【详解】直线：与直线：平行，所以，解得：或，①当时，：，：，，符合题意；②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，故，故选：B【变式1.3】（202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆：，圆：，下列直线中，与圆，都相切的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】解：、，，∴两圆相切，的中点坐标为，，所以内公切线方程为，整理得．设外公切线方程为，到外公切线的距离为，解得或，∴外公切线方程为或．故选：ACD．【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，所求切线的方程为.综上所述，所求切线方程为或.故选：C.【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．3、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点，，动点满足条件（为常数，且），则点的轨迹是______.【答案】线段或椭圆【分析】利用基本不等式求得，然后分和两种情况讨论，结合椭圆的定义可得出点的轨迹.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.①若，则点的轨迹为线段；②若，则点的轨迹为椭圆.综上所述，点的轨迹为线段或椭圆.故答案为：线段或椭圆.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。在求圆锥曲线的方程式特别是椭圆、双曲线要判断焦点在x轴，还是y轴。否则就要讨论。【变式2.1】（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学期中联考）（多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆：和：，其中常数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（）A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系确定和的关系，确定它的轨迹．【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为，已知两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切，①若均内切，则，，此时，当时，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，当，点在线段的垂直平分线上.②若均外切，则，，此时，当时，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，当，点在线段的垂直平分线上.③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则，，.同理，当与圆内切，与圆外切时，.此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.故选：BC．【变式2.2】（2022宁夏隆德高三期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）A． B．C．或 D．以上都不对【答案】C【分析】求得、、的值，由此可得出所求椭圆的方程.【详解】由题意可得，解得，，由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.故选：C【变式2.3】（2022湖北师大附中期末）若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）A． B．C．或 D．以上都不对【答案】C【解析】由题意可得，解得，，由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.故选：C.【应用三】分类讨论思想在圆锥曲线性质中的应用1、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b22、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)【例3.1】【2020年山东卷09】已知曲线C:mxA．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若m>n>0，则mx2+n因为m>n>0，所以1m即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2+n此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn对于C，若mn<0，则mx2+n此时曲线C表示双曲线，由mx2+n对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny=±nn，此时曲线C表示平行于故选：ACD.【思维提升】圆锥曲线的性质的考查关键要注意焦点在什么轴上，进而确定a,b.c的值。不易明确的就要进行分类讨论。【变式3.1】（2022福建·莆田锦江中学高二期末）若椭圆的焦距为2，则（）A．3 B．5 C．2 D．1【答案】AB【分析】根据椭圆的性质计算，注意分类讨论．【详解】由题意或，解得或．故选：AB．【变式3.2】（2023·广东广州·高三月考）已知曲线C：，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则C是圆B．若，且，则C是椭圆C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为D．若，则C是椭圆，其离心率为【答案】BC【分析】对于A：取特值，则，代入原方程可判断；对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断；对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.【详解】解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确；对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确，故选：BC.【变式3.3】【江苏省苏州市八校联盟2023届高三下学期5月适应性检测（三模）】已知双曲线C:x2a2−y212=1a>0，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A【答案】3【详解】记c=a2+12，若直线l与若直线l⊥x轴时，将x=c代入双曲线方程可得y=±12a，此时当2a=16时，则a=8，此时，24a=3；当所以，双曲线C的实轴长和通径长不可能同时为16；当直线l与x轴不重合时，记c=a2+设直线l的方程为x=my+c，其中m≠0，设点Ax1联立x=my+cx2a由题意可得12m2−Δ=由韦达定理可得y1+y所以，AB=24am所以，关于m的方程3a当12m2−a2可得m2=2a2+3当12m2−a2可得m2=2a2综上所述，32故答案为：32巩固练习1、（2022·河北唐山·高二期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】分焦点在轴或轴两种情况，讨论椭圆的长轴长.【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，则，离心率，则，椭圆的长轴长.当椭圆的焦点在轴时，，，则，离心率，则，此时椭圆的长轴长.综上可知，椭圆的长轴长为4或8.故选：D2、（2023·广东江门·统考一模）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示两条平行线，则B．若曲线表示双曲线，则C．若，则曲线表示椭圆D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆【答案】BD【解析】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；对于D选项，若，则，则，曲线的方程可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.故选：BD.3、（2021·广东茂名·高三月考）（多选题）已知曲线：，则下列结论正确的是（）A．直线与曲线没有公共点B．直线与曲线最多有三个公共点C．当直线与曲线有且只有两个不同公共点，时，的取值范围为D．当直线与曲线有公共点时，记公共点为．则的取值范围为【答案】ACD【分析】由题设讨论的符号得到曲线的不同方程，结合所得方程对应曲线的性质，结合直线、并应用数形结合的方法，判断它们与曲线的交点情况，并根据交点个数的不同求交点横坐标之积或和的范围.【详解】由题设得：曲线为，A：由是和的渐近线，且与没有公共点，故正确；B：由A中的分析知：与曲线最多有两个公共点，故错误；C：由图可知，若与曲线有两个公共点或一个公共点，当时，与曲线有两个公共点，，由对称性知，，关于直线对称，则，∴，（1）当时，．（2）当时，由，则．（3）当时，直线与曲线只有一个公共点，不合题意．（4）当或时，直线与曲线无公共点，综上可知，C正确；D：由C的分析，时与曲线有且只有两个不同公共点，则，即．当时，与曲线只有一个公共点，此点为．此时．故正确．故选：ACD．4、【2021年新高考2卷11】（多选题）已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD圆心C(0,0)到直线l的距离d=r若点A(a,b)在圆C上，则a2+b则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+b则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a2+b所以d=r2a2+故选：ABD.5、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为是圆与轴的交点，是坐标原点，则下列正确的是（）A．给定，对于任意，圆弧所对的圆心角B．对于给定的角，存在，