(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练第2章圆锥曲线单元综合提优专练(原卷版+解析)

第2章圆锥曲线单元综合提优专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为A． B． C． D．2．(2023·上海市第五十四中学高二月考）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）3．(2023·上海·格致中学高三月考）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A． B． C． D．4．(2023·上海·高三专题练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值A． B．5 C． D．5．(2023·上海·高三专题练习）已知圆和直线，则是圆和直线相交的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(2,1)和直线,则③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足的点P有两个；④的最大值为.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③9．方程为的曲线，给出下列四个结论：①关于轴对称；②关于坐标原点对称；③关于轴对称；④，；以上结论正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．410．设直线系，，对于下列四个命题：（1）中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点不在中的任意一条直线上；（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）二、填空题11．(2023·上海市松江二中高二月考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________12．(2023·上海·位育中学高二期末）若圆被直线所截得的弦长为，则________13．(2023·上海·闵行中学高二期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.14．(2023·上海市实验学校高二期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.15．(2023·上海中学高二期末）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，则的最小值为______．16．(2023·上海市张堰中学高三月考）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.17．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______18．(2023·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于____________．19．(2023·上海市奉贤中学高二月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.20．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________．三、解答题21．(2023·上海·高三专题练习）（1）动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段中点的轨迹的方程；（2）过点的直线交上述轨迹于两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值.22．如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．23．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知双曲线C：的离心率为，且经过.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.24．(2023·上海·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值25．(2023·上海市金山中学高三期中）已知直线l：与椭圆C：交于A、B两点（如图所示），且在直线l的上方．(1)求常数t的取值范围；(2)若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；(3)若△APB的面积最大，求∠APB的大小，26．(2023·上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，①若，求圆的方程;②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.27．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．28．设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线的斜率是，求的值；（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．29．(2023·上海市延安中学高二期末）已知A、B为圆O：与y轴的交点（A在B的上方），过点的直线l交圆O于M、N两点.（1）若，求直线与直线的夹角；（2）若M、N都不与A、B重合时，是否存在定直线m，使得直线与的交点恒在直线m上?若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.30．(2023·上海黄浦·三模）已知直线交抛物线于两点.（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.第2章圆锥曲线单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，由此可得出的值.【详解详析】抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，由于点、均在抛物线上，则，得，因此，.故选B.【名师指路】本题考查抛物线焦点弦所在直线的性质，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．(2023·上海市第五十四中学高二月考）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）【标准答案】B【详解详析】由题意可得,,故.设,则.

关于

对称,故

在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,

故选B.3．(2023·上海·格致中学高三月考）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A． B． C． D．【标准答案】D【详解详析】试题分析：设，，，当斜率存在时，设斜率为，则，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：，所以，因为直线恰好有四条，所以，所以，即时直线恰好有两条，当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有条时，故选D．考点：1．直线和圆的位置关系；2．直线和抛物线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆的相切问题，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件首先求出中点的轨迹方程，这里主要考查的是点差法，问题转化为与圆有交点，从而当直线斜率存在时，半径大于且小于有两条，当直线斜率不存在时，也有两条符合条件，故需要．4．(2023·上海·高三专题练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值A． B．5 C． D．【标准答案】A【思路指引】设切线长为,则再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解详析】设切线长为,则,.故选:A.【名师指路】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5．(2023·上海·高三专题练习）已知圆和直线，则是圆和直线相交的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】A【思路指引】由圆和直线相交，解出的范围，结合选项判断即可．【详解详析】圆和直线相交，即圆心到的距离小于半径，，解得则是圆和直线相交的充分不必要条件故选：A【名师指路】本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．已知曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【标准答案】C【思路指引】利用绝对值的几何意义，由，可得时，，时，，则可得曲线：与曲线：必交于点，再无其它交点，把代入方程，得，分类讨论，可得结论【详解详析】解：由，可得时，，时，，所以曲线：与曲线：必交于点，为了使曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，则将代入方程，得，当时，满足题意，因为曲线：与曲线：恰好有两个不同的公共点，所以，且是方程的根，所以，即时，方程两根异号，满足题意，综上，的取值范围为，故选：C【名师指路】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题7．在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(2,1)和直线,则③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【标准答案】C【思路指引】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断；②设点直线一点，且，可得，讨论即可得出即可判断；③讨论点在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解详析】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，、，，如图，结合三角形的相似可得,,分别为,,或,,，则；若,或,对调，可得；若它们不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，由矩形或矩形，；则对任意的三点，，，都有；故①正确；②设点直线一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故②错误；③定点、，动点满足，可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点，故③正确；真命题的个数是2，故选：C．【名师指路】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．8．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（）①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足的点P有两个；④的最大值为.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③【标准答案】B【思路指引】对①,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立；对②,根据的面积范围证明即可.对③,易得若则在轴上,再根据的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点,距离之积等于,再画图利用余弦定理分析中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解详析】对①,设动点,由题可得的轨迹方程,把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②,因为,故.又,所以,即,故.故②正确；对③,若则在的中垂线即轴上.故此时,代入，可得,即,仅有一个.故③错误；对④,因为,故,即,因为,故.即,所以.又,当且仅当共线时取等号.故,即,解得.故④正确.故①②④正确.故选：B【名师指路】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.9．方程为的曲线，给出下列四个结论：①关于轴对称；②关于坐标原点对称；③关于轴对称；④，；以上结论正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【标准答案】B【思路指引】①中，用代替，可判定曲线关于轴对称；②中，用代替，用代替，可判定曲线不关于原点对称；③中，用代替，可判定曲线不关于轴对称；④中，化简方程和，得出不等式，即可求解.【详解详析】由题意，方程，对于①中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线关于轴对称；对于②中，用代替，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于原点对称；对于③中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲线不关于轴对称；对于④中，方程，可化为，可得，解得，又由，即，解得.综上可得①④是正确的.故选：B.【名师指路】本题主要考查了曲线与方程为背景下的命题的真假判定，其中解答中熟练应用曲线的对称性和函数的基本性质，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．设直线系，，对于下列四个命题：（1）中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点不在中的任意一条直线上；（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）【标准答案】A【思路指引】首先发现直线系表示圆的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点不在任何一条直线上，判断选项.【详解详析】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合.（1）由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，所有中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；（2）存在定点不在中的任意一条直线上，观察知点符合条件，故（2）正确；（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正变形，其所有边均在的直线上，故（3）正确；（4）如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如，一类是,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.故选：A【名师指路】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合，再判断选项就比较容易.二、填空题11．(2023·上海市松江二中高二月考）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________【标准答案】【思路指引】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解．【详解详析】解：设，，则抛物线，直线，联立方程组，解得，，所以点的坐标为，所以，又，所以所以，所以，则，所以抛物线的准线方程为：，故答案为：．12．(2023·上海·位育中学高二期末）若圆被直线所截得的弦长为，则________【标准答案】【思路指引】求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.【详解详析】圆心，半径为1，圆心到直线的距离为，解得，，因为，所以，解得，符合题意.故答案为：.【名师指路】本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解.13．(2023·上海·闵行中学高二期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于___________.【标准答案】【思路指引】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值.【详解详析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线的斜率不为0，所以设直线的方程为：，设，，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．故答案为：.【名师指路】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.14．(2023·上海市实验学校高二期末）已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.【标准答案】【思路指引】设，用点差法表示出直线的斜率，再利用可得结论．【详解详析】设，中点，则，相减得，斜率存在时，∴，又是中点，且直线过点，所以，化简得，斜率不存在时，方程为，中点为适合上述方程．∴点的轨迹方程是．故答案为：．【名师指路】方法点睛：本题考查椭圆弦中点问题，解题方法是“点差法”，即设弦两端点坐标为，代入椭圆方程后相减，变形可得弦所在直线斜率与弦中点坐标之间的关系．这种方法在其他圆锥曲线也适用．15．(2023·上海中学高二期末）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，则的最小值为______．【标准答案】【思路指引】设直线，与抛物线联立方程，得韦达定理与，代入直线与抛物线表示出与，然后根据，利用数量积代入求解出，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值.【详解详析】设直线的方程为，，，由得，所以，得，，所以，，因为直线、的斜率之积为，所以，即，所以，所以，所以直线的方程为，，从而圆心为，由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得，所以，所以当时，的最小值为．故答案为：【名师指路】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．16．(2023·上海市张堰中学高三月考）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.【标准答案】【思路指引】作出图像，设，题中问题即为求的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解.【详解详析】根据题意作出图像，如图所示，设，题中问题即为求的最小值.设，由，得，所以.所以，当时，最小为2.故答案为：2.17．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______【标准答案】【思路指引】把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．【详解详析】方程，即表示圆，，求得，则实数m的取值范围为，故答案为：【名师指路】结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.18．(2023·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则实数的值等于____________．【标准答案】4．【思路指引】取中点，设，则利用斜率公式转化条件得，再结合圆的切线性质得，即得，最后根据三点共线求结果．【详解详析】由得，圆心为，设，取中点，由题意得，因为所以，则因此，从而三点关系，即得.故答案为：4.【名师指路】关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．19．(2023·上海市奉贤中学高二月考）定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为___________.【标准答案】2【思路指引】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.【详解详析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值.故答案为：220．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知椭圆：，为短轴顶点，椭圆上两个不同点满足，则直线恒过的定点的横坐标为______________．【标准答案】0【思路指引】设直线PQ的方程为：，与椭圆联立，求得韦达定理，又，则，代入化简可以得到参数t满足的方程，解得t的值，即可求得定点，从而解得定点的横坐标.【详解详析】设，，，直线PQ的方程为：，由题意知k必然存在，联立，化简得，由韦达定理知，，又，则，即，代入韦达定理，化简得，解得或（舍）；所以过定点，定点的横坐标为0，同理，根据对称性可得，当时，定点的横坐标为0，故答案为：0【名师指路】方法点睛：求直线过定点，需要求得直线方程，根据斜率和截距的关系，判断定点的值，在求解过程中，常常联立直线与圆锥曲线方程，通过韦达定理代入条件化简来求得参数间的关系，从而求得结果.三、解答题21．(2023·上海·高三专题练习）（1）动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是，求线段中点的轨迹的方程；（2）过点的直线交上述轨迹于两点，点坐标是，若的面积为，求直线的倾斜角的值.【标准答案】（1）；（2）或.【思路指引】（1）由题意得点的坐标，表示出中点的坐标，消参即可得；（2）判断直线斜率不存在的情况，然后设出直线方程，联立消元得一元二次方程，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，代入面积公式计算即可求出直线的斜率.【详解详析】（1）解：设点的坐标为，由点的坐标为，点的坐标为，得中点坐标为，所以轨迹的方程为，即；（2）当直线斜率不存在时，此时直线方程为，得，所以，不符合题意；设直线的方程为，因与抛物线有两个交点，故，得，代入，得，故恒成立.记这个方程的两实根为，则..又点到直线的距离.∴的面积为.由，解得，∴.∴或【名师指路】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．【标准答案】（1）答案见解析（2）【思路指引】（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等,列出底面半径和关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为.（2）因为圆锥的侧面积为,即可求得其母线长.由⑴可知,可得.在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向,设抛物线方程,代入即可求得,进而抛物线焦点到准线的距离.【详解详析】（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等可得由题意可知:底面圆中故:圆锥的母线与底面所成的角为（2）圆锥的侧面积为可得,故:可得中,为的中点,可得在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向.如图:设抛物线方程代入可得根据抛物线性质可知,抛物线焦点到准线的距离为.抛物线焦点到准线的距离．【名师指路】本题考查了线面夹角和抛物线相关知识.利用解析几何思想,通过建立坐标系,写出抛物线方程,研究曲线方程来求解相关的量,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.23．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）已知双曲线C：的离心率为，且经过.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）由离心率和点的坐标求得a，b，写出双曲线方程；（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立，由韦达定理求出中点坐标，根据其条件求得m的范围，求出的面积表达式，根据单调性求得取值范围.【详解详析】（1）由题题意，得，解得.所以，双曲线C的方程为.（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立：，消元得设P､Q两点的纵坐标为，则：，解得.设点M的纵坐标为，由题点M为的中点，即所以，易知表达式在上单调递减，故三角形面积的取值范围为.24．(2023·上海·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值【标准答案】（1）和；（2）；（3）．【思路指引】（1）由题意可得，解方程组求出的值，从而可求出曲线的方程；（2）设直线，与曲线的方程联立成方程组，消去，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得答案；（3）由题意设直线为，与的方程联立方程组，消去，利用根与系的关系，设，从而可求出，然后表示出面积，利用基本不等式可求得结果【详解详析】解：（1）因为，所以，解得所以曲线的方程为和；（2）曲线的渐近线为，如图，设直线则又有数形结合知设点，则所以，，所以，即点在线段上；（3）由（1）可知，和点设直线为，化为，，设，所以所以，令所以，当且仅当，即时等号成立所以.25．(2023·上海市金山中学高三期中）已知直线l：与椭圆C：交于A、B两点（如图所示），且在直线l的上方．（1）求常数t的取值范围；（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；（3）若△APB的面积最大，求∠APB的大小，【标准答案】（1）（2）（3）【思路指引】（1）由题可得，再由直线方程与椭圆方程联立，利用直线与椭圆的位置关系即求；（2）利用韦达定理及斜率公式计算即得；（3）利用弦长公式、三角形面积公式及基本不等式即得.（1）由题可知，∴，由得，，∴得，∴.（2）设，则，又，∴又，∴.（3）∵，点P到直线AB的距离为，∴，当且仅当即时等号成立，此时，∴，又，∴∠APB=26．(2023·上海市松江二中高二月考）已知椭圆的焦距与长轴的比值为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.（1）求椭圆的方程;（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆，相交于两点，与椭圆相交于两点，①若，求圆的方程;②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.【标准答案】（1）（2）①，②【思路指引】（1）由椭圆以及抛物线的性质，可求得b的值，结合离心率可求得a，得到椭圆方程；（2）①用待定系数法求出圆的标准方程；②设出M(2，t)，求出直线方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，由弦长公式，求出弦长AB，这样就可用t表示S2的函数，进而就可把表示为t的函数，结合基本不等式，可求出函数的值域，即可求出的取值范围.（1）短轴的下端点在抛物线的准线上，又，（2）①由(1)知，设，则的圆心坐标为的方程为当时，所在直线方程为此时与题意不符，所以所以设所在直线方程为又圆的半径由解得所以圆的方程为②当时，由①知所在直线方程为与椭圆方程联立，消去，得，则△所以因为所以当且仅当t=0时取等号.又因为，所以.当t=0时，直线PQ的方程是x=1，，，所以，，所以.综上的取值范围是.27．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．【标准答案】（1）；（2）；（3），证明见解析．【思路指引】（1）利用抛物线的定义可知轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹的方程；（2）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；（3）设点、，根据可得出，再利用直线的斜率公式可证得结论成立.【详解详析】（1）由题意可知，圆心到点的距离等于圆心到直线的距离，所以，点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，因此，轨迹的方程为；（2）若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，联立，消去可得，由韦达定理可得，，解得，所以，直线的方程为，因此，直线过定点；（3）设点、，则，同理可得，，由于直线、的倾斜角互补，则，可得，所以，，因此，直线的斜率为（定值）.【名师指路】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.28．设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线的斜率是，求的值；（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．【标准答案】（1）（2）（3）或【思路指引】（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;（3）因为,故.、两点抛物线上,可得,,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程,因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.【详解详析】（1）在,设,则由两点间距离公式可求得:令,(当即取等号)的最小值.（2）,,故则的直线方程:将与联立方程组,消掉则:,得:化简为:.由韦达定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直线的斜率是故:即的值为.（3）,,故,在、两点抛物线上,,,故整理可得:、、三点互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作关于的一元二次方程,且,,故此方程有两个不相等的实