衔接点02 式与方程（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

衔接点02式与方程小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。初中阶段较小学数学在式与方程方面主要变化有：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段重点关注代数式的运算与规律探究，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。题型探究题型1、字母表示数 3题型2、探究与表达规律 3题型3、等量代换 5题型4、等式与方程的概念辨析 6题型5、等式的性质及其运用 7题型6、方程的解及其运用 8题型7、解方程 9培优精练A组（能力提升） 11B组（培优拓展） 121．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律1）用字母表示数和数量关系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。2）用字母表示计算公式及运算定理长方形周长：C＝2（a＋b）；长方形面积：S＝ab；长方体体积：V＝abh或V＝Sh。加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交换律：ab＝ba乘法结合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。2．等式与方程1）等式与方程的意义及关系意义关系等式表示相等关系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知数的等式叫作方程2）等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。题型1、字母表示数【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。例1．（2024·辽宁·小升初模拟）学校买来20个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元。20a＋58b表示()；当，，则()元。例2．（2024·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（

）。A． B． C． D．例3．（2022·湖南怀化·小升初真题）小刚在测试中，语文、数学和英语三科的平均分是a分，语文和英语一共得b分，数学得（

）分。A．3a－b B．a÷3－b C．a÷3－2b变式1．（2023·四川成都·小升初真题）夏明今年岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（

）岁。A． B．21 C． D．6变式2．（2023·江苏·小升初模拟）如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（

）平方厘米。A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab题型2、探究与表达规律【解题技巧】观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。例1．（2024·六年级·山西·期中）根据下面图形的规律，第11个图中有（

）个。A．33 B．36 C．39例2．（2022·浙江温州·小升初真题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（

）。A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20变式1．（2023·江苏·小升初模拟）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖块。变式2．（23-24六年级·陕西咸阳·期末）把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有()个黑色三角形，第()个图中有100个黑色三角形。

变式3．（23-24六年级·河南·期末）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密。队形1234…图示……(1)观察点子图，补充下面等式。2＝1×22＋4＝2×32＋4＋6＝3×42＋4＋6＋8＝()×()(2)照这样，第8个队形需要()人；第n个队形需要()人；第()个队形有56人。题型3、等量代换【解题技巧】等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。．如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。例1．（2022·山西临汾·六年级统考期末）根据如图，＝（

）克。A．50 B．48 C．64例2．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）某款手机充电5分钟，能够通话2小时，或者玩游戏1.5小时，某人将一部完全没电的手机充电4分钟，之后打了20分钟的电话。这部手机还能玩()分钟的游戏。例3．（2023·四川成都·小升初真题）已知，求的值。变式1．（2022·湖南长沙·小升初真题）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝()。变式2．（2022·江苏南京·小升初真题）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满()个大杯和()个小杯后，没有剩余。变式3．（2024·山东·小升初模拟）若，则的值是()。题型4、等式与方程的概念辨析【解题技巧】1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。2）方程：含有未知数的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）等式和方程的关系可以用如图表示，下面（

）的关系也可以用这样的图来表示。A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．四边形和三角形 D．长方形和正方形例2．（2024六年级下·辽宁·专题练习）下面的式子中，是方程的是（

）。A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）下列各式中，不属于方程的是（

）。A．21＝y＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10变式2．（2024·河南·六年级统考期中）小学阶段学的很多数学知识之间有着密切联系。下面不能正确表示他们之间关系的是（

）。A． B．C． D．变式3．（2022·湖南湘西·统考小升初真题）小学阶段我们学习了很多知识，知识之间有着密切的联系。下图中：如果A表示长方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()。题型5、等式的性质及其运用【解题技巧】等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。例1．（2023春·湖南长沙·六年级统考期末）如果，根据等式的性质填空。()

()()

()例2．（2023春·北京·六年级统考学业考试）根据下图天平平衡的状态，求出一杯水的质量。例3．（22-23六年级上·陕西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□内应填的数。变式1．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）数学知识之间都有着有密切的联系，下面（

）与众不同。A．等式的性质 B．分数的基本性质 C．比的基本性质 D．商不变的规律变式2．（2023春·天津红桥·六年级统考期末）若，则下列选项中错误的是（

）。A． B． C． D．变式3．（22-23六年级下·河南郑州·期末）如图，两条直线相交形成四个角。为了说明图中的∠2＝∠4，晓晓的理由是：因为：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。这里运用了（

）。A．加法交换律 B．等式的性质 C．减法的性质题型6、方程的解及其运用【解题技巧】1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值；2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。例1．（22-23六年级下·山东·期末）x＝6是下面方程（

）的解。A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6例2．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5变式1．（2022·四川乐山·五年级期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．变式2．（2022·江苏徐州·五年级期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，则a的值为（

）。A．4 B．7 C．10题型7、解方程【解题技巧】1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。例1．（2024·江苏·小升初模拟）解方程：

例2．（2024·重庆·小升初模拟）解方程。

例3．（2023·浙江·小升初模拟）解方程或比例。

变式1．（2024·辽宁·小升初模拟）解方程。

变式2．（2023·四川成都·小升初真题）解方程。（1）（2）变式3．（2023·绵阳市·六年级小升初模拟）解方程或比例。

A组（能力提升）1．（23-24六年级下·四川·期中）下面说法正确的是（

）。A．方程5x＋5＝5的解是5B．5x＋5＜5是方程C．等式一定是方程D．方程一定是等式2．（23-24六年级·江苏常州·期末）小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下列不能正确表示它们之间关系的是（

）。A． B． C．3．（2022春·广东梅州·六年级统考期末）是下面方程（

）的解。A． B． C．4．（2022·河南三门峡·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（

）厘米。A．64 B．23.5 C．28.55．（2024·四川成都·小升初真题）（比较大小）（）是一个真分数，下面各分数中最大的一个是（

）。A． B． C． D．6．（2022·山东济宁·小升初真题）4a＋8错写成4×（a＋8），结果比原来（

）。A．多4 B．少4 C．多247．（2022·陕西西安·小升初真题）某水果店运来苹果x千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果店运来苹果和梨一共()千克。如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果()千克，运来梨()千克。8．（2023·四川成都·小升初真题）王恒出生于20世纪，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的结果乘50后加上出生年份再减去250，最后得到2088，则王恒出生在()年()月。9．（2023·四川成都·小升初真题）（图形找规律）观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有()个。10．（2023·湖北·小升初模拟）求未知数x。（1）

（2）（3）

（4）

B组（培优拓展）1．（23-24六年级上·江苏徐州·期末）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（

）个正方形。A．29 B．30 C．32 D．332．（2023·四川成都·小升初真题）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B队比赛的球队是（

）。A．C队 B．D队 C．E队 D．F队3．（2022·浙江宁波·小升初真题）按照下面的方式堆放小球，第5堆有()个小球，第n堆有()个小球