专题03 分式与分式方程（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

专题03分式与分式方程目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一分式、最简分式、分式方程的定义】 2【考点二分式有无意义及分式的值为0】 4【考点三利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6【考点四求使分式值为整数时未知数的整数值】 8【考点五求分式值为正、负数时未知数的取值范围】 9【考点六分式加减乘除混合运算】 11【考点七分式化简求值】 13【考点八与分式有关的新定义型问题】 14【考点九解分式方程】 18【考点十根据分式方程有增根求参数】 20【考点十一根据分式方程有无解求参数】 21【考点十二根据分式方程根的情况求参数的范围】 23【考点十三不等式组与分式方程综合的参数问题】 24【考点十四与分式、分式方程有关的规律探究问题】 27【考点十五不等式与分式方程的实际问题】 33【过关检测】 361.分式的意义2.分式的基本性质3.分式的运算4.分式方程5.列一分式方程解实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找等量关系式；（3）设元，根据等量关系式列分式方程；（4）解分式方程，检验并作答。考点剖析【考点一分式、最简分式、分式方程的定义】例题1：（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在，，，，，中，分式的个数有（

）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例题2：（22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．例题3：（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中分式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（

）A． B． C． D．【考点二分式有无意义及分式的值为0】例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（

）．A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1【变式训练】1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）若分式有意义，则该分式中的字母x满足的条件是（）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（

）A． B． C． D．3．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当时，的值为0B．当时，有意义C．无论x为何值，的值不可能是正整数D．无论x为何值，总有意义【考点三利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（22-23八年级上·内蒙古乌海·期末）下列各式中从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（

）A．B．C．D．2．（23-24八年级上·山东德州·期末）把分式中的和分别扩大为原来的2倍，则分式的值（

）A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的 D．不变3．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如果把分式中的m，n都变为原来的2倍，那么分式的值（）A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍C．变为原来的 D．不变【考点四求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为．【变式训练】1．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为．2．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是．【考点五求分式值为正、负数时未知数的取值范围】例题：（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是．【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是．2．（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围．【考点六分式加减乘除混合运算】例题：（23-24九年级上·四川泸州·期末）化简：【变式训练】1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）化简：(1)；(2)．2．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．……第一步……第二步……第三步……第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点七分式化简求值】例题：（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）先化简再求值：，其中．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值．2．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）先化简，再求值：，其中使得分式的值为．【考点八与分式有关的新定义型问题】例题：（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式与分式的和等于它们的积，即，那么就称分式与分式“互为关联分式”，其中分式是分式的“关联分式”．例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”．(1)请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？(2)小明在研究“互为关联分式”是发现：因为，又因为都不为0，所以，所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．(1)分式与___________互为“6阶分式”．(2)若正数互为倒数，求证：分式与互为“5阶分式”．2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．【考点九解分式方程】例题：（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期末）解分式方程(1)(2)【变式训练】1．（23-24八年级上·四川凉山·期末）解分式方程(1)；(2)；2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）解分式方程(1)；(2)．【考点十根据分式方程有增根求参数】例题：（23-24八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是．【变式训练】1．（22-23八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则的值是．2．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为．【考点十一根据分式方程有无解求参数】例题：（22-23八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的方程无解，则m的值为．2．（23-24八年级上·甘肃武威·期末）若关于的分式方程无解，则．【考点十二根据分式方程根的情况求参数的范围】例题：（23-24八年级上·四川凉山·期末）分式方程的解是非负数，则的取值范围为【变式训练】1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是．2．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为．【考点十三不等式组与分式方程综合的参数问题】例题：（23-24八年级上·河南周口·期末）若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为．【变式训练】1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．2．（23-24九年级上·重庆铜梁·期末）关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为．【考点十四与分式、分式方程有关的规律探究问题】例题1：（23-24八年级上·广东汕头·期末）把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，请解答下列问题：(1)若，分别求、的值；(2)根据（1）中的规律，求的值．例题2：（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数的式子表述上述规律，并写出它的解．【变式训练】1．（23-24八年级上·北京石景山·期末）小明根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个：；第2个：；第3个：；第4个：；第5个：______．……(2)观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：______（n为正整数）．(3)证明（2）中的猜想．2．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）下面是一些方程和它们的解．的解为，；的解为，；的解为，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：(1)的解为_______；(2)关于x的方程的解为_______；(3)关于x的方程的解为_______．3．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为；方程的解为；方程的解为……．(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________；(2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______；(3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．【考点十五不等式与分式方程的实际问题】例题：（23-24八年级上·湖北随州·期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．(1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【变式训练】1．（23-24八年级上·宁夏固原·期末）依据最新出台的宁夏初中体育与健康学业水平考试方案，自2024年起，宁夏中考体育成绩将以70分计入总成绩中．必考项目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分钟跳绳，每项满分15分．男生选考项目包括立定跳远、50米跑、单杠引体向上、前掷实心球，女生选考项目包括立定跳远、50米跑、1分钟仰卧起坐、前掷实心球．为适应学生体育课学习（课时数、考勤等）、日常参与体育锻炼．我校用3000元购买大、小跳绳共110根，且购买大跳绳与小跳绳的费用相同，大跳绳的单价是小跳绳单价的1.2倍．(1)求大、小两种跳绳的单价各是多少？(2)若学校计划用不超过7000元的资金再次购买这两种跳绳共260根，已知两种跳绳的价格不变，求大跳绳最多可购买多少根？2．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？【过关检测】过关检测一、单选题1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如果分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么下列说法中，正确的是（

）A．分式的值不变 B．分式的值缩小为原来的C．分式的值扩大为原来的3倍 D．分式的值扩大为原来的9倍3．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（）A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（

）A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为5．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）若关于的方程无解，那么的值是（

）A．4 B． C． D．36．（22-23八年级下·重庆开州·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A． B．3 C．6 D．2二、填空题7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）函数自变量x的取值范围是．8．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）若分式方程有增根，则．9．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是．10．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是．11．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是．12．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式．三、解答题13．（23-24八年级上·河南周口·期末）解分式方程∶(1)(2)14．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）先化简再求值，其中．15．（23-24八年级上·山东聊城·期末）（1）计算：；（2）先化简，然后从，0，1，2中选取一个你喜欢的数作为x的值代入求值．16．（23-24八年级上·广西贺州·期末）某校为响应政府号召，准备购买甲，乙两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，甲种型号的单价比乙种型号的单价少50元，用3000元购买甲种垃圾桶的个数与用3300元购买乙种垃圾桶的个数相同．(1)求甲、乙两种型号垃圾桶的单价各是多少元？(2)若某校需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求所有不同的购买方式．17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如果两个分式的和为常数，我们称这两个分式互为“和美”分式，这个常数为“和美”值．如，所以与互为“和美”分式．(1)已知，，，判断A和B是不是互为“和美”分式？若是，请证明，并求出“和美”值；若不是，请说明理由；(2)已知，，m、n、p为非零常数，若C、D