【数学】一元一次方程的应用第2课时盈不足问题课件-2024-2025学年北师大版数学七年级上册

5.3一元一次方程的应用第五章一元一次方程第2课时盈不足问题北师大版•七年级上册课外阅读

盈，即盈余；不足，即亏损。盈不足术是中国古算中解决问题的一种特别的方法，在西方称为“双假设法”，即对任何数学问题，先设一数为答案，验算其解是否合理，相合则为问题的解，否则或有盈余，或有不足，再次通过假设验算即可获得答案。知识点盈不足问题典例1

(教材P149·改编)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？解：解法一：若设人数为x，请完成下列表格(其他未知量用含x的代数式表示)：有关量每人出8钱每人出7钱人数x

出钱总数

物价

7x＋47x8x－38xx根据

不变，列方程为

。

解这个方程，得x＝

。

所以物价为

＝

。

答：合伙人数、物品的价格分别是

人，

钱。53

7

53

8x－3

7

8x－3＝7x＋4

物价

典例1

(教材P149·改编)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？变式1

(教材P150练习T1)隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问人、银各几何？(选自《算法统宗》)题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两。有多少个人？有多少两银子？(用2种解法)

典例2有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就有100人没宿舍可住，那么在学校住宿的学生有多少人？解：解法一(直接设未知数)：设在学校住宿的学生有x人。根据宿舍数量不变，可列方程为

。

解得

。

答：在学校住宿的学生有

人。

解法二(间接设未知数)：设学校共有宿舍y间。根据学生人数不变，可列方程为

。

解得

。

所以

。

答：在学校住宿的学生有

人。

460

4(y－5)＝4(120－5)＝460

y＝120

4(y－5)＝3y＋100

460

x＝460

思考：请比较典例2和变式2中，直接设未知数和间接设未知数，哪种更简便？

C

A

4.我国明朝珠算家程大位的名著《算法统宗》中，记载了这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁。”

大意为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完。问大、小和尚各有多少人。设大和尚有x人，则可列方程为

。

5.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能。某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个。求这个学校有多少个班级。解：设这个学校有x个班级。根据题意，得4x＋2＝5x－16。解得x＝18。答：这个学校有18个班级。6.几个人共同种一批树苗，如果每人种13棵，则缺4棵树苗；如果每人种11棵，又剩下6棵树苗未种。求这批树苗的棵数。解：设x人参与种树。根据题意，得13x－4＝11x＋6。解得x＝5。所以13x－4＝13×5－4＝61。答：这批树苗有61棵。7.将一筐苹果分给小朋友们，如果每人分4个苹果，则多6个苹果；如果每人分5个苹果，则最后一个小朋友只能分4个，问有多少个小朋友？多少个苹果？

答：有7个小朋友，34个苹果。所以苹果总数为4×7＋6＝34(个)。解得x＝7。根据题意，得4x＋6＝5(x－1)＋4。解：设有x个小朋友，则共有苹果(4x＋6)个。8.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，其中记载了这样一道数学问题：

今有共买物，人出六，盈二；

人出五，不足三。问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙购买物品，每人出6钱，会多出2钱；

每人出5钱，又差3钱。问人数、物品价格各是多少？