衔接点01 运算与技巧（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

衔接点01运算与技巧小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。初中阶段较小学数学在数和运算方面主要变化有：数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也相应的从小学中的正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并且加入了乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。题型探究题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3题型2、巧分组法 10题型3、换元法 13题型4、分数裂项计算 16题型5、数列求和（等差、等比数列） 22题型6、运用乘法公式运算 26培优精练A组（能力提升） 29B组（培优拓展） 381．运算定律1）加法交换律：加法结合律：2）乘法交换律：乘法结合律：3）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．运算性质1）减法的性质：2）除法的性质：3）商的“不变性”，即若，则，；3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。第一类（“裂差”型运算）：或第二类（“裂和”型运算）：或裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。4．数列求和公式（补充）eq\o\ac(○,1)等差数列求和等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比数列求和等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）5．乘法公式（补充）平方差公式：完全平方公式：，题型1、活用运算定律和性质（凑整思想）【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。例1．（2023·四川成都·小升初真题）能简算的要简算。（1）

（2）（3）（4）

（5）例2．（2023·河北邯郸·小升初真题）计算下列各题，能简算的要简算。（1）

（2）（3）（4）

（5）

（6）（9＋7）÷（＋）变式1．（2024·四川成都·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）变式2．（2023·山东济南·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。6.8×0.35＋408÷24

1.8×＋2.2×25%－0.25（0.2＋）×÷8

变式3．（2023春·广西·六年级培优）计算．（1）

（2）（＋1＋）÷（＋＋）变式4.（2023·福建泉州·小升初模拟）神机妙算。（1）8×3÷[1÷（3－2.95）]（2）×39＋×25＋2×（3）2018÷2018＋题型2、巧分组法【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。例1．（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。（1）

（2）例2．（2024六年级·浙江·培优）计算。（1）（2）2023-2020+2017-2014＋2011－2018＋……＋16－13＋10－7＋4变式1．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1

变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算：

题型3、换元法【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。例1．（2023·湖南湘潭·六年级自主招生）计算。例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。变式1．（2022·广东深圳·六年级校考期中）巧算。（1）（2）变式1.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。题型4、分数裂项计算【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算第一类（“裂差”型运算）：①或②。裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。第二类（“裂和”型运算）：或裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。例1．（2022·广西南宁·校考小升初真题）观察下列等式：，，，请将以上三个等式两边分别相加得：。（1）猜想并写出：（

）。（2）（

）。（3）探究并计算：（

）。（4）计算：例2．（2024六年级下·山东·培优）。例3．（2023·四川成都·小升初真题）计算。

变式1．（2024·湖北·六年级期中）计算题：（1）（2）（3）（4）变式2．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算：。变式3．（2024·浙江·六年级校考期中）计算：1－＋－＋－题型5、数列求和（等差、等比数列）【解题技巧】eq\o\ac(○,1)等差数列求和等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比数列求和等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）例1．（2023·四川成都·小升初模拟）计算：例2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为，第项是．【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，，（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：．【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法：设①，则②，得，∴．【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值．变式1．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。（1）

（2）变式2．（2024·广东·七年级期中）阅读材料：求的值.解：设将等式两边同时乘以2，得将下式减去上式，得即请你仿照此法计算：（1）（2）题型6、运用乘法公式运算【解题技巧】平方差公式：完全平方公式：，例1．（2023·浙江·小升初模拟）计算：例2．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题：

例3．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算：(1)；(2)；(3)．变式1．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）计算：

变式2.（1）（2022·四川青羊·八年级期中）计算：＝___．（2）（2022·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____．变式3．（2022·广东·梅州市七年级阶段练习）简便计算：(1)20022(2)A组（能力提升）1．（2022·广西贵港·小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24×25时，下列按键方案中（

）合适。A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×252．（2024六年级下·浙江·培优）。3．（2024六年级·成都市·外地生考试）计算：。4．（2023六年级下·江苏·培优）计算：。5．（2024六年级下·重庆·模拟）计算：。6．（23-24六年级下·江西宜春·期中）用你喜欢的方法计算。

7．（2022·四川成都·小升初真题）计算题。

8．（2023·四川·小升初真题）看清题目，巧思妙算。

9．（2022·湖南株洲·小升初真题）能简算的要简算。

B组（培优拓展）1．（2023六年级上·湖北·专题练习）计算：。2．（2024·广东·六年级培优）计算：3．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。（1）（2）（3）（4）4．（2024·广东·小升初模拟）脱式计算。