2024届重庆市一中高三上学期12月月考数学试题及答案

2023年重庆一中高2024届12月月考数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2x1Ax02x2Byyx2x1，集合AB1.已知集合，则（）12120,1,1,A.B.C.D.x2y221，q：双曲线C的渐近线方程为yx，则（2.已知p：双曲线C的方程为）943A.p是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.p是q的必要不充分条件D.p是q的既不充分也不必要条件，，若，则实数a的值为（）l:asin30xy10l:xy20ll13.12272521656A.B.C.D.2tan22.5sin8611cos951cos95a，bc，4.设，则有（）1tan22.52A.bacC.cbaB.acbD.bcaPABC5.已知在四面体中，底面是边长为5的等边三角形，侧棱长都为2，D为的中点，则直线BP与直线CD所成角的余弦值为（）6677A.B.C.D.242414146.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A216种B.384种C.408种D.432种第1页/共5页x12为正项等比数列，且，若函数a101212lnx1，则7.已知fxnx（）fafafa1220232A.2023B.2024C.D.10122cd4bd30，则的最大值为a3b1caca48.已知，，ab0，，d（）221433A.1B.4C.2D.3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）x22y2F1F2的椭圆C:1的长轴长为4，过F的直线交椭圆于P，Q两19.已知左、右焦点分别为，a3点，则（）3A.离心率e2PQ3B.若线段垂直于x轴，则C.D.的周长为82的内切圆半径为12n10.与二项式定理abnknnkkCab类似，有莱布尼兹公式：k0nnn11n22nk0nn01n2nnn0nknk，其中uk（k0,1，uvCuvCuvCuvCuvCuvn02，…，n）为u的k阶导数，u0u，v0v，则（）nCkn2nC1nC3nC5n2n1A.B.D.k1nnfxexx66f06!，则C.uvvu11.全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）第2页/共5页A.全球游戏高手占比不超过10%B.某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%x12.已知定义在上的函数fx满足fx2xxf1，，且实数1afxfx2对任意x0都成立（ln20.693，ln31.098）f1有极小值，无极大值fx8A.C.B.23既有极小值，也有极大值fxaD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1a1an13满足，且，则aann1913已知数列______．2n14.已知，______．x22xm0mR的两共轭虚根为xxxx23，且，则12m1224，过直线l:4x3y10215.已知圆C:x3y4上一动点P作圆C的两条切线，切点分PAPB别为A，B，则的最小值为______．ABCD棱长为2，E，F分别是棱CD的中点，M是正方体的表面上一动116.正方体，1111点，当四面体BEFM的体积最大时，四面体BEFM的外接球的表面积为______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．2nadbc2nabcd，其中．附：abcdacbdP2k00.0503.8410.0100.001k06.63510.828（1）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；喜欢看演唱会不喜欢看演唱合计第3页/共5页会文科老师理科老师合计305040（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．-ABCAA18，6，E，F为CCC18.如图，在直三棱柱中，上分别靠近C和的四等分11111AABBEF点，若多面体的体积为40．11（1）求EF到平面AABB的距离；的大小．11EABB（2）求二面角1满足，3，且*．a12a2n22nn1nN19.已知数列na为等比数列；n（1）求证：数列an111（2）若b1nbS的前n项的和．nn，求数列naan1nac20.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列．πA（1）若（2）若，求角C；5S的面积为S，求的取值范围．a2xP114x的准线l交轴于M，过l121.已知抛物线:y2作斜率为的直线交于C,D，过作斜率为k2的直线2交于Q1E,G．Fl（1）若抛物线的焦点，判断直线l与以EG为直径的圆的位置关系，并证明；2第4页/共5页（2）若C,E,M三点共线，kk①证明：为定值；12ll夹角②求直线与的余弦值的最小值．214kxkRfxx1e2xkx322已知3k0fxf1，不等式x0]（1）当时，求过点的切线方程；k1,2xkfxa恒成立，求实数a的取值范围．（2）若对，122ex1xx[参考不等式：第5页/共5页2023年重庆一中高2024届12月月考数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2x1Ax02x2Byyx2x1，集合AB1.已知集合，则（）12120,1,1,A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解分式不等式求集合A，求对数复合函数的值域求集合B，应用集合交运算求结果.(2xx012x1x110x1，即A[，【详解】由x1022由x2x2xAB211，故B[0,)，2所以.故选：Bx2y221，q：双曲线C的渐近线方程为yx，则（2.已知p：双曲线C的方程为）943A.p是q的充要条件C.p是q的必要不充分条件【答案】BB.p是q的充分不必要条件D.p是q的既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.x2y223【详解】若双曲线C的方程为1，则渐近线方程为yx，94第1页/共25页2x2y2yx0若双曲线C的渐近线方程为，则双曲线的方程为，394pqqp，所以，但qp所以是的充分不必要条件.故选：B，，若，则实数a的值为（）l:asin30xy10l:xy20ll13.1227252156A.B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.152llasin30113tan1200a30a【详解】由题意，则当且仅当2，即），解得.12故选：C.2tan22.5sin861cos951cos95a，bc，4.设，则有（1tan222.51A.bacC.cba【答案】C【解析】B.acbD.bca【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.2tan22.5a=tan45，【详解】1tan222.5sin86112sin43cos432sin43cos43bc=tan43，24314321cos951cos952cos247.5cos47.5sin42.547.5sin47.5cos42.5====tan42.5°2sin2π2ytanx因为所以在上单调递增，tan42.5tan43tan45，即cba，故选：C.PABC5.已知在四面体中，底面是边长为5的等边三角形，侧棱长都为2，D为的中第2页/共25页点，则直线BP与直线CD所成角的余弦值为（）6677A.B.C.D.24241414【答案】B【解析】【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线与所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】取AB中点E，连接，由D为中点，12//PB则，且；22则EDC（或其补角）即为直线BP与直线CD所成角.5的等边三角形，又底面三角形是边长为3215则中线长CE5；2在中，设中线长m，则0，由余弦定理得,22AC222PC20，2DA2DP22222m2520，化简得m3，所以222解得m3，则有3，在DEC中，由余弦定理得,1154322EC262,2242232第3页/共25页6直线BP与直线CD故选：B.所成角为锐角，则余弦值为.246.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A.216种【答案】D【解析】B.384种C.408种D.432种【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，C14A228种，若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有A4424再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有此时共有8´24=192种；种，C14A228种，若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，C133A336种，把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有种，其余三科全排有此时共有836144种；C144若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有种，C12A224将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有种，A336再把余下的三科安排在下午作全排有种，此时共有446种；综上，共有19214496432种.故选：Dx21为正项等比数列，且，若函数a101212lnx1，则7.已知fxnx（）fafafa12第4页/共25页20232A.2023B.2024C.D.1012【答案】A【解析】120232202232021La210121，再由题意可得出【分析】由等比数列的性质可得1xfx2，由倒序相加法可求出答案.f【详解】因为为正项等比数列，且a1，1012anaa2202232021La210121，所以1202312x12x21111x由fx2lnx1可得f1x1，xx1xxx1所以fxf2，xSfafafa，2023所以设12Sfafafa，20221则2023所以两式相加可得：2S22023，故S2023，故选：A.2cd4bd30，则的最大值为a3b1caca48.已知，，ab0，，d（）221433A.1B.4C.2D.3【答案】A【解析】cd【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：第5页/共25页a3,0,b0,1,,n,p,q,A3,0不妨设，1a3b1，ab0，满足，22caca4m3n2m3n242a2c231A，又，即由椭圆的定义可知点C在以A,A1为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，ac3,ba2c2431，x2y21，所以该椭圆方程为44bd30，即q4q30，即p22q2E21，2而d2pxy221上面运动，其中点r1为半径，2这表明了点D在圆为圆心，cdCDCEEDCE1，等号成立当且仅当C,D,E又三点共线，CE故只需求的最大值即可，x2，因为点Cy21在椭圆上面运动，所以不妨设C2,sin4CE4cos2sin2241sin2sin24sin43sin4sin8，2所以432所以当sin且C,D,E三点共线时，23第6页/共25页22232213cd有最大值CE13481.3故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）x22y2F1F2的椭圆C:1的长轴长为4，过F的直线交椭圆于P，Q两19.已知左、右焦点分别为，a3点，则（）3A.离心率e2PQ3B.若线段垂直于x轴，则C.D.的周长为82的内切圆半径为12【答案】BC【解析】ax=1代入【分析】首先由题意把参数求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A；由题意将椭圆方程求出弦长即可判断B；由椭圆定义即可判断C；由的周长是定值，但面积会随着直线的倾2斜程度而变化，由此即可判断D.【详解】对于A，由题意椭圆C:x22y21的长轴长为4，所以214，解得11243b2，a3c12431，离心率为e所以aaca2b2，故A错误；1a对于B，第7页/共25页x2y2321，由题意若直线的方程为x=1，将其代入椭圆方程可得y由A可知椭圆方程为，4333223，故B正确；即对于C，的周长为PQFPPFPF2a2a4a8，故C2212122正确；0，不妨设直线PQ:xPx,y,Qx,y，对于D，由题意直线斜率不为0且经过点1122x2y2xm1联立消去得4y22690，将其与椭圆方程436m9m2436m236m24144m21yy,yy12，12m24436m2136m212m21SFFyy2yy241y2一方面，2121122m242m242m24PQFP8，不妨设的内切圆的半径为r，所以2另一方面，由C选项分析可知221S2PQQFFPr4r，2223m21m24m，即r与有关，故D错误.对比两式可知r故选：BC.第8页/共25页n10.与二项式定理abnknnkkCab类似，有莱布尼兹公式：k0nnn11n22nk0nn01n2nnn0nknk，其中（k0,1，uvCuvCuvCuvCuvCuvukn02，…，n）为u的k阶导数，u0u，v0v，则（）nCkn2nC1nC3nC5n2n1A.B.D.k1nnfxexx66f06!，则C.uvvu【答案】BCD【解析】a,b【分析】由二项式定理，分别赋值，即可判断AB可判断CD.nn【详解】A.由二项式定理可知，当ab1时，nkn1nkk1knn，11CC2k0k0nCkn2nCn021，故A错误；nk1B.由二项式定理可知，当ab1时，11n0n1n2n3n4n5n...CCCCCC0nCn2Cn4...C1Cnn3Cn5...0，C0nCn2C4n...C1nC3nC5n...所以C0nC1nC2nC3nC4nC5n...2n又由A可知，，n1所以C1nC3nC5n2，故B正确；nn11n220nn01n2nnn0nC.uvCuvCuvCuv...Cuvnn11n220nn01n2nnn0nCvuCvuCvu...Cvu，2nC2，……，C0nCnnC1nCn1nC由组合数的性质可知，，，nn，故C正确；可知，uvvu第9页/共25页660542066D.exx6C06exx6C16exx6C26exx6...C66exx，n因为exex，023665x4，x654x3，x6x6，x66x5，x6456665432x，x6543216!，x66543x2，x66f06!，故D正确.所以故选：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）A.全球游戏高手占比不超过10%B.某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC【解析】【分析】利用全概率公式和条件概率定义进行计算.【详解】A项，高智商中有的人是游戏高手概率为0.0050.950.00475，非高智商人群中是游戏高手的概率为0.9950.050.04975，所以全球游戏高手占比为0.004750.049750.05450.1，所以A项正确；B项，既是游戏高手，也是高智商的概率为0.0050.950.004750.001，所以B项错误；PA0.0545C项，设事件A为某人是游戏高手，事件B为某人是高智商，则，0.0050.9519PABPA0.0870.08，所以C项正确；PB|A则0.0545218190.0870.085，所以D项错误PB|AD项，由C项知，故选：AC.218x12.已知定义在上的函数fx满足fx2，，且实数xxf11afxfx2对任意x0都成立（ln20.693，ln31.098）f1有极小值，无极大值fx8A.B.第10页/共25页23既有极小值，也有极大值fxaD.C.【答案】ABD【解析】2fx][x212x]xfxxxC222[xC，其中为常数，【分析】将题设条件化为，进而有xfxx上ln2x，根据已知求得，对函数求导判断A、B、C；问题化为x2111fxfxf020()2x2)且求参数范围判断D.0a，结合的极值2x2x20x00【详解】由题设2fxxxx)，则22xx2fx2(xxxx)，2x]222x为常数，，所以[x2fx][x22xfxxxC，其中C，故1又f1，则，所以f1C1xfxxx1222，即fxx2，x22lnx2x)6fxxf18，A对；f所以，故，则xx3x2x42(x2x1由fx且x，令g(x)x在x上递增，3x2x11g10g(2)20.4430，02)使g(0)00，即，故，x204(0,0)上g(x)0，即f(0,)上g(x)0xfx0，递减；f(x)>0fx，递增；，即所以有极小值，无极大值，B对，C错；fx111xafxf020()2a，2由题设，上，即2x2x0x001115令t(，则f0ytt在上递增，故，2t(fxy(,2)x2440160523a所以，D对.16故选：ABD1x]fx，进而求得x【点睛】关键点睛：根据题设条件得到[x2fx][x222为关键.x2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第11页/共25页1a1an13满足，且9，则aann113.已知数列______．2n1【答案】【解析】3【分析】先求得数列的周期性，再应用周期性求值即可.1n1n1n11an1an1n22n2an2an4a，n【详解】由，得1a1n21n1aaa则.951313故答案为：.14.已知，，且m，则______．x22xm0mR的两共轭虚根为xxxx231212【答案】3【解析】xxm12x1aix1ai且aR，结合题设和复数模长、乘【分析】由根与系数关系有，设，xx21212法运算求参数.xxm12x1aix1ai且aR，【详解】由题设，可令，2xx2112xx21a223a22，所以所以12xx1a2m3.12故答案为：315.已知圆C:x324，过直线l:4x3y102y4上一动点P作圆C的两条切线，切点分PAPB别为A，B，则的最小值为______．42【答案】【解析】5PC【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用的最小值，即可求解.交于点D，【详解】如图，连结,CB，CAPA，CBPB，AB和第12页/共25页PAPB2PD，2PC42PA42PC因为PAPDPC，所以PD,PCPCPC4为增函数，yx设，易知其在x43341PC的最小值为圆心C4到直线l:4x3y10d5，则的距离4232421542PD5PAPB，那么的最小值为所以的最小值为.5542故答案为：5ABCD棱长为2，E，F分别是棱CD的中点，M是正方体的表面上一动116.正方体，1111点，当四面体BEFM的体积最大时，四面体BEFM的外接球的表面积为______．【答案】π【解析】1M点离平面1距离得到M与1重合，再将1置于如下直角坐标系中求外接圆圆心，进而确定空间坐标系1中外接球球心O坐标，即可求球的表面积.//CD1//B,E,F,ABEFM的体积最大，【详解】如下图，，即四点共面，要使四面体11CD上点到平面距离都相等，1只需M点离平面最远即可，显然点D、线段11DE0),F(0,B(2,0)构建下图空间直角坐标系，则，所以0)，若面的一个法向量为m(x,y,z)，1EFmyz0，令，则y2m(2)，则EBm2xy0第13页/共25页C(0,0),C(0,2),(2,0),B(2,2)EC0)EC2)而，则0)，，，111BB(0,0,2)，1|mAB|43|mEC|23，C所以A到面距离为到面距离为1，1|m||m||m||mBB|43B距离为1C到面距离为12，到面1，111|m||m|综上，正方体的表面上1到面距离最远，故四面体BEFM的体积最大，M与重合，C11首先确定外接圆圆心O坐标，将置于如下直角坐标系中，111C(2,FE，则O1:yx与FC的垂直平分线l的交点，1则由是直线111233k2l)l:y2(xl:4x2y70kFC中点为1，则，且，故，即，1227676xyyx7777O(0,,)，O(,)，即对应到空间直角坐标系的坐标为1联立4x2y701666677由四面体BEFM的外接球球心O在过O垂直于面的直线上，设1O(n,,)，16657177由|||，即(2n)()()n，222n2()()，所以2266666第14页/共25页717114114()2()2()2，故外接球的表面积为4π(2)π.故外接球半径为666故答案为：π【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面距离最远的点为关键.1四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．2nadbc2nabcd，其中．附：abcdacbdP2k00.0503.8410.0100.001k06.63510.828（1）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；不喜欢看演唱喜欢看演唱会合计会文科老师理科老师合计304050（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关28（2）55【解析】1）根据表格进行运算即可得到完整的列联表，再根据卡方计算公式运算对比临界值即可求解.（2）根据超几何分布的概率计算公式进行运算即可求解.【小问1详解】第15页/共25页由表可知喜欢看演唱会的理科老师有503020文科老师共有1006040人，理科老师共有204060人，403010人，不喜欢看演唱会的文科老师有人，不喜欢看演唱会的人有104050人，完成22列联表如下表所示：不喜欢看演唱喜欢看演唱会合计会104050文科老师理科老师合计3040602050100210012002002nadbc503216.6673.841，故有95%的把握认为abcdacbd40605050本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关.【小问2详解】由题意11名老师中，有4名老师喜欢看演唱会，有7名老师不喜欢看演唱会，若从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会，则只能从4名喜欢看演唱会的老师中抽取1人，从7名不喜欢看演唱会的老师中抽取2人，C14CC2742128p即所求的概率为.316555-ABCAA18，6，E，F为CCC118.如图，在直三棱柱中，上分别靠近C和的四等分1111AABBEF点，若多面体的体积为40．11（1）求EF到平面AABB的距离；11EABB（2）求二面角的大小．1π【答案】（1）2；（2）.4【解析】第16页/共25页1）由直三棱柱结构特征有1//AA，应用线面平行判定证1//AABB，问题化为求C面111中AB上的高h，根据多面体体AABBABCAABB面，进一步化为求11到面的距离，再结合面11积列方程求结果；（2）过C作CDAB于D，过作EHAABB面于H，连接,，证面CEHD，进而E11EABB1有EDH为二面角的平面角，即可求大小.【小问1详解】-ABC1//AA1AABBAA1AABB，直三棱柱中，面，面111111111//AABBEF//AABB，只需求CAABB所以又面则C面，即面到面的距离，111111ABCAABBAABBAB面，11面，面上的射影在直线11中ABAABBAB上，即CAABB在面到面距离为上的高h，1111又E，F为CC上分别靠近C和C的四等分点，且多面体AABBEF的体积为40，1111111所以V86h226h40，可得h2，即EF到平面AABB的距离为2.11B23211【小问2详解】过C作CDABE作EHAABB面于H,，连接，于D，过11由（1）分析易知：CDEH,CD//EH，即四边形CEHD为平行四边形，1AB，则1AB由由而面，面，CD1C，CD,1面CEHD，则ABDE面CEHD，DE,面CEHD，则，，EABBEHCDh2，CE2，故EDH为二面角的平面角，由（1）知：1EHπtanEDH1，故锐二面角EABB为所以.1DH4满足，3，且*．a12a2n22nn1nN19.已知数列n第17页/共25页a为等比数列；n（1）求证：数列an111（2）若b1nbS的前n项的和．nn，求数列naan1n【答案】（1）证明见解析1(n（2）221n【解析】1）根据已知等式变形得，利用等比数列的定义证明即可；an2n12aan1nn（2）对项数分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.【小问1详解】nN*a2a3n22nan112，且，，n2n12aNan*aa10，且，21n1nn2n1n1n，2nN*a是以1为首项，2为公比的等比数列.n故数列an1【小问2详解】n2n1an1由（1）知，，aa1aa2,nn12n2，则有，，213212n12n11，各式相加得an112222n212a21a2n11.n又，则11nn，aan1n1111111111n则当为奇数时，Sn122334n1nnn11111221；1n1n第18页/共25页1111111111nSn当为偶数时，122334n1nnn11111221；1n1n1(n综上所述，Sn.22n1ac20.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列．πA（1）若（2）若，求角C；5S的面积为S，求的取值范围．a2π【答案】（1）C；513).（2）(,22【解析】1）由题设可得b等变换可得sin(B)sinAcaaB2a2ac，结合余弦定理可得，应用正弦边角关系、三角恒BAA，即可求角C；，进而有（2）由（1）有B2A，结合锐角三角形得ππA，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得64S2)3，令ttanA(,，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围.a22)23【小问1详解】aac，且Cπ(AB)，由题设b2a(ac)，即b222acBac2aB，即caaB，由b2a2c2所以CA2sinAB，即sin(AB)sinA2sinAB，所以AsinBsinAsinAB，故sin(B)sinA2π，π所以BAA或BAπAB2A，故C.55【小问2详解】第19页/共25页π0A2πππA由（1）知B2A，为锐角三角形，则02A，可得，264π0π3A21ScsinBsinCsinBsin(3)sin(2)SacsinB又，则，2a22a2sinA2sinAS1sin(3)cosAsinAAcos2A2Asin2Asin22A)所以，a222tanA1tan1tan22AAS2tanA1tan1tan22A1又sin2A，cos2A，故()，12A21tan2aAA2S2)3Stt3ft)整理得，令ttanA(,，则，a22)2a2t2)233tt246)0，ft)gt)t4t23，则gt)tt2所以，令t)23338g(t)在t(ft)00，即，故上递减，gt)g()339Stt313).3ft)在t(ft)(,22所以上递减，故a2t2)23xP4x的准线l交轴于M，过11l121.已知抛物线:y2作斜率为的直线交于C,D，过作斜率为k2的直线2交于1QE,G．Fl（1）若抛物线的焦点，判断直线l与以EG为直径的圆的位置关系，并证明；2（2）若C,E,M三点共线，kk①证明：为定值；12ll夹角②求直线与的余弦值的最小值．21【答案】（1）相切，证明见解析3（2）①1；②5【解析】1）将直线EG和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段EG的中点和长度，即可得以EG为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线l的距离与半径的大小关系来去顶直线与圆的位置关系；第20页/共25页214y224yC,y,E,yC,E,Myy=4三点共线即斜率相等可得，再将其代入12（2）①设，通过12y2111kk,，212221,l的倾斜角分别为2yy计算即可；②设直线11144tantank211tantan1k21tantank,kk的关系代入消，通过直线和抛物型线相交，，通过212k利用判别式求出的范围，进而可得最值.1【小问1详解】FlEG即为直线F1,0，又若抛物线的焦点，则直线21011x，整理得l:x2y10故l:yx2y10x，消去得y28y40，联立y4x2D=64+16=80>0yy8yy4，则，12EGxx2yy218G所以，EGEEG122yy4yy5641620，2且12122y42100，其圆心为4，半径为10，故以EG为直径的圆的圆的方程为x9所以以EG为直径的圆的圆心到直线l的距离为9110，故直线l与以EG为直径的圆相切；【小问2详解】214y224y，C,y,E,y，又2M1,0,P,Q1①设1k因为C,E,M三点共线，所以k，1y212y22y2yy=4，12即y，整理得111444第21页/共25页214y22y11y21y11y2111kk所以212221yyy224y2141111441y42y2141y42224yy21y21y21y21122244y141,2yyy2221y16222421414kk即为定值1；12l,l的倾斜角分别为,②设直线，12tantank2k11tantan11tantan1k211k1k2则1341112l:ykx11由已知可得，1144ykx11y40，1x，消去得y2联立y24x112441515所以440，解得