第09讲 认识一元二次方程（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第09讲认识一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解一元二次方程的概念，并能判别一元二次方程及利用定义求解；2．会把一元二次方程化为一般形式；3．一元二次方程解的意义及会估算。知识点1一元二次方程的概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.知识点2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.知识点3一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.考点一：利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、，不是整式方程，故本选项不符合题意；C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【变式1-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；B、，是一元二次方程，符合题意；C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义进行判断即可【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确；故选：D．【变式1-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：①，是一元二次方程；②，当时，不是一元二次方程；③，不是整式方程，不是一元二次方程；④，是一元二次方程；⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；；⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；∴一元二次方程有2个，故选：B．考点二：利用一元二次方程的定义求参数例2.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．【详解】解：关于的方程是一元二次方程，，解得．故选：C．【变式2-1】（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（

）A．2或 B．2 C． D．且【答案】C【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴且，解得．故选：C．【变式2-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴的系数不为0，即，∴，故选：A.【变式2-3】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．【详解】解：∵是一元二次方程，∴，解得，故选：B．考点三：一元二次方程的一般形式例3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可．【详解】解：∵∴∴故答案为：【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式为．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式即可．【详解】解：，移项，得，合并同类项，得，即，故答案为：．【变式3-2】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式后得到二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【答案】12【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．首先利用平方差公式进行计算，再整理得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．【详解】解：方程整理为一般形式为，∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是，故答案为：1，2，．【变式3-3】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．【详解】解:方程整理得:,二次项系数为1,一次项系数为,常数项为则.故答案为:.考点四：一元二次方程的解求参数的值例4.（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是．【答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值．【详解】解：把代入，可得出，解得：，故答案为：2．【变式4-1】（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，满足一元二次方程，，解得，．故答案为：．【变式4-2】（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可．【详解】解：把代入方程得解得：故答案为：．【变式4-3】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是．【答案】【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，∴将代入方程得：，解得：，故答案为：．考点五：一元二次方程的解求代数式的值例5.（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为．【答案】【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键．【详解】解：∵是关于的方程的解，∴，∴，故答案为：．【变式5-1】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，故答案为：．【变式5-2】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．【详解】∵m为方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【变式5-3】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．【详解】∵为方程的根，∴，∴，∴原式．故答案为：．考点六：一元二次方程的解的估算例6.（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是【详解】由表格可知：在和之间，对应的在和之间，所以一个解的取值范围为故选【变式6-1】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案．【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大，当时，，当时，，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，∴方程的一个解的范围为．故选：B．【变式6-2】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．【详解】解：时，，时，，∴一元二次方程的解的范围是．故答案为：【变式6-3】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足．x1【答案】/【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．【详解】解：时，，时，，时，存在，即方程必有一个解x满足，故答案为：．一、单选题1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可．【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；C、是分式方程，不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意；故选D．2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可．【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项．故选A．3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入，解关于m的方程即可．【详解】解：将代入，得：，解得，故选C．4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（

）A．2026 B．2025 C．2023 D．2022【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．【详解】解：∵是关于的方程的一个根，∴，∴，故选：D．5．（23-24九年级上·山西太原·期中）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下：11.11.21.31.40.290.76由此可估算方程的一个根的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．【详解】由表可知，当时，，当时，，∴方程的一个根的范围是．故选：C．二、填空题6．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可．【详解】解：，整理，得：；故答案为：．7．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是一元二次方程的有（把所有正确选项的序号都填上）【答案】③④⑦【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解．【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程；②不是整式方程；不是一元二次方程；③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；④整理为，是一元二次方程；⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程；⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程；⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程；⑧不是整式方程，不是一元二次方程．答案：③④⑦8．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知是一元二次方程，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．【详解】解：∵是一元二次方程，∴，解得：．故答案为：．9．（2024·山东东营·二模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解；由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值．【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0，将代入原方程中得当时，故答案为：．10．（23-24八年级下·山东泰安·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是【答案】【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，将代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案，熟记及一元二次方程根的定义是解决问题的关键．【详解】解：是关于的方程的一个根，，则，故答案为：．三、解答题11．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)（为已知数）；(7)．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)不是(5)不是(6)不是(7)是【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．（2）根据一元二次方程的定义判断即可；（3）根据一元二次方程的定义判断即可；（4）根据一元二次方程的定义判断即可；（5）根据一元二次方程的定义判断即可；（6）根据一元二次方程的定义判断即可；（7）根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；（2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程，故不是一元二次方程；（3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1，故是一元二次方程；（4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程，故不是一元二次方程；（5）解：不是整式方程，故不是一元二次方程；（6）解：中当是，原式化为，故不是一元二次方程；（7）解：化简即为，∴是一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)(2)(3)(4)(5)(6)．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；(2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；(3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；(4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为；(5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；(6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可．【详解】（1）解：将化为一般形式为：，则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；（2）将化为一般形式为：则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为；（3）将化为一般形式为：则：二次项系数