第12讲 用因式分解法求解一元二次方程（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第12讲用因式分解法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2．因式分解法解一元二次方方程的应用；知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：．【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：．【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．考点二：用十字相乘法求解一元二次方程例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：②交叉相乘，验中项：

③横向写出两因式：（2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解：方程左边因式分解得或试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：．【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：（2）若，则或，所以方程可以这样求解：方程左边分解因式得∴或∴，上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：

③横向写出两因式：．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题例3.（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程：解：方程两边因式分解，得，①方程两边同除以，得，②∴原方程的解为．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下：解法一：或或解法二：，，此方程无实数根．(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．(2)请选择合适的方法求解此方程．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：甲：两边同除以得：则（

）乙：移项得提公因式则或（

）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以得，第2步：移项，得，第3步：解得．小彤的解题过程：第1步：移项，得，第2步：提取公因式，得．第3步：则或，第4步：解得，．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题例4.（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（

）A．1 B．11和13 C．11或8 D．13【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（

）A． B． C．10 D．【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（）A．或 B． C． D．或【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，，则方程的一个根是线段（

）的长度A．或或 B．或 C． D．考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（

）A．都为 B．都为 C．或 D．或【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（

）A．1 B． C．5或 D．5考点六：换元法解一元二次方程例6.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．【变式6-1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．(1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________．(2)求方程的解．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若，则的值为___________；(2)解方程：．【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，当时，，，∴；当时，，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解答下列问题：(1)；(2)．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（）A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（

）A． B． C． D．3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C．25 D．54．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（

）A．或 B．或7 C．或7 D．或二、填空题6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是．7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为．8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为．9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于．10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程(选填“是”或“不是”)“倍根方程”．（2）若是“倍根方程”，则三、解答题11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程：(1)；(2)．12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：(1)；(2)．13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)(2)14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：解：方程两边除以，得第一步移项，合并同类项，得第二步系数化为1，得第三步任务：(1)小明的解法从第__________步开