专题02 因式分解（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

专题02因式分解目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一判断是否是因式分解】 1【考点二已知因式分解的结果求参数】 3【考点三找公因式】 4【考点四判断能否用公因式法分解因式】 5【考点五综合提公因式和公式法分解因式】 6【考点六利用因式分解求代数式的值】 8【考点七十字相乘法】 9【考点八分组分解法】 13【考点九因式分解法的应用】 16【过关检测】 191.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.2.因式分解的方法：考点剖析【考点一判断是否是因式分解】例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【考点二已知因式分解的结果求参数】例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（

）A． B．5 C．1 D．【变式训练】1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（

）A． B． C． D．42．（22-23八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【考点三找公因式】例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是(

)A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【考点四判断能否用公因式法分解因式】例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（

）A． B． C． D．2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点五综合提公因式和公式法分解因式】例题：（23-24八年级上·新疆喀什·期末）分解因式：(1)(2)．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）分解因式：(1)(2)2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式：(1)(2)(3)(4)【考点六利用因式分解求代数式的值】例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）若，则的值为．【变式训练】1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知，则代数式．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为．【考点七十字相乘法】例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．【变式训练】1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．2．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

观察得出：两个因式分别为与解：原式③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．【考点八分组分解法】例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式），乙：（分成两组）（直接运用公式）请在他们的解法启发下解答下面各题：(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）______．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：①______．②______．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．【考点九因式分解法的应用】例题：（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：请你解答下面的问题：(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：；(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你分析这个长方形的长和宽．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，设，则原式．再将代入，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：(1)因式分解：；(2)因式分解：．2．（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．例1：分解因式：；原式；例2：求代数式的最小值．原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：______；(2)求多项式的最小值；(3)已知，求m，n的值．【过关检测】过关检测一、单选题1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（

）A． B． C． D．2．（22-23八年级下·山东济南·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．3．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（）A．35 B．150 C．300 D．6004．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（

）A．1 B． C．2 D．二、填空题6．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式：．7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）分解因式：．8．（23-24八年级上·山东日照·期末）若多项式分解因式的结果为，则的值为．9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知，，则多项式的值为．10．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）的三边a，b，c为互不相同的整数，且，则的周长为．三、解答题11．（23-24八年级上·山东威海·期末）因式分解：(1)(2)12．（23-24八年级上·河南安阳·期末）因式分解：(1)；(2)．13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）因式分解：(1)；(2)．14．（23-24八年级上·天津和平·期末）分解因式：(1)___________；(2)___________；(3)（要求写过程）．15．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）因式分解：(1)；(2)；(3)．16．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）阅读以下材料材料：因式分解：解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：______；(2)因式分解：；17．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．18．（23-24八年级上·河南商丘·期末）【材料阅读】若，求m和n的值．解：由题意得．．解得，．【问题解决】(1)对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；(2)已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长．19．（23-24八年级上·山东济南·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：（2）求代数式的最小值．∴当时，代数式有最小值结合以上材料解决下面的问题：(1)若二次三项式恰好是完全平方式，k的值是；(2)分解因式：；(3)当x为何值时，有最小值?最小值是多少?20．（23-24