高中数学 人教A版 选修一 空间向量基本定理 教学设计

安徽省2022年优质课

评比之团体赛

普通高中教科书人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

1.2空间向量基本定理

（第一课时）

教

学

设

计

授课人：安徽省无为中学鲁贤龙

录

第一部分：单元教学设计

一、单元内容及其解析................................................1

二、单元目标及其解析...............................................2

三、单元教学问题诊断分析...........................................2

四、单元教学支持条件分析...........................................3

第二部分：课时教学设计

一、教学内容........................................................3

二、教学目标........................................................3

三、教学重点与难点..................................................4

四、教学过程设计....................................................4

（一）创设情境，提出问题...........................................4

（二）观察实验，得出猜想...........................................4

（三）类比推理，得出结论...........................................6

（四）例题教学，巩固理解...........................................7

（五）当堂检测，检验效果...........................................8

（六）小结提升，形成结构...........................................8

（七）布置作业，应用迁移...........................................9

五、板书设计........................................................9

六、目标检测设计...................................................10

七、教学设计说明...................................................10

1.2空间向量基本定理（1课时，单元教学设计）

安徽省无为中学鲁贤龙

单元学习基本信息

学科数学实施年级高二

使用教材版本人民教育出版社A版2019年选择性必修第一册

单元主题名称空间向量基本定理

单元课时2课时

一、单元内容及其解析

1.内容

空间向量的正交分解和空间向量基本定理及其应用，知识结构图如下:

本单元建议用2课时：第1课时，空间向量基本定理；第2课时，空间向量基本定理的应

用.

2.内容解析

本单元的主要内容是空间向量基本定理.空间向量基本定理是立体几何问题代数化的

基础.我们通过选定一组三维基底，将空间内的任意向量表示为这组基底的一个线性组合.

因为这种表示具有唯一确定性，所以这里实际上建立了空间向量与三维有序实数组的一一对

应.如果在空间直角坐标系中取一组单位正交基底{i,j,k},使i,j,左的大小、方

向分别与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的长度单位、方向一致，那么就可以用空间直

角坐标系中的坐标表示空间向量.利用空间向量的坐标表示，就可以彻底实现通过代数运算

解决几何问题的目标.所以，本单元是后续空间向量及其运算的坐标表示的基础.

因为空间向量基本定理和平面向量基本定理在形式和内容上的高度一致性，所以可以通

过类比平面向量基本定理研究空间向量基本定理,将定理从二维推广到三维.空间向量基本

定理是空间向量与立体几何之间的桥梁.这个定理表明，任意空间向量都可以用三个不共面

的基向量表示，空间结构变得简单明了.这样就可以将空间内所有向量的运算问题转化为基

底的运算问题.

本单元内容蕴含着丰富的数学思想，如转化与化归、数形结合思想等，体现了数学地思

考问题的方法有以简驭繁和类比等，这有助于引导学生认识运算的价值，发展直观想象、数

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学运算、逻辑推理等素养.

基于以上分析，确定本单元的教学重点：空间向量基本定理及其应用.

二、单元目标及其解析

1.目标

（1）掌握空间向量的正交分解.

（2）了解空间向量基本定理及其意义.

（3）能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）能类比平面向量基本定理的研究过程，探究并证明空间向量基本定理；能用三个

不共面的向量表示空间中任意一个向量，或将一个空间向量分解为三个不共面向量；能解释

定理中的关键词“任一向量”“有且只有”.

（2）能类比平面向量的正交分解研究空间向量的正交分解，会举出正交分解的实例，

能分析空间向量正交分解与空间向量基本定理的内在联系，会用单位正交基底表示所给向

量.

（3）能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些

立体几何问题.

（4）能在探究空间向量基本定理和利用空间向量基本定理解决一些立体几何问题的过

程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会类比、转化与化归、数形结合等数学思想.

三、单元教学问题诊断分析

本单元的认识基础有如下几个方面：

首先，平面向量基本定理的学习为探究空间向量基本定理奠定了基础.平面中的两个不

共线向量就是二维向量空间的一个基底，空间中的三个不共面向量就是三维向量空间的一个

基底.从共线向量定理到平面向量基本定理再到空间向量基本定理,它们所体现的数学思想、

研究和认识问题的方法是一脉相承的.

其次，在平面向量单元的学习中，学生已经学会用向量法解决几何问题的基本思路，这

为我们利用空间向量解决一些立体几何问题打下了基础，提供了可借鉴的研究方法和思路，

可以引导学生进一步体会用向量语言、向量方法表述和解决立体几何问题的简捷性.

本单元的学习中，学生可能存在如下一些问题：

（1）平面向量基本定理揭示的是平面上的向量之间的关系，单位正交基底下对应的是

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直角坐标系中点的坐标问题，学生相对比较熟悉.随着维数的增加，问题更加复杂，特别是

向量的分解从平行四边形上升到平行六面体，对空间想象力的要求高，会给学生造成一定的

困难.为此，教学中除了要引导学生利用两次平面向量正交分解得到空间向量的正交分解外,

还要注意提醒学生发现向量分解从平面向空间的推广过程中，维数的改变引起分解结果形式

的变化.

(2)学生对空间向量基本定理中的“任意性”和“唯一性”的理解仍是一大难点，教

学中既要利用信息技术动态演示，使学生形成直观感受，又要设计恰当问题让学生体会“反

证法”这一特殊的证明方法，引导学生根据具体条件进行逻辑表达和转换，为后续“唯一性”

的证明做好铺垫，同时也要引导学生回顾平面向量基本定理中“唯一性”的证明过程，从而

较为自然地给出严格证明.

(3)由于学生空间想象能力的不同，对立体图形基本元素及其基本关系的把握上也有

所差异，而在利用空间向量基本定理解决立体几何问题时，恰当的基底选择非常重要，这依

赖于学生有较好的空间想象能力,这对学生而言存在着一定的困难,也是本单元的一个难点，

教学时要注意引导学生从几何图形的组成元素及其基本关系上加强分析.

本单元的教学难点为：空间向量基本定理“唯一性”的证明，基底的恰当选择.

四、单元教学支持条件分析

在利用基底对空间向量进行分解时，借助动态几何软件呈现不同“回路”的分解过程，

帮助学生观察“变化中的不变性”，从而培养学生对空间图形基本元素及结构的整体把握能

力.

五、课时教学设计

第1课时空间向量基本定理

(-)教学内容

空间向量的正交分解；空间向量基本定理及其证明.

(-)教学目标

(1)能类比平面向量基本定理的研究过程，探究并证明空间向量基本定理，能用三个

不共面的向量表示空间中任意一个向量，或将一个空间向量分解为三个不共面的向量；能解

释定理中的关键词“任一向量"''有且只有”.

(2)能类比平面向量的正交分解研究空间向量的正交分解，会举出正交分解的实例，

能分析空间向量正交分解与空间向量基本定理的内在联系，会用单位正交基底表示所给向

量.

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(=)教学重点与难点

重点：空间向量基本定理，定理的猜想和证明过程.

难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明.

(四)教学过程设计

1.创设情境，提出问题

引导语：同学们好！在前两节课的学习中，我们类比平面向量，给出空间向量的概念及

其运算法则、运算律.本节课，我们将在前两节课学习的基础之上，类比平面向量基本定理

研究空间向量基本定理.

问题1：平面向量基本定理的内容是什么？

师生活动：学生回忆平面向量基本定理的大致内容，教师展示定理内容.

平面向量基本定理：如果4，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量。，有且只有一对实数4，4,使a=44+462.

若e2不共线，我们把｛勺，e?卜叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

师生活动：教师演示Geogebra软件动画，学生观察、回忆、交流、思考，类比平面向量

基本定理的研究过程进行.

由平面向量基本定理可知，平面内长方形的对角线所对应的向量，可以用从同一个顶点

出发的两条邻边所对应的向量表示.类似地，空间中长方体的体对角线所对应的向量能否用

从同一个顶点出发的三条棱所对应的向量来表示呢？

【设计意图】通过Geogebra的演示，让学生引起认知冲突，激发学生的求知欲，同时

也能培养学生发现问题、提出问题的能力，感受引入空间向量基本定理的必要性.引导学生

学会用数学的眼观观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，充分体现数

学教学的育人功能.

2.观察实验，得出猜想

上面我们猜想：用三个两两垂直的向量可以表示空间中的任意一个向量.

问题2：设i,j,4是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量P，如何

用它们表示？---------------2―P------------

师生活动：学生作图观察、独立思考后，交流得出：%_

通过进行两次平面向量的正交分解得到，教师利用信息”

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技术手段演示并帮助小结.

证明：根据向量的自由性，如图所示，设表示向量i,j,k,p的有向线段有公共起

点0.对于任意一个空间向量p=OP,设。。为。尸在i,j所确定的平面上的投影向量，

则OP=OQ+QP.又向量。尸，左共线，因此存在唯一的实数z,使得QP=zA,从而

OP=0Q+zk.

而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序实数对(x,y),

使得OQ=xi+yj.从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.

因此，如果i,j,左是空间中三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p,存

在有序实数组(x,y,z),使得p=xi+W+zA.

我们称立，yj,z4分别为向量p在i,j,A上的分向量.

教师补充：我们把上述空间向量的分解形式称为正交分解，可以看出空间向量的正交分

解与平面向的正交分解类似，区别仅在于基底多了一个向量，从而分解结果中也多了一“项”.

追问1：这种表示方式“唯一”吗？如何严格论证？

师生活动：学生通过回顾、思考、发言交流得出：类比平面向量基本定理中“唯一性”

的证明，我们可以依据向量共面定理，同样采用反证法来证明“唯一性”.

证明：假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x,y；z),使得p=xi+yj+z'A,

贝！］尤i+yj+zk=xi+yj+zk.

不妨设X'HX,贝Ij(x-x)i=(y-y')j+(z-z')A.

两边同除以x—x,得i=2二'/+3二2A.

X-xX-x

由平面向量基本定理可知，i,j,左共面，这与己知矛盾.所以有序实数组(x,y,Z)

是唯一的.

追问2：对于任意一个空间向量p在上述i,j,左方向上的分解，还有其他的作图方

式吗？

师生活动：教师让学生思考、动手实验、观察、感受.通过作图发现：p在i，j,左方

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向上的分解图形为确定的长方体模型，线段0P为长方体的体对角线.

追问3：如果此时几何体由长方体变成平行六面体，你又能得出什么猜想？

问题3：如果给定三个不共面的向量a,b,c不是两两垂直的，任意一个空间向量还

能用它们的线性运算表示吗？

师生活动：学生思考、分组交流，教师引导整理.可以看到，此时证明与问题2的区别

在于把两两垂直的三个基向量换成了一般的三个不共面向量.学生经过思考得出，可以模仿

问题2的证明.

从而QP=CM+OB+OC=xOA+yOB+zOC,所以p=xa+）力+zc.

类似于上面空间向量的正交分解中对唯一性的证明，可以证明这个表达式是唯一的.

（教师利用信息技术手段演示平行六面体模型）

追问1：当向量p与其中一个向量共线时，结论成立吗？

追问2：当向量p与其中两个向量共面时，结论还成立吗？

追问3：当向量p=0时，此时会出现什么结果？

师生活动：学生思考得出，任意向量p都可以这样表示，只不过此时某些系数为0.

【设计意图】引导学生自主探究，得出猜想，如果把三个不共面的向量作为空间的一

个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运

算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.“唯一性”的证明是本节课的

难点，通过回忆平面向量基本定理“唯一性”证明作铺垫，突破这一难点也就水到渠成了.

3.类比推理，得出结论

问题4：类比平面向量基本定理的表述，你能写出空间向量基本定理吗？

师生活动：学生逐一对于平面向量基本定理的内容，用自己的语言描述空间向量基本定

理，教师补充，规范书写.

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平面向量基本定理：如果4，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a，有且只有一对实数4，4，使a=4eI+%e2.

若4，e?不共线，我们把｛q,e?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

空间向量基本定理：如果三个向量a，b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存

在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=M+y)+zc.(教师板书)

我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.

问题5：基底的选择有什么要求？

追问1：基底与基向量有什么联系与区别？

追问2：0能作为基向量吗？

师生活动：学生思考后得出，由定理可知，不共面的三个向量都可以表示空间中的任一

向量，而这三个向量就是一个基底，所以基底是不唯一的.特别地，如果空间的一个基底中

的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k]

表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量p,均可分解成三个向量加，yj,

zk,使p=xi+历+zA.

【设计意图】平面向量基本定理是空间向量基本定理的“先行组织者“，通过回忆和类

比，有助于学生在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的抽象，

将问题数学地表征出来.

4.例题教学，巩固理解

例1如图，M是四面体。45c的棱的中点，点N在线段上，点P在线段

13

AN上，且MN=-ON,AP=-AN,用向量。4,OB,0C表示。P.

24

师生活动：我们从图形中观察到OA,OB,0C是三个不共面的向量，/1\\

它们构成空间的一个基底｛。4,。8,。。｝,0P可以用基底>y：Aiy>

[OA,OB,。。｝唯一表示出来.学生先确定向量0P所在的一个“回路”

图形，再由空间向量的线性运算得到其中的一个解法如下：

解：OP=QA+AP=Q4+』A7V

4

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13-31311

^-OA+-ON--OA^-OA+-(-OB+-OC)

4444433

-OA+-OB+-OC.

444

【设计意图】例1是用三个不共面的向量表示一个具体的空间向量的例子，目的是加

深学生对空间向量基本定理的理解.教学时要注意引导学生结合已知和所求、观察图形结构,

通过空间向量基本定理、向量线性运算等，将所要表示的向量用题目所给三个不共面向量以

线性组合的方式表示出来.

5.当堂检测，检验效果

1.已知O,A,B,C为空间的四个点，且向量。4,08,0。不构成空间的一个基

底，那么点0,A,B,。是否共面?

【设计意图】检测学生对空间向量基本定理中基底的理解程度，考察逻辑推理能力.

2.如图，已知平行六面体0ABeO'ARC',点G是侧面BBCC的中心，且

0A—a,0C=b,OO-c.%

（1）｛a,b,c｝是否构成空间的一个基底？&

⑵如果｛a,b,c｝构成空间的一个基底，那么用它表示下列向£------

量：OB,BA,CA,0G.

【设计意图】检测学生根据空间向量基本定理，用空间基底表示任意空间向量的达成

情况.

6.小结提升，形成结构

问题6：回顾空间向量基本定理的探究过程，回答下列问题：

（1）请结合空间向量基本定理和平面向量基本定理的联系和区别填写下表.

（2）空间向量基本定理的主要作用是什么？

（3）探索、证明空间向量基本定理，我们经历了怎样的过程？用到了哪些数学思想和

方法？

师生活动：由学生独立思考后进行小组讨论，然后各小组派代表进行全班交流，教师适

时点拨总结.

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定理及维度二维三维

平面向量基本定理空间向量基本定理

分类

表述形式

a—+4^2p=xa+yb+zc

基向量个数23

基向量要求q,Q不共线a,b,c不共面

对于实数（对、组）（4,4）（X，y，z）

【设计意图】（1）利用表格形式类比平面向量基本定理与空间向量基本定理，有助于学

生比较和理解二者的联系与区别.

（2）由空间向量基本定理可知，如果把三个共面的向量作为空间的一个基底，那么所

有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间地运算都可以转化为

基向量间地运算，这为解决问题带来了方便.

（3）对于空间向量基本定理的证明，我们先从“作正投影”开始，先在特殊情景（空

间直角坐标系）下给予证明，然后再推广到“一般情形”（任意基底），最后再回归到单位正

交基底，是一种“特殊T一般T特殊”的思维过程.在这一过程中运用了数形结合、转化与

化归、类比等数学思想方法.

7.布置作业，应用迁移

必做题：教科书习题1.2第3、4题.

选做题：查阅相关资料，了解有关空间向量基本定理的数学史，并在全班交流汇报.

【设计意图】第1题可以巩固空间向量基本定理及其正交分解，第2题可以激发学生

学习的兴趣，提高动手操作能力.

8.板书设计

1.2空间向量基本定理（第一课时）

1.空间向量基本定理多媒体演示区3.研究路径

定理唯一性的证明

2.基底、基向量4.

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（五）目标检测设计

1.（多选题）若向量｛a，b,c｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A.a+b.a-b.a+2bB.a-b,a+c,b+c

C.a-b,c,a+b+cD.a-2b,b+c,a+c-b

2.已知｛a,b,c｝是空间一个基底，p=a+byq=a-b，一定可以与向量p,q构成空

间另一个基底的是（）«

A.aB.bC.cD.lp_2q/Il'K

3.如图，在四面体。钻C中，点M在棱。”上，且满足OM=2M4,

点N,G分别是线段BC,MN的中点，则用向量。4,0B,。。表

13

示向量0G应为（）

1—1一1一1