专题2.7 二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）（浙教版）（解析版）

专题2.7二元一次方程组章末八大题型总结（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程的整数解】 1【题型2由方程组的错解问题求参数的值】 3【题型3解含参数的二元一次方程组】 5【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】 7【题型5整体思想解二元一次方程组】 10【题型6二元一次方程组的新定义问题】 14【题型7二元一次方程组的规律探究】 17【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 21【题型1二元一次方程的整数解】【例1】方程x+y=7的正整数解的对数是（

）A．5 B．7 C．6 D．无数对【答案】C【分析】要求方程x+【详解】解：由已知，得y=7-要使x，y都是正整数，合适的x值只能是1，2，3，4，5，6，相应的y=6，5，4，3，2，1共6对．故选：C．【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．【变式1-1】二元一次方程2x+y【答案】x=-1y【分析】要求2x【详解】解：由2x+因为二元一次方程2x则当x=-1时，y=-4；当x=-2时y=-2；当则二元一次方程2x+y=-6故答案为：x=-1y【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．【变式1-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【答案】x【分析】要求方程3x+5y＝143的正整数解，就要先将方程做适当变形，确定其中一组解，进一步得到通解，然后确定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．【详解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3-3x∴x=1y=28是方程组的一个解，其通解为x∵x，y都是正整数，∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，∴使|x﹣y|的值最小的解是x故答案为x=16【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的正整数解，解题关键是确定二元一次方程的正整数解，再判断符合题意值.【变式1-3】如果将二元一次方程：y=-2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程【答案】(2，3)，(3，1)【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x，y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程y=-2【详解】由题意可得：x>0y>0，即x>0-解得：0<x<3.5且x，y为整数，则x=1或2或3，当x=1时，y=-2×1+7=5，当x=2时，y=-2×2+7=3，当x=3时，y=-2×3+7=1，那么方程y=-2x+7的正整数点为(1，5)，(2，3)，(3，1)．则方程y=-2x十7的剩余的正整数点为(2，3)，(3，1)．故答案为：(2，3)，(3，1)．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点．【题型2由方程组的错解问题求参数的值】【例2】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x-by=1，甲看错a解得【答案】x【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组ax+甲看错了方程①中的a，解得x=1∴2×1-2b=1，解得∵乙看错了方程②中的b，解得x=1∴a+1=2，解得a∴原方程组为x+由①得：x=2-把③代入②得22-y-将y=65代入③∴方程组的解为x=故答案为：x=【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．【变式2-1】已知▲x+•y=1□x-7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：【答案】2【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，∵这个方程组的解是x=3∴3a∴c=-2∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=-2∴-2∴-2解得：a=2∴原方程组为2x【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．【变式2-2】小朋同学在解方程组y-ax=by=-2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=-1y【答案】9【分析】根据题意，把x=-1y=2代入y-ax=6，求出a的值，再把【详解】解：由题意，得：x=-1y=2∴2+a∴a=4把a=4和x=-2y=1代入∴b=9故答案为：9．【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．【变式2-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x【答案】6084【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．【详解】解：由题意得：-a+2解方程组得a=-44∴a【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．【题型3解含参数的二元一次方程组】【例3】已知方程组3x-y=5-2【答案】3【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得x=2-12【详解】解：3由①×3+②，得解得：x=2-把x=2-12k代入∴x+故答案为：3．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．【变式3-1】整数a为时，方程组2x【答案】-【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出a的值．【详解】解：∵2x∴①-②×2，得a-∴y=12将y=128-x=8-又∵方程组是正整数解，∴8-a=12时满足x、解得：a=-4故答案为：-4【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．【变式3-2】已知x，y是整数，且满足x-y+3=0，ax-yA．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得x=【详解】解：由题意得：{x②-①得：(a当a≠1时，x∵a∴a=-3或a=-1或a=0或a=2或此时y=所以a的所有的可能的值有6个，故选C【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．【变式3-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx-【答案】x【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．【详解】解：x+my=7x+my+mx-y=9+m，则x-y-9+mx+my-m=0，则x-y-9+m（x+y-1）=0，根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，x-解得x=5故答案为：x=5【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法．【题型4根据二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a-b=0，且关于x，y的二元一次方程a-A．x=3y=-1 B．x=1y=-【答案】C【分析】由2a-b=0得：b=2a，把b=2a代入a-1x+by【详解】解：由2a-b∴关于x，y的二元一次方程a-a-整理得：x+2∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，∴x+2解得：x=5y=-故选：C．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2【变式4-1】关于x，y的二元一次方程y=kx-2k+3（A．x=3y=1 B．x=2y=3【答案】B【分析】由题意可令x=2【详解】解：由y=kx-∵当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，∴当x=2时，则y∴这个公共解为x=2故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．【变式4-2】已知关于x、y的二元一次方程m-2x+mA．x=3y=-1 B．x=1y=-3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．【详解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据题意得：x解得x=-3故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．【变式4-3】定义一种新的运算：a☆b=2a-b，例如：3☆-1=2×3--1=7．若a☆【答案】x【分析】根据公式求得b=2a，将方程转化得到(x-2y-【详解】解：∵a☆∴2a∴b=2则方程a+1x-∴(x∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，∴x-解得x=-3故答案为：x=-3【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．【题型5整体思想解二元一次方程组】【例5】若关于m，n的二元一次方程组3m-an=162m-bn=15的解是m【答案】x【分析】把关于x、y的二元一次方程3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15看作关于x+y【详解】解：∵关于m,n的二元一次方程组3m-an把关于x、y的二元一次方程3(x+y)-a(x-∴x+∴关于x,y的二元一次方程3(x+y故答案为：x=5【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．【变式5-1】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y设4x+3y=m，6x-y=n所以4x+3y探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32【答案】（1）m3+n8=8m【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设4x+3y则原方程组可化为m3解关于m，n的方程组，得m=18所以4x解方程组，得x=3故答案为：m3+n（2）设2x+y则原方程组可化为3m解关于m，n的方程组，得m=8所以2x解方程组，得x=3【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．【变式5-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x-2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设(1)直接写出满足方程3x+2(2)解方程组3x【答案】(1)x=1(2)x【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；（2）仿照例题，设1x=m，1y=n，，则原方程组可变形为关于m、【详解】（1）解：当x=1y=2故方程的解可以是：x=1故答案为：x=1（2）设1x=m，1解得m=1∴1x=1，1y【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．【变式5-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y乙同学说：可以先将方程组3x+7y丙同学说：可以先解方程组x+2y=5…请用2种不同的方法解决上面的问题．【答案】m【分析】解法1：利用加减法求出x=13-3my=2m解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，则解法3：解方程组x+2y=52x+3y=8得到【详解】解法1：3①×2-②×3解得y=2把y=2m-6代入解得x=13-3∴x=13-3∵x+2∴13-3m解得m=4解法2：3①+②得，则x+2∵x+2∴m+1=5解得m=4解法3：x①×2-②得，把y=2代入①得，x解得x=1∴x=1把x=1y=23+14=5m解得m=4【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．【题型6二元一次方程组的新定义问题】【例6】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中（1）当a=2，b=1时，d（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x-3y=0时，总有dx，【答案】7，5-【分析】（1）由题意可得：x'=2x（2）由题意可得：3a【详解】解：（1）当a=2，b∵x∴（2）∵d∴d∴3化简得：3a解得：a=-故答案为：-23，【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．【变式6-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x-4=(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b-2=0和3x-【答案】(1)a(2)m=4n(3)b【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可；（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到m-n=8或n（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．【详解】（1）解：解方程2x-4=将x=-5代入方程5x+解得：a=25（2）解：由题意得：m+n=0解两个二元一次方程组得：m=4n=-4∴m、n的值为：m=4n=-4（3）解：解方程2x+3b解：方程3x-5∵方程2x+3b-2=0和3x-∴-3解得：b=2【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键．【变式6-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10(1)若2x-x(2)若x2+y【答案】(1)x(2)x【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可；（2）先按定义列出二元一次方程组求解即可．【详解】（1）解：∵2x∴2×10+x-x（2）解：∵x2∴x×10+2+y×10+3=45x-【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键．【变式6-3】对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x*y=4-mx⊗(3)若关于x，y的方程组2a1x-b1y=c【答案】(1)a(2)m=(3)x【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【详解】（1）解：由题意得a+解得：a=2（2）解：依题意得2x解得：x=∵x+∴m+1+3解得：m=（3）解：由题意得：方程组2a1x∴由方程组a1x+∴方程组2a1x解得x=【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．【题型7二元一次方程组的规律探究】【例7】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：序号123……n方程组{{{方程组解{{{按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【答案】{2x【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n考点：找规律-式子的变化点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.【变式7-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答：．【答案】{【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果.把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得由题意得，解得{x=5考点：解二元一次方程组点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题.【变式7-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x②-①得：6x+6y=6③×17得：17x①-④得：y=2，代入③得x所以这个方程组的解是x=-1(1)请你运用小明的方法解方程组1997x(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2【答案】(1)x=-1(2)x=-1【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．【详解】（1）解：{1997②-①得：20x+20③×1997得：1997x①-④得：2y将y=2代入③得x所以这个方程组得解是{x（2）解：{ax②-①得：(b-③×a得：ax①-④得：2y将y=2代入③得：x所以这个方程组得解是{x故答案为：{x【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．【变式7-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．序号二元一次方程组二元一次方程组的解①xx②xx③xx………………根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为，这个方程组的解为．（3）若方程组x+y=1x-ay=25【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x-ny=【分析】（1）根据加减消元法，即可求解；（2）找出方程组及其解的变化规律，即可得到答案；（3）把x=5y=-4代入5+4【详解】解：（1）x+①+②得：2x=2，解得：x=1，①-②得：2y=0，解得：y=0，∴方程组的解：x=1（2）由方程组的变化规律可知：第n个方程组为x+y=1故答案是：x+y=1（3）∵方程组x+y=1∴5+4a∴a=5，此时，方程组为x+y=1x-【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解以及加减消元法，掌握方程组及其解的变化规律是解题的关键．【题型8二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例8】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是________A．123和51互为“调和数” B．345和513互为“调和数”C．2018和8120互为“调和数” D．两位数xy和yx互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy，B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的【答案】(1)B(2)见解析【分析】（1）根据“调和数”的定义，逐项判断即可求解；（2）根据A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，可得x+y=9-2x+m，从而得到【详解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，∴123和51互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，∴345和513不是“调和数”，故本选项错误，符合题意；C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，∴2018和8120互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；D．∵x+∴两位数xy和yx互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；故答案为：B（2）解：根据题意得：x+解得：19x∴x+∴x+y是∴x+y=9∵A、B是两个不等的两位数，∴x+即y=-【点睛】此题主要考查了整除的问题，新定义，解题的关键在于理解新定义，运用整除的思想解决问题．【变式8-1】阅读下列材料，解决问题．《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；②根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．【答案】(1)①100-x-y；(2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只(3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；（2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）先根据3x+5y+100-x-y3=100求出【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，∴买了(100-x-y故答案为：(100-x-y②根据题意得：3x故答案为：3x（2）由题意得3x解得x=18∴100-x答