2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)

2024成都中考数学二轮微专题利用隐形圆解决最值问题专项训练模型一定点定长作圆模型分析如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型应用1.如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)第2题图模型二直角对直径模型分析(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．模型应用3.如图，已知线段AB.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.第3题图4.如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.第4题图模型三定弦对定角(非90°)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的eq\o(ACB,\s\up8(︵))上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°，则点C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动)模型应用5.如图，已知线段AB.(1)请在图①画出线段AB上方使∠APB＝60°的所有点P；(2)请在图②中画出线段AB上方使∠APB＝45°的所有点P.第5题图6.如图，已知四边形ABCD.(1)如图①，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；(2)如图②，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；(3)如图③，在正方形ABCD中，请在正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P；(4)如图④，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P.第6题图模型四四点共圆模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．模型应用7.在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误的是()A.CD＝2MEB.ME∥ABC.BD＝CDD.ME＝MD8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．第8题图模型五点圆最值模型分析已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示DE的最大值________________________此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值________________________此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E点E与点D重合连接OD交⊙O于点E模型应用9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．第9题图10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．第10题图模型六线圆最值模型分析1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；(2)如图②，点C在劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．模型应用11.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值．第11题图12.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．第12题图参考答案1.解：如解图所示：第1题解图2.解：如解图所示：第2题解图3.解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．第3题解图4.解：如解图，点P1、P2即为所求点．第4题解图5.解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．第5题解图6.解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．图①图②图③图④第6题解图7.A【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．第7题解图8.解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，∴A、P、B、C四点共圆，∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，∴点P在⊙O上运动，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠A＝∠CPB，∴△ABC∽△PQC，∴eq\f(QC,PC)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,4)，∴CQ＝eq\f(3,4)PC，要使得CQ最大，只需PC最大，当PC为⊙O的直径时，PC取得最大值，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最大值为5，∴CQ的最大值为eq\f(15,4).第8题解图【模型分析】d＋r，2r，d＋r，r－d，0，d－r9.6【解析】如解图，在⊙O上任取一点E，连接OE、CE，则CE≤CO＋OE，当C、O、E三点共线时，CE取得最大值，即要求CE的最大值，则求CO的最大值．连接AC，∵CO≤AC，∴当点O与点C重合时，CO取得最大值时．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴点C到⊙O上的点的距离的最大值为6.第9题解图10.13【解析】如解图，连接OC，OM，∵∠AOB＝90°，AB＝10是定值，M是AB的中点，∴A、O、B三点一直在以点M为圆心，AB长为直径的圆上，∵在△OMC中，OM＋CM≥OC，∴当O、M、C三点共线时，即OC过圆心M时，OC的长度最大．∵AB＝10，∴OM＝eq\f(1,2)AB＝5，又∵CM＝8，∴当OC＝CM＋OM＝8＋5＝13时，OC取得最大值，即点C到点O的最大距离为13.第10题解图11.解：如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交⊙O于点E，连接AE、BE，则AE＝BE，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，易得当C与E重合时，h取得最大值，即DE的长，此时△ABC的面积也取得最大值，即△ABE的面积．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE为等边三角形．∴∠EAB＝∠AEB＝60°.∴∠OAD＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OA＝2，AD＝2eq\r(3)，∴AB＝2AD＝4eq\r(3)，∴DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此时S△ABE＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).第11题解图12.解：由折叠的性质可知，MF＝BM，∵点M是AB的中点，AB＝10，∴B