高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (18)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（18）

一、单项选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.己知四棱锥P-4BC。的五个顶点都在球。的球面上,AB=AD=CD^BC,BC//AD,/.ABC=

60。，AP4B是等边三角形，若四棱锥P-4BCO体积的最大值为9b，则球O的表面积为

A.567rB.547rC.527rD.50兀

2.在边长为2的等边三角形ABC中，点O,E分别是边AC,AB上的点，满足DE〃BC且,=犯€

（0,1））.将AADE沿直线OE折到AdDE的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是（）

A.在边AE上存在点F,使得在翻折过程中，满足BF〃平面4CD

B.存在46（0，），使得在翻折过程中的某个位置，满足平面4'BC_L平面8CDE

C.若;1=；,当二面角4-OE-B为直二面角时，|48|=回

D.在翻折过程中，四棱锥a'-BCOE体积的最大值记为f（Q,/（4）的最大值为手

3.己知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=b，BC=V7.AC=2,则此三棱锥的

外接球的体积为（）

A8n8>/2"16n32

A-”B-—nc-丁D--n

4.在三棱锥4-BCD中，4ABD与4CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角4-BD-C的平面

角为120。，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.7兀B,87rC.等D.等

33

5.边长为1的正方体4BC0-4B1GD1的棱上有一点尸，满足|PB|+|PDi|=6，则这样的点共

有（）

A.6个B.9个C.12个D.18个

二、多项选择题（本大题共9小题，共36.0分）

6.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可

以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及

他们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、八个

正三角形）,它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1,

则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2.

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直.

C.它的体积为

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等.

7.正方体48。。一41816。1中，E是棱的中点，F在侧面

CCCiG上运动，且满足〃平面&BE.以下命题正确的有（

A.侧面CD/Ci上存在点F,使得名尸1CDr

B.直线当尸与直线2C所成角可能为30°

C.平面&BE与平面CDDiG所成锐二面角的正切值为2鱼

D.设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大笔

8.已知一个三棱锥，有一个面是边长为2的正三角形，两个面为等腰直角三角形，则该三棱锥的

外接球的表面积可能是（）

腰直角三角形，AB1BC,且4c=441=2,E,尸分别是AC,4G的中点，D,M分别是

BBi上的两个动点，则（）

A.FM与8。一定是异面直线

B.三棱锥O-ME产的体积为定值;

C.直线B1G与8。所成角为；

D.若。为A4的中点，则四棱锥。一B&FE的外接球表面积为5订

10.如图,在长方体力$1（：1万一4282c2。2中，4遇2=24/1=

2B】Ci=2,如图，A,B,C分别是所在棱的中点，则下列结论

中成立的是（）

A.异面直线。2c与所成的角为60°

B.平面&BCD2与平面ABGDi所成二面角的大小为120。

C.点&与点C到平面力BCiA的距离相等

D.平面&BC1截长方体所得的截面面积为当

11.如图，在四棱锥P-4BCD中，PC_L底面ABC。，四边形ABC。是

直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB=2AD=2CD=2,F是AB

的中点，E是PB上的一点，则下列正确的是（）

A.若PB=2PE,则EF〃平面PAC

B.若PB=2PE,则四棱锥P-ABCD的体积是三棱锥E-4CB体积的6倍

C.三棱锥P-ADC中有且只有三个面是直角三角形

D.平面BCP_L平面4CE

12.（多选题）如图所示，在正方体4BCD-41B1GD1中，M,N分别为棱

GO1，GC的中点，有以下四个结论，其中正确的结论为（）.

A.直线AM与CCi是相交直线

B.直线AM与8N是平行直线

C.直线8N与MB1是异面直线

D.直线MN与AC所成的角为60。.

13.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可

以人工合成金刚石.人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及

它们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个

正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何

体.已知一个立方八面体的棱长为1,则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2匕）

B.它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直/

c.它的体积为苧/、

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

14.已知M是正方体4BCD-4B1GD1的棱0%的中点，则下列是真命题的是（）

A.过点M有且只有一条直线与直线AB,BiG都相交

B.过点M有且只有一条直线与直线AB,BiG都垂直

C.过点M有且只有一个平面与直线AB,8也1都相交

D.过点M有且只有一个平面与直线AB,当Ci都平行

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

15.在正四棱锥P-ABCD中，顶点尸在底面的投影O恰为正方形ABC。的中心且48=2泥，设点

M,N分别为线段P£>,P。上的动点，已知当4V+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，

则该四棱锥的外接球的表面积为.

16.如图，矩形A8CZ）中，AB=4,BC=2,E为边AB的中点，沿。E将△ADE折起，点A折至A1处

（AiC平面ABCD）,若M为线段AR的中点，则在AADE折起过程中，下列说法正确的是

⑴始终有MB〃平面AiDE

（2）不存在某个位置，使得AR，平面AiDE

（3）三棱锥A「ADE体积的最大值是竽

（4）一定存在某个位置，使得异面直线与AiE所成角为30。

17.如图，在正方体4BCD-4BiGDi中，ACC\BD=0,E是B】C(不含端点)上一动点，则下列正

确结论的序号是__________.

①D101平面4G。；

②0E〃平面&GD；

③三棱锥4-BDE体积为定值；

④二面角/一4C一B的平面角的正弦值为它.

6

四、解答题(本大题共13小题，共156.0分)

18.如图，在四棱锥E—4BCD中，BC//AD,AD1DC,AD==DC=2BC,AB=AE=ED=BE.F是

AE的中点.

AB

(1)证明：BF〃平面EDC；

(2)求8F与平面E8C所成角的正弦.

19.如图所示的多面体中，四边形48C。是正方形，平面4ED1平面ABC£>,EF//DC,ED=EF=

-2CD=1,AEAD=30°.

(I)求证：AE1FC；

(II)求点。到平面BCF的距离.

20.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABC£>为等腰梯形，BC//AD,AD=1,BC=3,AB=

CD=遍，点？在底面的投影。恰好为AC与BC的交点，

D

H

(1)证明：AC1PB-,

(2)若E为PB的中点，求二面角B-EC-。的余弦值.

21.如图所示，四棱锥P-4BCD的底面A8CO是边长为1的菱形，/BCD=60。，后是CD的中点,

PA_L底面ABCD,PA=V3.

P

(1)证明：平面PBEJ■平面PA8；

(2)求二面角4-BE-P的大小.

22.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD1底面，平面PAO与平面P8C的交线为/.

(1)证明：(，平面?。。；

(2)已知PD=AD=1,。为/上的点，求尸8与平面QC。所成角的正弦值的最大值.

23.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,乙4BC=g,四边形ACEF为矩形，平面4CEF_L

平面ABCD,AF=1,点"在线段EF上运动，且丽f=4品.

(1)当;1=：时，求异面直线DE与BM所成角的大小;

(2)设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为火0＜。＜与，求cos。的取值范围.

24.在如图的空间几何体中，ZL4BC是等腰直角三角形，4A=90*BC=2a,四边形BC££＞为直

角梯形，/.DBC=90°,BD=1,DE=V2,尸为AB中点.

(I)证明：DF〃平面ACE；

(11)若4。=百，求CE与平面AD8所成角的正弦值.

25.如图，四棱锥P-4BC0中，侧面PAQ是边长为2的等边三角形且垂直于底ABC£>,4B=8C=

^AD,^BAD=乙ABC=90。,E是PO的中点.

(1)证明：直线CE〃平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线与底面ABC。所成角为45。，求二面角M-4B-0的余弦值.

26.如图，直角梯形A8CO中，AB//CD,Z.BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若将△BCD沿着

BD折起至△BCD，使得AD1BC.

(1)求证：平面C'BD1平面ABD；

(2)求C7)与平面ABC所成角的正弦值；

(3)M为8。中点，求二面角M-AC-B的余弦值.

27.如图，已知AB_L平面AC£>,AB〃DE,AD=AC=DE=2AB=2,且尸是C£)的中点，4F=V3.

⑴求证：4/7/平面BCE；

(2)求证：平面BCE_L平面CZ)E；

(3)求CB与平面COE所成角的正弦值.

28.如图，在四棱锥P-4BCD中，AD//BC,AB1AD,AB1PA,BC=2AB=2AD=4BE,平

面PABJL平面ABCD.

p

(1)求证：平面PED_L平面PAC；

(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为?，求平面PCA和平面尸CC夹角的余弦值.

29.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,ABJ.AP,AB=3,AD=4,BC=5,CD=6.过直

线AB的平面分别交棱P。，PC于E,尸两点.

(1)求证：PD1EF；

(2)若直线PC与平面PAD所成角为W，且PA=PD,EF^AB,求二面角A—BD—尸的余弦值.

30.如图所示为一个半圆柱，E为半圆弧CO上一点，CD=县.

(1)若4。=2遍，求四棱锥E-ABCO的体积的最大值;

(2)有三个条件：(T)4DE-DC=EC-DCi②直线4。与BE所成角的正弦值为|；

z^xsin/.EAB_\/6

DsxnLEBA-2

请你从中选择两个作为条件，求直线4。与平面E4B所成角的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

【试题解析】

本题主要考查了四棱锥的结构特征，球表面积的求法，涉及棱锥体积的求法，考查了空间想象能力，

属于较难题，先根据题意得到平面P4B，平面A8CQ时，四棱锥P-4BCD体积最大，设△P4B的边

长为根据几何关系表示四棱锥P-4BC。体积最大值，进而求出。值，然后取BC的中点。1，得

到梯形A8CZ)的外接圆圆心是边BC的中点Oi，根据APAB是等边三角形，得到接圆圆心”是等边

△P4B的中心，再分别过0rG作梯形ABC。、APAB所在平面的垂线，则两垂线的交点。即是四

棱锥P-ABC。的外接球球心，再运用勾股定理求出球半径即可求解.

解：由题意知，当四棱锥P-48C0体积最大时，平面PAB平面ABCD,设△PAB的边长为°,在

等腰梯形ABCD中，

易知4B=AD=CD=a,又NABC=60°,可得BC=2a,

所以等腰梯形ABCD的面积S=工x(a+2a)x更a=越。2,

当平面PAB_L平面ABCO时，棱锥的高即为APAB的高为立a，

2

所以四棱锥P-4BCD体积最大值为U=工x地a?x&=?a3=9通，解得a=26，

3428

取BC的中点。1，

因为ABAC与ABOC是直角三角形，所以梯形ABC。的外接圆圆心是边8C的中点。[,

又4PAB是等边三角形，其外接圆圆心。2是等边△PAB的中心，

分别过。「外作梯形ABC。、AP/IB所在平面的垂线，则两垂线的交点。即是四棱锥P-ABCD的外

接球球心，

则四棱锥P-4BCD外接球的半径为R=\OB\=，旧。1/+|0。1/=J(26)2+]=713-

所以球。的表面积S=4兀/?2=527r.

故选C

2.答案：D

解析：解：如图所示，

4在边4E上点凡在4'。上取一点M使得

FN"ED,在EC上取一点H,使得NH〃EF,

作HG〃BE交BC于点G,

则可得FN〃BG，即四边形8GNF为平行四边

形，NG〃BE,而GN始终与平面4co相交,

在边4E上不存在点凡使得在翻折过程中，

B

正确.在翻折过程

中，点4'在底面8CCE的射影不可能在交线BC上,因此不满足平面ABC，平面BCEE因此不正确.

C.A=当二面角4-DE-B为直二面角时，取的中点M,可得：4Ml平面BCDE.

则|AB|=>JAM2+BM2=J(y)2+1+(i)2-2x1x|cosl20°=唱#:耳，因此不正确•

D在翻折过程中，取平面ZED_L平面BCDE,四棱锥4'一BCDE体积/⑷=|-S四边形BCDE.色入=

|xV3(l-22)-V32=A-A3,AG(0,l).f'W=1-3A2,可得；I时，函数/⑷取得最大值=

更(1_工)=也，因此正确.

3、3，9

故选：D.

4在边AE上点凡在A'D上取一点N,使得FN〃ED,在E£>上取一点H,使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于点G,可得四边形BGN尸为平行四边形，可得GN始终与平面ACD相交，即可判断出结论.

8.26(0]),在翻折过程中，点A在底面BCOE的射影不可能在交线BC上，即可判断出结论.

C.A=当二面角A'-DE-B为直二面角时，取ED的中点M,可得：AM1平面BCDE.可得|4'B|=

NAM?+BM2,结合余弦定理即可得出.

D在翻折过程中，取平面4E01平面BCDE,四棱锥4'一BCOE体积/⑷=：-S四边形BCDE-g=

A-A3,AG(0,1),利用导数研究函数的单调性即可得出.

本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用

导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.

3.答案：B

解析：

本题给出三棱锥的空间特征及外接球问题，属于中档题.

依题三棱锥可以补成长方体，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-4BC外接球.求出PA1,PC

V3,PB=2,算出长方体的对角线，即球直径，进而利用球的体积公式求解.

解：•••AB=V5.BC=V7,AC=2,

则PA2+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4

.,•解得P4=1,PC=V3，PB=2,

以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，

则长方体的外接球同时也是三棱锥P-力BC外接球.

r长方体的对角线长为VI+3+4=2企,

.•.球直径为2a，半径R=V2.

因此三棱锥P-4BC外接球的体积是。R3=。*(V2)3=

故选

4.答案：D

解析：

【试题解析】

本题考查了球的表面积公式的应用，重点考查球的球心位置的判定.属于中档题.

首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示：

因为△ABD^^BCD是边长为2的等边三角形且二面角4-BD-C为120。,

取△力BD和△BCD的中心凡E,取BO的中点记为G,连接EG,FG,

所以“GF=120°,

则球心。为过△ABD^a^BCD的中心的垂线的交点，

在四边形OEG中可计算得：OE=OF=1,又因为ED=2,

3

利用勾股定理得：球的半径r=J#+（争2=与，

则外接球的表面积S=4兀♦£=等.

故选D.

5.答案：C

解析：

本题考查椭圆的定义的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，点P到8和。1的距离之和等于定值通，可得满足条件的

点的全体构成一个椭球面，由此能求出结果.

解：在边长为1的正方体4BC0-&当（71。1中，

点P到8和劣的距离之和等于定值遥的点的全体构成一个椭球面，

该椭球面的焦点即为B和Di，

椭球的长半轴为更，

2

焦距为正方体的对角线的一半，即争

所以短半轴为J©?_(3=当，

所以该椭球面和正方体的棱有12个交点.

所以P的个数为12.

故选C.

6.答案：ACD

解析：

本题考查棱锥和棱柱的体积公式，异面直线的夹角，二面角，属于较难题.

可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，逐项分析即可.

解：由题意，可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，如图所示:

对于4选项，取AE,DH,MN的中点R,S,0,连接MR,SN,

•••立方八面体的棱长为1,△力EM为等边三角形，

MR=叵,AB=内根据对称性可知梯形MRSN的高为但=乌

222

则NM=1+2xjg)2_囹=2,

在棱柱EADH-FBCG中，=J12+12+(V2)2=2，

根据对称性可知，。为MN和8”的交点，OM=0N=0B=0H=1,

故该立方八面体的12个顶点在同一个球面上，其直径为2,故A正确;

对于8选项，可知4M〃PB,直线4W和直线8c不在同一平面内,

NPBC为直线AM和直线BC的夹角，其大小为60。，故B错误；

对于C选项，分别计算直四棱柱和四棱锥的体积，

所以该立方八面体的体积为V=lxlxV2+4xixlxV2x—=—,故C正确；

323

对于。选项，该立方八面体的每一条棱所相交而来的两个面均是一个正方形和一个三角形,

根据对称性可知，它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等，故。正确；

故选ACD.

7.答案：AC

解析：

【试题解析】

本题考查空间直线与直线的位置关系、异面直线所成角及二面角的正切值，属于较难题.

根据条件，结合直线与直线垂直证明及线线所成角、二面角知识逐项验证即可.

解：取中点M,CG中点N,连接B1M,B]N,MN,

则易证得BiN〃&E,MN“A、B,

从而平面々MN〃平面

所以点尸的运动轨迹为线段MN.

取尸为的中点，

因为ABiMN是等腰三角形，所以J.MN,

又因为所以故A正确；

设正方体的棱长为“，当点尸与点M或点N重合时，直线&F与直线8c所成角最大,

此时tan/QBi尸=|<^=t即30°,所以B错误；

平面&MN〃平面&BE,取尸为MN的中点，则MN1GF,MN18/,

二/BJG即为平面BiMN与平面CDDiG所成的锐二面角，

tan/B/G=弊=2近，所以C正确；

当点尸在点M时，截面为等腰梯形，易得其面积为2>更，故。错误.

82

故选AC.

8.答案:ABC

解析：

本题考查三棱锥外接球的表面积，考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核

心素养，属于较难题.

分三种情况讨论，分别利用正弦定理、补体法和外接球直径的相关知识求出球半径，即可得其表面

积.

解：情况一：如图⑴，△BCD是边长为2的正三角形，△4BC和△力BC是等腰直角三角形，AB1BD,

AB1BC.

则AB=BC=CD=BD=2,AC=AD=2y/2-

设△ABC和ABC。的外接圆半径分别为①r2,该三棱锥的外接球半径为R.

由题意易得％企.

92

在ABC。中，由正弦定理，得一^^=2「2，则上=不.

smouV3

2

由题意可得R2=疗—管）+片=2—1+；1，

因此该三棱锥的外接球的表面积S=4兀/?2=等.

A

图(1)

情况二：如图(2),△BCD是边长为2的正三角形，△ABC和△48。是等腰直角三角形，AB1AC,

AB1AD.

则AB=AC=AD=yf2,BC=CD=BD=2,

则A/WC,△4BD,A/ICD均是等腰直角三角形，因此可以利用补体法来解决.

将三棱锥4-BCD放在棱长为立的正方体中，设三棱锥的外接球半径为R,

则有(2R)2=(V2)2+(V2)2+(伪2,解得辟=

因此该三棱锥的外接球的表面积S=4兀R2=6兀.

图(2)

情况三：如图(3),△BCD是边长为2的正三角形，△4CD和A4BC是等腰直角三角形，AB1BC,

AD1CD.

则4B=AD=BC=CD=BD=2,AC=2近，

则△48。也是等边三角形，易知AC的中点即为三棱锥4-BCD的外接球的球心.

设该三棱锥的外接球半径为R,则R=y=V2,

因此该三棱锥的外接球的表面积S=4nR287r.

2

图（3）

故选ABC.

9.答案：BCD

解析：

本题考查异面直线成角，棱锥的体积以及棱锥的外接球的表面积，难度较大.

由异面直线成角，棱锥的体积以及棱锥的外接球的表面积等公式，逐个进行计算判断.

解：A项，当M,8重合时，FM（即BF）与8。是相交直线，故该说法错误；

8项，由已知可得名尸1aG，

又平面4BC_L平面C44iC「所以BiF_L平面C441G，

在矩形AEF4中，4DE尸的面积S=gxEFxAiF=：x2x1=1,

又B]F=141cl=1,所以三棱锥。-MEF的体积UM-DEF=gsxB/=1x1x1=%

所以该说法正确；

C项，由，平面4祖6，得1BG，

又BiGlA/i，所以BiG1平面为B1B4所以BiG_LB。，所以该说法正确；

。项，由题意可得四边形BBiFE为矩形，连接BF,

则矩形BBiFE外接圆的圆心为8尸的中点0「且0/=0/=争

过。1作OiNJLE/与点N,连接DV,01D,

则04=5DN=1,0rN1DN,故0山=苧，

所以。】就是四棱锥D-BB】FE的外接球的球心，所以外接球半径R=与

故外接球的表面积S-ITTR25TT，故该说法正确.

故选BCD.

10.答案：AC

解析：

本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、

转化能力.

以长方体为背景，分别求得异面直线所成的角、平面与平面所成的二面角、点到直线的距离以及截

面面积逐一进行判断作出选择.

解：连接B2C,B2D2,

易知/IDJ/BCJ/B2C,则4B2CD2为异面直线D2c与所成的角，

连接入为，易知4B2,42B，AB21BC,A2BQBC=B,

••AB2_L平面AZBC。2，

连接BIC,同理可证BiC1平面4BG5，

二平面&BCD2与平面ABGDI所成二面角即异面直线4殳与SC所成的角或其补角，

连接4。2，易知/（7/4£）2，

.••异面直线工殳与BiC所成的角NB24D2或其补角，

又=24]Bi=2B1C1=2,

二AB2。2c和△为外人均为等边三角形，

贝此殳C"=60°,LB2AD2=60°,

故异面直线D2c与ADi所成的角为60°，平面与平面ABG5所成二面角为60。或120。,

故A正确，B错误;

平面且8传与BC1垂直平分，

•・•点当与点C到平面48cmi的距离相等，

乂4$1〃平面486。1,

•••点4与点名到平面ABG%的距离相等，

即点&与点C到平面4BC1D1的距离相等,

故C正确；

取。m2的中点E，连接&凡EG，

易知皴〃8的，ECr//A2B,

故平面4BGE为平面Z2BG截长方体所得的截面,

在A4BCI中，A2B=BCr=V2,A2Ci=V6,

c_炳

3AA28cl—

则平面4口的截长方体所得的截面面积为V5.

故。错误.

故选AC.

11.答案：AD

解析：

本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，以及棱锥的体积公式，属于较难题目.

根据线面平行的判定定理可以判断4利用棱锥的体积公式通过计算可以判断B；根据线面垂直的

性质结合空间直线与直线的位置关系可以判断G利用面面垂直的判定定理可以判断D.

解：对于选项A,因为PB=2PE,所以E是P8的中点，

因为尸是AB的中点，所以EF〃PA,

因为24u平面PAC,EFU平面PAC,所以E。/平面PAC,故A正确;

对于选项B,因为PB=2PE,所以Vp-ABCD=^E-ABCD>

因为AB〃CD,AB1AD,AB=2AD=2CD=2,

所以梯形ABCD的面积为:(CD+4B)•力D=：x(1+2)x1=|,

AB

SAABC=\•4D=；x2xl=l,

-2

所以%-4BCD=5%-4BC，所以％-48co=3%_4BC，故B错误；

对于选项C,因为PC1底面ABC。，AC,CDcJixSiABCD,

所以PCIAC,PC1CD,

所以4P4C,4PCD为直角三角形，

又AB"CD,AB1AD,所以4。IC。，贝必力CO为直角三角形，

所以P42=pC2+AC2=pC2+AD2+CD2tpD2=+

^\PA2=PD2+AD2,所以回PAD是直角三角形，

故三棱锥P-4DC的四个面都是直角三角形，故C错误；

对于选项。，因为PC1底面A8C£>,ACu底面ABC。，所以PC_L4C,

在RtAAC'D中，AC=y/AD2+CD2=V2,

在直角梯形ABCD中，BC=yjAD2+(AB-CD)2=夜，

^VXAC2+BC2=AB2,则ACIBC,

因为BCnPC=C,BC,PCu平面BCP,

所以4C_L平面BCP,且4Cu平面ACE,

所以平面BCPJ■平面ACE,故。正确.

故选AC.

12.答案:CD

解析：

【试题解析】

本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交

或平行.

利用两条直线是异面直线的判断方法来验证的正误，利用平移法，判断。，得到结论.

解：•••直线CG在平面CGI。内，

而Me平面CC/i。，4c平面CC1D1。，

•••直线AM与直线CG异面，故A不正确，

•••直线AM与直线BN异面，故B不正确，

利用A的方法验证直线BN与直线MB1异面，故C正确，

利用平移法，可得直线与AC所成的角为60。，故。正确，

故选CD.

13.答案：ACD

解析：

本题考查棱锥和棱柱的体积公式，异面直线的夹角，二面角，属于较难题.

可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，逐项分析即可.

解：由题意，可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，如图所示：

0

F

BC

对于A选项，取AE,DH,MN的中点上S,0,连接MR,SN,

•••立方八面体的棱长为1,ZkAEM为等边三角形，

MR=—,AB=y/2,根据对称性可知梯形MRSN的高为”=立，

222

则/M=1+2XJ(y)2-(y)2=2'

在棱柱E40H-FBCG中，BH=卜+/+(可=

根据对称性可知，。为MN和的交点，0M=ON=OB=OH=1,

故该立方八面体的12个顶点在同一个球面上，其直径为2,故A正确；

对于B选项，可知4M〃PB,直线AM和直线8C不在同一平面内，

NPBC为直线AM和直线BC的夹角，其大小为60。，故8错误；

对于C选项，分别计算直四棱柱和四棱锥的体积，

所以该立方八面体的体积为U=lxlxV2+4xixlxV2x—,故C正确；

323

对于D选项，该立方八面体的每一条棱所相交而来的两个面均是一个正方形和一个三角形，

根据对称性可知，它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等，故。正确；

故选ACD.

14.答案：ABD

解析：

本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线，属于中档题.

根据题目画出图形，结合异面直线和空间中直线与直线的位置关系的相关知识进行判断即可.

解：直线AB与&G是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，

如图所示：取GC的中点N,则MN〃AB,且MN=2B,

设BN与B1cl交于H,则点A、B、M、N、”共面，直线必与AB直线相交于某点。.

所以过M点有且只有一条直线”。与直线AB、81G都相交，故A正确;

过例点有且只有一条直线与直线AS、BiC1都垂直，此垂线就是棱故B正确;

过/点有无数个平面与直线A8、&Ci都相交，故C不正确;

过M点有且只有一个平面与直线48、BiCi都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的

平面，故。正确.

故选：ABD.

64TT

15.答案:

解析：

本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，球的表面积计算，属于中档题.

在PC上取对应的点M',进一步可得当M'为PC的中点时，AM'LPC,计算棱锥的高，利用勾股定

理计算球的半径，从而得出球的表面积.

解：依题意知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，在尸C上取点M',使得PW=PM,

则MN=M'N,

当AW1PC时，AM'取得最小值,

即4N+NM'的最小值为力M',

为尸。的中点，

故而M'为PC的中点，

•••PA=AC=4,PO=7PA2一力。2=2乃,

设外接球的半径为广，

则72=（2百—r）2+4）

解得：r=越，

3

・•・外接球的表面积为4兀"=等.

故答案为.

16.答案:(1)(2)(3)

解析：解：对于(1)，延长CB,DE交于H,连接由E为AB的中点，可得8为CH的中点,

又M为&C的中点，可得〃4",BMC平面&DE,aHu平面4DE,贝ijBM〃平面&DE,故⑴

正确；

不论必在何位置,&C在平面ABCZ)中的射影为AC,AC与OE不垂直，则OE与&C不垂直，可得4C

与平面&0E不垂直，故(2)正确；

对于(3),设。为OE的中点，连接。4,由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得041=鱼，

当平面4DE1平面4OE时，三棱锥4-ADE的体积最大，

最大体积为V=[S—DE•公。=[x3X2?x0=牛，故(3)正确；

对于(4),AB=2AD=4,过E作EG〃BM,G€平面&DC,则乙41EG是异面直线与&E所成的

角或所成角的补角，

且ZJliEG=Z.EArHy在4中，EAr=2,EH=DE=2V2,ArH=

A/22+2x22-2x2x2V2xcosl350=2A/5>

则NE&H为定值，即乙LEG为定值，.•.不存在某个位置，使得异面直线与&E所成角为30°,故(4)

错误.

故答案为(1)(2)(3).

对于(1),延长CB,DE交于H,连接运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得〃平

面&DE,即可判断(1)；

对于(2),不论公在何位置，&C在平面ABCQ中的射影为AC,由AC与。E不垂直，得。E与&C不

垂直，从而可得&C与平面&DE不垂直，由此判断(2)；

对于(3),由题意知平面&DE_1_平面4。2时，三棱锥&-4DE的体积最大，求出即可；

对于(4),运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，求出异面直线所

成的角，说明(4)错误.

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判

定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

17.答案：②③

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，线面平行的判定，空间中的距离，二面

角，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，面面平行的判定和面面平行的性质，考查学生的

空间想象能力，属于较难题.

利用正方体的结构特征得平面4GD,从而对①进行判断，利用面面平行的判定得平面

4G。〃平面4CB],再利用面面平行的性质对②进行判断，利用线面平行的判定得BiC〃平面

再利用空间中的距离得点E到平面40B的距离是定值，再利用三棱锥的体积等量对③进行判断，

利用求二面角当-AC-B的正弦值对④进行判断，从而得结论.

解：对于①、因为在正方体4BCD-4B1GD1中，DiBl平面&GD,

而过一点2只能作平面46。的一条垂线，因此①不正确；

对于②、因为在正方体4BCD中，AC〃AG，A^D/fB^C,

而AiGu平面&C1。，Ai。u平面AiG。，

2CC平面41GD,B1CC平面41GD,

所以AC〃平面&GD,B1C〃平面&GD.

又因为ACC81c=C,ACu平面4cBi，BiCu平面4cB口

所以平面46。〃平面AC/,

而OEu平面AC8i，因此OE〃平面4G。，所以②正确；

对于③、因为&C//B1C,&Du平面408,BiCC平面4DB,

所以BiC〃平面

又因为E是&C（不含端点）上一动点，

所以点E到平面4DB的距离等于BiC到平面&DB的距离，是定值，

而Z&OB也是一个定值，

因此乙-41DB为定值，所以匕「BOE=为定值,因此③正确；

对于④、若正方体4BCD-的棱长为a,

连接当0,

因为AC_L平面D/B1B,B]O,OBu平面DDiBiB,

所以AC1Bi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角位-AC-B的平面角，

所以sin/Bi°B=既=套=今因此④不正确.

2U

故答案为②③.

18.答案：⑴证明：取EO中点G,连接FG,CG,为4E的中点，二%〃?1。,

FG=^AD,又BC〃AD且鸣/ID,FG//BCH.FG=BC,

则四边形BCG尸为平行四边形，可得BF〃CG.：CGu平面

CDE,BFC平面CDE,:.BF〃平面EDC；

(2)解:取AZ)中点O,连接8O,EO,「BC//OD,£LBC=OD,

可得BC£>0为平行四边形，又4C1DC,可得AD10B,

V.AE=DE,OE1AD,可得AD1平面BOE,在平面BOE

中，过。作。z,底面ABCQ,以。为原点，分别以0A,

02所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系.

设BC=1,贝J1B(O,2,0),

C(-l,2,0),Ee(o,冷)，端,等),

BC=(-1,0,0),FF=(0,-*),前=GT，等)，

设平面BCE的一个法向量为司=(x,y,z),

n•BC=-x=0

｛一一5回，

n•BE=——yH——z=0

44

取z=1,可得元=(0,半，1),

―F13V55x/55—

•••BF与平面E8C所成角的正弦值为|cos<n,BF>\=|言映=|三宁1=

|n|-|orIZjLXx^-i-6

解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解

线面角，是中档题.

(1)取ED中点G,连接FG,CG,由已知可得则四边形8CGF为平行四边形，可得BF〃CG.再由线

面平行的判定可得BF〃平面EDC-,

(2)取AD中点O,连接BO,E。，证明4。1平面BOE,在平面BOE中，过。作Oz1底面ABC。，

以。为原点，分别以。4。8所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系.设8C=1,求出乔及平面

BCE的一个法向量汇由前与五所成角的余弦值可得BF与平面E8C所成角的正弦.

19.答案：解：（【）•••四边形ABCO是正方形，•.•CD1.AD,

又•.・平面4ED1平面ABC。，平面4E0D平面4BC0=AD,CDu面

ABCD,

：.CD1平面ADE,（2分）j-----

又4Eu平面ADE,CD1AE,（3分）.

•.,在△40E中，AD=2,DE=1,Z.EAD=30°,

由余弦定理得，AE=V5,二452+。£2=4。2,...4£_1,££）.（4分）

又CDnED=D,AAE_L平面EFCD.（5分）

又FCu平面EFCD：.AE1FC.（6分）

（口）过点6做后“_14。交4£＞于点//,连结ED.

•••平面4DE，平面ABCD,平面ADEn平面ABC。=AD,EHu平面ADE,

•••EH，平面ABCD,在Rt△AED中，EH（7分）

5LEF//DC,•：DCu面ABCD,vEFC面ABCD

EF//^ABCD：.E到面ABCD的距离等于尸至lj面ABCD的距离（8分），

/_BCD=[SABCD,EH=gx2x^=¥.（9分）

在直角梯形EF8A中，EF=1,AE=6，DC=2,AB=2,可得BF=2,

•■1S&BFC=xV2X?=y（10分）

设D点到平面BFC的距离为d,VD.BCF=VF-BCD，

即豹ABCF•d=J,.••点D到平面BCF的距离竽.（12分）

解析：（I）首先证明CD1平面AQE,CD1AE,又在△ADE中，由余弦定理得可得4E1ED.即可得

AEJL平面EFCD.4E1FC.

（H）过点E做EH1.40交AD于点H,连结FD,求得=/，易知E到面A8CQ的距离等于F到

面ABCO的距离，设。点到平面8