高中数学必2-21数学学习方略（五）

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单元素养评价（五）（第十章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.下列说法中正确的个数为।

①彩票的中奖率为千分之一,那么买一千张彩票就肯定能中奖；

②抛掷一枚均匀的硬币，如果前两次都是反面,那么第三次出现正面的可能性就

比反面大；

③在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回

地依次随机摸出两个小球,如两球同色则甲获胜,否则乙获胜,那么这种游戏是

公平的.

A.1B.2C.3D.0

【解析】选D.对于①,彩票的中奖率为千分之一，但买一千张彩票不一定能中奖，

故错误；对于②,抛掷一枚均匀的硬币，如果前两次都是反面，第三次出现正面的

可能性与出现反面一样大，故错误；对于③，在袋子中放有2白2黑大小相同的四

个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回地依次随机摸出两个小球，如两球同色

1

则甲获胜，否则乙获胜，则甲获胜的概率为一,那么这种游戏是不公平的，故错误.

3

故说法正确的个数为0个.

2.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、

红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、

乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分

得红色”是

A.对立事件

B.不可能事件

C.互斥但不对立事件

D.既不互斥又不对立事件

【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙

可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件

不是对立事件.

3.已知小红的钱包中有2枚“壹分”，2枚“贰分”，3枚“伍分”的硬币，她随

意地从钱包中取出2枚硬币观察其面值.这一试验的基本事件总数n等于(

A.6B.7C.8D.9

【解析】选A.由题意知，基本事件有(1,1),(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(5,5),

故6个.

4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=｛抽到一等品｝，事件B=｛抽到二等品｝,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知P(A)=O.65,P(B)=0.2,P(C)=O.L则事件“抽到的

是二等品或三等品”的概率为(

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3

【解析】选D.由题意知，事件A、B、C互为互斥事件，记事件口="抽到的是二等

品或三等品”，则P(D)=P(BUC)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3.

5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来

米1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷56粒,则这批米内

夹谷约为

A.1365石B.336石C.168石D.134石

【解析】选B.设这批米内夹谷约为x石，则根据题意得到"-空Ox=336.

1524254

6.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人获得一等奖的概率

分别为力武,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得

34

一等奖的概率为

3255

A.-B.-C.-D.—

43712

【解析】选D.根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获

得乙获得，则所求概率是三义fl--V-X(

3\4/4\3/12

7.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次

只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成

数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为

3111

A.—B.-C.—D.-

168186

【解析】选A.由题意可知，两次摸球得到的所有数对(x,y)有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1),(4,2)(4,3),(4,4),共16个，其中满足xy=4的数对有

(1,4),(2,2),(4,1),共3个.故所求事件的概率为一.

8.袋里装有大小相同的黑、白两色的手套,黑色手套3只，白色手套2只.现从中

随机地取出2只手套,如果2只是同色手套则甲获胜,2只手套颜色不同则乙获胜.

则甲、乙获胜的机会是(

A.一样大B.甲大

C.乙大D.不能确定

32

【解析】选C.乙获胜的概率为一，甲获胜的概率为-，乙获胜的概率大于甲获胜的

55

概率.

二、多选题(每小题5分，共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有

选错的得0分)

9.下列事件中，是随机事件的为(

A.在学校校庆的田径运动会上,学生张涛获得1000米跑冠军

B.在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯

C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,为5号签

D.在标准大气压下，水在0℃时结冰

【解析】选AB.C是不可能事件,D是必然事件,AB是随机事件.

10.由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：

排队5人及

01234

人数以上

概率0.110.160.30.290.10.04

则

A.有1人或2人排队的概率为0.19

B.有大于4人排队的概率为0.04

C.有5人以下排队的概率是0.96

D.至多有2人排队的概率为0.29

【解析】选BC.记“没有人排队”为事件A,“1人排队”为事件B,“2人排队”

为事件C,“5人及以上排队”为事件D.A、B、C、D彼此互斥，故有1人或2人

排队的概率为P(BUC)=0.16+0.3=0.46;有大于4人排队的概率为P(D)=0.04;有

5人以下排队的概率是P(万)=1-0.04=0.96;至多有2人排队的概率为

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.11+0.16+0.3=0.57.

11.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分

别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单位:

克)中，经统计频率分布直方图如图所示.

某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计

总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购

方案：

方案①:所有芒果以9元/千克收购；

方案②:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒

果以3元/个收购.则<

A.抽取的100个芒果质量的平均数为251

B.若按分层随机抽样从质量为［200,250),［250,300)的芒果中随机抽取5个，再

从这5个中随机抽取2个,则这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为:2

C.种植园选择方案①获利更多

D.种植园选择方案②获利更多

【解析】选BD.由频率分布直方图知，这组数据的平均数五七0.07X125+0.15X

175+0.20X225+0.30X275+0.25X325+0.03X375=255,A错.

利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在［200,250)内的芒果

有2个，记为aba2,质量在［250,300)内的芒果有3个，记为bbb2,b?;从抽取的5

个芒果中抽取2个共有10种不同情况：

(aba2),(abbi),(abb2),(abb3),(a2,bi),(a2,b2),(a2,b3),(bi,b2),(bbb3),(b2,b3

).记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4个样本点：

42

⑸凡)，(b/2),(b“b3),缸心)，从而P(A)=Y-,B正确.

105

x255

方案①收入：yF----X10000X9=——X10000X9=22950(元)；

10001000

方案②：低于250克的芒果收入为(0.07+0.15+0.2)X10000X2=8400(元)；

不低于250克的芒果收入为(0.25+0.3+0.03)X10000X3=17400(元)；

故方案②的收入为y2=8400+17400=25800(元).

由于22950<25800,所以选择方案②获利多，C错D对.

12.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+l,设集合P={1,2,3},Q={T,1,2,3,4},

分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).则

A.所有的数对(a,b)共有30种可能

B.函数y=f(x)有零点的概率为；2

C.使函数y=f(x)在区间［1,+8)上单调递增的数对(a,b)共有13个

D.函数y=f(x)在区间［1,+8)上单调递增的概率为二

30

【解析】选BC.(a,b)有

(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),3,-1),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15种情况.

函数y=f(x)有零点等价于△=b2-4a20,有

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况满足条件.所以函数y=f(x)

有零点的概率为£乏.

因为a>0,函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=—,在区间［1,+8)上单调递增，所

2a

以有满足条件的(a,b)为(1,7),(1,1),(1,2),(2,7),(2,1),

2a

(2,2),(2,3),(2,4),(3,7),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13种.所以函数

1R

y=f(x)在区间［1,+8)上单调递增的概率为二.

15

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.在集合上|%=y,n=1,2,3,…，1。｝中任取一个元素,所取元素恰好满

足方程cosX上的概率是.

2---------------

1

【解析】基本事件总数为10,满足方程cosx=一的基本事件数为3,故所求概率

2

14.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽

取一个数记为b,贝I」“日不是整数”的概率为________，“色是整数”的概率

bb

为.

【解析】因为在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数

中随机地抽取一个数记为b,所以基本事件总数"4X3=12.

“色不是整数”包含的基本事件有二之3三；；；,士共8个，所以“巴不是整数”

b23434243b

的概率为£匚1“4是整数”与“士不是整数”是对立事件，其概率为1-^-.

123bb33

答案：2-1

33

15.为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量,调查人员逮到这种动

物400只，标记后放回.一个月后,调查人员再次逮到该种动物800只，其中有标

记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚只.

［解析】设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以

四二三，解得x=160000.

x800

答案：160000

16.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数为,按下列方法操作一次产生一个新

的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面

朝上,则把2乘以2后再减去6;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把a,

除以2后再加上6,这样就可得到一个新的实数a2,对实数a2仍按上述方法进行一

次操作，又得到一个新的实数包,当a3>ai时，甲获胜,否则乙获胜,若甲胜的概率

为之,则a.的取值范围是________.

4

【解析】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当a3=2(2a-6)-6=4a-18

时，其出现的概率为(g)=*当a3=52aL6)+6=ai+3时，其出现的概率为(})=*

2

当a3=2©+6>6=a1+6时，其出现的概率为j

2

当a3=g(年+6)+6=?9时，其出现的概率为3,因为甲获胜的概率为.

3

即a3>ai的概率为一,

4

4a厂18<%,(4a「18>alf

则满足

?+9>%"人—Qi+9八<,

4

整理得a1W6或ai212.

答案：(-8,6]U[12,+8)

四、解答题(共70分)

17.(10分)对一批U盘进行抽检，结果如表:

抽出件数a50100200300400500

次品件数b345589

次品频率2

a

(1)计算表中次品的频率.

⑵从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？

⑶为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2000个U盘,至少需进货多少

个U盘？

【解析】(1)表中次品频率从左到右依次为

0.06,0.04,0,025,0,017,0.02,0.018.

⑵当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U

盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.

⑶设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1-0.02)^2000,

因为x是正整数，所以x，2041,即至少需进货2041个U盘.

18.(12分)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球,从

中任意摸出2个球.

⑴共有多少个不同的基本事件,这样的基本事件是否为等可能的?该试验是古

典概型吗？

(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A,问事件A包含几个基本事件？

(3)计算事件A的概率.

【解析】⑴任意摸出两球，共有{白球和黑球1},{白球和黑球2},{白球和黑球

3},{黑球1和黑球2},{黑球1和黑球3},{黑求2和黑球3}6个基本事件.

因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可

能事件.

由古典概型定义知，这个试验是古典概型.

⑵从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件.即事件A包含3个基本事件.

⑶因为试验中基本事件总数n=6,而事件A包含的基本事件数m=3.

所以P(A)

n62

19.(12分)计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分,每部分考试成绩只记

“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”并颁

发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为二4口3之2在

543

实际操作考试中“合格”的概率依次为工；；，所有考试是否合格相互之间没有

236

影响.

⑴若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,则谁获得“合格证书”

的可能性大？

⑵求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证

书”的概率.

【解析】(1)记“甲获得'合格证书'”为事件A,“乙获得'合格证书'”为事

件B,“丙获得'合格证书'”为事件C,则

P(A)=-Xi=-,P(B)=-XP(C)=-X从而P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得“合

525432369

格证书”的可能性大.

(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得'合格

———21421S31

证书,”为事件D,则P(D)=P(ABC)+P(A3C)+PG4BC)=-X-BT-X-X-+-X-X

52952952

5_U

930,

20.(12分)受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润

与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲

品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年,现从该厂已售出的两种品牌的轿

车中分别随机抽取50辆,统计在保修期内首次出现故障的车辆数据如表：

品牌甲乙

首次出现

0<xl<x2<x0<xl<x

故障的时x>3x>2

W1W2W3W2

间X/年

轿车数

213442345

量/辆

⑴从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期

内的概率.

⑵从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期

内的概率.

(注:将频率视为概率)

【解析】(1)设A,B,C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3

年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为A,B,C是彼此互斥

2113

的,其概率分别为P(A)右wP(B)=y(C)』所以

3

P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=—即首次出现故障发生在保修期内的概率

25

为击

2+31

⑵乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为才需

21.（12分）（2020•北京高考）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应

方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随

机抽样,获得数据如表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人300人400人100人

旗二350人150人250人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

⑴分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

⑵从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰

有2人支持方案一的概率；

⑶将该校学生支持方案二的概率的估计值记为所假设该校一年级有500名男

生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为pb试

比较P。与P的大小.（结论不要求证明）

【解析】（1）样本中，男生支持方案一的频率为二:女生支持方案一的频率

200+4003

为Qnn=Q3用样本估计总体，用频率估计概率，

300+1004

所以估计该校男生支持方案一的概率为:1女生支持方案一的概率为三3.

34

⑵记事件A《i=1,2）为抽取的第i个男生支持，事件B为抽取的女生支持，则

P（A）上1,P（B）W3,所求概率

34

p=P8也方+A豆B+私B）=P（A,A2B）+P（A阳）+P（4B）

=认为(14+人(1-1)xU)x人二二

33433433436

(3)p°=——350+150——估计全校男生支持方案二的概率为•35°.-2_女生

350+250+150+2502350+25012

支持方案二的概率为1S°二.除一年级以外男生有100名，女生有100名，估计

150+2508

73

7Q—X100H■—X1