高中数学直线和平面平行与平面和平面平行专项练习

高中数学直线和平面平行与平面和平面平行专项练习

【基础知识必备】

一、必记知识精选

1.直线和平面的位置关系.直线和平面位置关系有三种：线在面内，直线与平面平行，直

线与平面相交.相交与平行又称为线在面外.

2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线也和这个平面平行.可简记为：线线平行，线面平行.

3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和

这个平面相交，那么这条直线和交线平行.可简记为：线面平行，线线平行.

4.平面平行的定义.

5.平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么

这两个平面平行.简言之：线面平行，面面平行.

6.平面平行的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的

两条直线，那么这两个平面平行.简言之：线线平行，面面平行.

7.平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平

行.简言之：面面平行，线线平行.

8.平面平行的传递性：如果a〃仇那么a〃y.

二、重点难点突破

（一）重点

平行线的传递性，直线与平面平行的判定与性质定理，平面与平面平行的判定与性质定

理.对于这部分知识的学习要注意记清条件与结论.如直线与平面平行的判定定理要求直线是

平面外的直线.

（二）难点

直线与平面，平面与平面平行的判定定理及性质定理的应用是本节的难点.在解题时要注

意与平面几何知识多联系.如在证明线面平行时，一般与公理4以及三角形的中位线、平行四

边形的对边多有联系.

三、易错点和易忽略点导析

1.忽略定理的条件而解题错误.

【例1】判断：如果一个平面内两条直线与另一平面平行，则这两个平面平行（）

错解W

正确答案：X

错解分析：利用平面与平面平行的判定定理判断时，忽略了平面内两条直线相交的位置

关系.

2.对空间中特殊的位置关系考虑不全面.

【例2】已知M是两条异面直线a、b外一•点，则过M且与a、b都平行的平面有几个？

错解：设平面a过点M,且与a、b都平行，则直线a及其外一点M确定的平面与a的交线a，

必与a平行.同理存在b，ua,且卜〃b,则a为a，与b，确定的平面，由于过M且与a平行的直线a，

是惟一的b也是惟一的，因而由a，、b，确定的平面a也是惟一的.综上所述，过M且与a、b都平

行的平面只有一个.

正确解法：过M作直线a/a,过M作直线b/b,则a，、b，确定平面a,当a、b都不在由a二

b'确定的平面a内时，过M且与a、b都平行的平面只有一个；当aua或bua时，过M且与a、b

都平行的平面不存在.

错解分析：错解没有注意到aua或bua的特殊情况，解的结果是不完整的.

【综合应用创新思维点拨】

一、学科内综合思维点拨

【例1】平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面.求证：另一条也平行于这个平

面.

思维入门指导：作出图形如图9-3-1.欲证b〃a,想到直线和平面平行的判定定理只须在

平面a内找到一条直线c,使c〃b即可，由已知条件a〃a,想到直线与平面平行的性质定理，

只须过直线a作平面。与平面a相交.交线即为所成直线c,因此本题可证.

已知：如图9-3-1,直线a〃b,a〃平面a,且b在平面a外.

求证：b〃a.

证明：过a作平面0,使它与平面a相交，设交线为c.

Va//a,，a〃c.

*/a//b,.*.b/7c.；・b〃a.

点拨：解此题易出现的错误是在找C时，直接在平面M内作直线C〃直线a,这种作法不

能保证平行且无理论依据.

二、应用思维点拨

【例2】如图9-3-2所示的一块木料中，棱BC平行于面A，C.

(1)要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)过点P所画的线和面AC是什么位置关系？

思维入门指导：要过P和棱BC将木料锯开，就是要画图中BE、EF和CF各线，其中画EF

是关键，显然EF是截面与面的交线，由已知BC〃面AC，可知IEF〃BC.由于受木料形状及

点P的限制，可以通过画出点P与BC，的平行线来确定EF.

解：(1)在面内，过点P画直线EF,使EF〃B，C,EF交棱AB、CD，于点E、F,连

结BE、CF,则EF、BE、C脸是应画的线.

BC〃面ACBC〃BC、

AA

(2)BCu面BC'=>J=>EF〃BCI

EF〃BCEF<z面AC=>E曲面AC.

面BCCI面AC，=B，C'

BCu面AC

点拨：本题的关键在于线面平行与线线平行的关系，将线面平行转化为线线平行，实现

由空间向平面的转化.

三、创新思维点拨

【例3】已知平面a,BC〃a,DWBC,A任a,直线AB、AD、AC分别交a于E、F、G,

且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长度.

思维入门指导：本题涉及的主要是点、直线BC、面a,可根据其位置分情况讨论:若AB、

AD、AC延长线分别交a于E、F、G;若AB、AD、AC的反向延长线分别交a于E、F、G;若A

与直线BC位于a的两侧.

、ADAC

BC〃a,\--=---

DFCG

解:(1)如图9-3-3(l),•・・BC<=面ABC,=BC〃EFn

ACBC

面ABCC®a=EF,

~AG~~EG

..ACbACbACb

■---=一,--------=----，即nn---=----,

CGcAC+CGb+cAGb+c

二四=」_，则EG=a(b+c)

EGb+cb

图9-3-3

⑵如图R⑵，同理EF〃BC,则段r茄

VAF=DF-DA=c-b,

・__a(c-b)

・・tsij=-----------=-----------

ADb

FGAFAF

(3)如图9-3-3(3),同理EF〃BC,则—

BCABAD

AAF=AD-DF=b-c.

ADb

点拨：利用点A与线段BC之间不同的位置关系以及点A、线段BC与平面a之间的不同

位置关系，进行逻辑划分.分类讨论思想是高中数学的•种重要的思想.在分类讨论时要做到

理清逻辑关系，分类时做到不重不漏，即不重复讨论，也不遗漏情况.

四、高考思维点拨

【例4】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,

且AP=DQ.求证：PQ〃面BCE.

思维入门指导：证明直线与平面平行，可以利用直线与平面平行的判定定理.即由线线

平行，得线面平行.在寻找线线平行的条件时，可以有多种方法.

证法一：如图9-3-4(1),作PM〃AB交BE于M,作QN〃AB交BC于N,连接MN,因为面

ABCDCI面ABEF=AB,则AE=DB.

又；AP=DQ,，PE=QB.

又；PM〃AB〃QN,

.PMPEQNBQ.PMQN

,•AB~AE'15C~^D'"~AB~15C'

••.PM幺QN.即四边形PMNQ为平行四边形.

；.PQ〃MN.

又：MN-BCE,PQ<z面BCE,；.PQ〃面BCE.

证法二：如图9-3-4(2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK.

；AD〃BC,.•.丝=丝.

QBQK

又正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB,且AP=DQ,

.•.丝=丝则PQ〃EK.

QKPE

；.EKu面BCE,PQ<z®BCE./.PQ//ffiBCE.

点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面

面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的

与面外直线平行的直线.

五、经典类型题思维点拨

【例5】经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.

已知：点A在平面a外.

求证：经过点A有一个平面且只有一个平面和a平行.

思维入门指导：有且只有中“有”是存在性，“只有”是惟一性.对于此类问题的证明要从存

在性和惟一性两方面进行.

图9-35

证明：（存在性）如图9-3-5,在平面a内任意作两条相交直线a\b;过A在A与a，确定

的平面内作直线2〃2：同理过A作直线1）〃9,则2〃61,1）〃（1,且2、b为相交直线，那么经过a、b

的平面0〃a,所以经过点A有一个平面°和平面a平行.

（惟一性）设平面B’经过A,且卜〃a,则A和a，确定的平面y必与/相交.设丫州=54且a，

〃/,因为经过直线或外一点A只有一条直线和I平行，所以/与a重合，即平面*过a;同理平面‘过

直线b,所以平面。'是由a、b确定的平面，故卜与p重合.因此经过点A只有一个平面p〃a,所以经

过A有且只有一个平面和a平行.

点拨:证明平面与平面平行关键是找到一个面内的两条相交直线与另一个面平行或与另

一面内的两条相交直线平行.

六、探究性学习点拨

【例6】尝试用多种方法证明命题：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直

线与这两个平面的交线平行.

已知：如图9-3-6,面aC面a2=b,a〃面ai,a〃面a2.

求证：a〃b.

思维入门指导：证明几何问题的一般思路是由求证想判定，即由题的“终结”回想证明它

有什么样的方法油已知想性质,即由题设条件，想到由题设能推出什么样的性质.本题中，要证

明2〃9因为直线b是平面6和平面（X2的交线，所以首先应将a平移到平面8和a2内,使其与直线b

发生联系.

证法一：过直线a作两个平面力和02,使得平面pm平面p产C，面也n面a2=d.

,.,a〃面四，a〃面a?,:.allc、a〃d.

C〃d.dU面Cl2,C<Z面Cl2.

；.c〃面C12.

又■cu面ai,面a£面a2=b,

，c〃b.，a〃b.

证法二：经过a作一平面兀，使得平面兀C面ai=k,面兀0面ct2=/.

Va/7Wai,a〃面a2,

・・・a〃k,a〃/,则k〃/〃a.

•・•三个平面四、(12、九两两相交，交线分别为k、/、b且k〃/,

・・・k〃/〃b,5IiJa/7b.

证法三：在b上任取一点A,过A和直线a作平面和平面⑴相交于八，和平面a?相交于直线

♦a〃面a1,a〃面。2,

V过一点只能作一条直线与另一直线平行，

・，・/］与/2重合.

又丁/lU面叫,/2U面012,

・・・/1与/2重合于1>.

.,.a〃b.

点拨:证明直线与直线平行，有下列方法：(1)若a,bu面a,且aClb=。,则a>b;⑵若

anB=a，Briy=b，Yria=(^a〃b〃c;(3)若2〃1),1)〃<:,则2〃(;；(4)若2〃*auP，anp=t^(Ja〃b.

【同步达纲训练】

A卷:教材跟踪练习题(60分45分钟)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.若直线m不平行于平面a,且mtza,则下列结论中正确的是()

A.a内的所有直线与m异面B.a内不存在与m平行的直线

C.a内存在惟一的直线与m平行D.a内的直线与m相交

2.两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是()

A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能

3.已知直线a、b、c及平面a,下列哪个条件能确定a〃b()

A.a〃a,b〃aB.a±c,b±c

C.a、b与c成等角D.a〃c,b〃c

4.具备下列哪个条件时，两个平面一定平行（）

A.一个平面内有两条直线平行于另一个平面

B.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

C.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

D.一个平面内有两条直线平行于另一个平面内的两条直线

5.如果平面a平行于平面加那么（）

A.平面a内任意直线都平行于平面B

B.平面a内仅有两条相交直线平行于平面0

C.平面a内任意直线都平行于平面0内的任意直线

D.平面a内的直线与平面0内的直线不能垂直

6.经过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（）

A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个

二、填空题（每小题4分，共16分）

7.a、b是异面直线，a、娓平面，aua,bu0.甲：a〃M〃a,则甲是乙的条件

8.在棱长为a的正方体ABCD-AiBiGDi中，M、N是下底面的棱A|B「BCi的中点,P是

上底面棱AD上的一点,AP=],过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上，则PQ=.

9.过两条平行线中的•条和另一条平行的平面有个.

10.给出条件：①a内有两条相交直线分别平行于0;②a内有无数条直线平行于出③a内

有两条直线分别平行于B内的两直线.其中能成为a〃。的必要不充分条件的是.

三、解答题（每小题7分，共14分）

11.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC//面BDQ.

12.在棱长为a的正方体ABCD—AiBiCQi中，设M、N、E、F分别是棱A|B「AQi、CQi、

BiG的中点.求证：（1）E、F、B、D四点共面；（2）面AMN〃面EFBD.

B卷:综合应用创新练习题（85分60分钟）

一、学科内综合题（每小题5分，共10分）

1.三条直线a、b、c两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平

行、则a与b所成角的度数为.

2.空间四边形ABCD中,AC=2cm,BD=4cm,AC与BD成45。角,M、N、P、Q分别是四边中点,

则四边形MNPQ的面积是.

二、应用题（每小题10分，共20分）

3.教室内，日光灯管所示直线与地面平行，若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线

平行，该怎样作出？

4.桌面B与水平面a平行,在桌面上有一块三角形钢板ABC,AB=24cm,BC=32cm,AC=40cm.

在B与a之间有一点P,如图937所示，直线AP、BP、CP分别交a于点A\B\C,且PA，:PA=2:3,

求△AB，C，所占地面的面积.

三、创新题（45分）

（-）教材变型题（10分）

5.（Pm例1变型）如图9-3-8,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平

行四边形.

求证：（1）AB〃平面EFGH;（2）CD〃平面EFGH.

（二）一题多解（1。分）

6.正方体AG中，点N在BD上，点M在BC上，且CM=DN.求证：MN〃面AA|B|B.

（三）一题多变（10分）

7.已知直线aua,则b〃a是b〃a的条件.

（1）一变：已知直线aua,1）＜2%则1）〃2是13〃（1的条件.

（四）新情境题（15分）

8.如图9-3-9,在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABC1C2D2A2中，每相

邻两边互相垂直，边长均为a,并且A2Ai〃C2G.求证：面A2B（2〃面AiGDz.

4

图9-3-9

四、高考题（10分）

9.（2000,上海）设有不同的直线a、b和不同的平面a、仇丫，给出下列三个命题：①

^a//a,b//a,ljl!ja/7b;②若a〃a,a〃p,则a〃0;③若a〃y,口〃丫,则。〃,其中正确的

个数是（）

A.OB.lC.2D.3

加试题：竞赛趣味题（15分）

证明：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积.

【课外阅读】

数学证明与解释

1.数学证明

数学证明是数学中根据某些命题的真实性，来推断另一个命题的真假的一种思维过程,

通常推断命题为真，叫做证明为真，也称为证明；而推断命题为假，叫做证明为假，也称为

反驳.

关于证明应注意两点：

（1）命题的“真假”总是相对于某个数学理论来说的，因为“真假”在数学中具有相对性.在

整数集中，无倍数关系的两个数的除法就已无意义，即是“假''的；在实数范围内负数不能开

偶次方；在初等数学看来，高等数学的一些命题是不真的.实际上，证明也总是在一定的数学

理论体系内进行的.

（2）证明是一种逻辑推理过程，要求具有一定的逻辑性和严谨性，即数学推理的严格性,

重要的是推理要有依据（公理和已证定理）和要严格遵守逻辑规则.注意，这些逻辑规则是

假定先于数学而存在的.

数学证明所应遵守的一般逻辑规则是：

（1）可以在一个证明的任何地方引入一个前提（依据）.

（2）如果一个证明中有一些先引入的前提，这些前提的合取可以逻辑地推出一个命题P,

那么就可以在这一证明中引入这个命题P.

(3)如果能从一个命题R和一个前提集合推导出命题S,那么就可以从这个前提集合本身

推导出命题R—S.

2.解释

对于一个理论系统Z,若有一组具体事物M,其性质是已知的，在规定2中每一基本概

念指M中某一具体事物后，可验证E的每个公理在M中都成立，则称M为理论系统g的一个

解释，或一个模型、一种应用.

解释的方法在数学中也是很常用的.例如中学立体几何课程的若干直观教具(正方体等

模型)，就是中学几何中提供的三维欧氏空间理论的一个解释.在证明一-个公理系统自身所必

须满足的某些性质如无矛盾性、独立性和完全性等方面时，解释的方法是惟一有效的.现代

数学的形式系统中，所处理的只是各种符号和符号序列及其变形，它们的数学意义是靠解释

来给定的.

请做完作业后再自答星！

参考答案

A卷

-■、1.B点拨：直线m不平行于a,且m<za,则m必与a相交.

2.D

3.D点拨：由平行公理可知选项D正确.A、B、C中直线a、b的位置关系可以为平行，

异面或相交.

4.C点拨：按照直线与平面平行的定义，注意区分“无数”与“任何”.

5.A点拨：由平面与平面平行的性质定理知A正确;C中直线也可以是异面;D中两直线

可以异面垂直.

6.C点拨：若两点在平面两侧测过两点不可能作平面与已知平面平行；若两点在平面

同侧且连线平行于平面，则可有一个平面过直线已平行于已知平面；若两点在同侧且连线与

平面相交,则不存在符合要求的平面.

二、7.充分且必要条件点拨:过a作平面/交平面0于直线a；则a，与b相交，且a，〃0,Xb

〃9故由判定定理知a〃&反之，a〃仇由性质定理知必有a〃1b〃a.

8.孚a点拨：如答图9-31

：M、N为AIBI、BICI的中点，

；.MN〃面AC,则过点P、M、N的平面与上底面的交线平行于MN.

连结AC,过P作PQ〃AC交DC于点Q则PQ为面MNP与面AC的交线.

VAC=V2a,AP=-,.-.PQ=^1a.

33

9.无数个点拨：门扇绕一边门框转动时，门扇所在平面与另一门框所在直线始终是平

行的.

10.②③点拨：若a〃0则a内任何直线与平面B都平行，但a与0相交时a内也有无数条直

线与B平行，所以选②；要判断两平面平行依据必须是相交的两直线.

三、11.证明：如答图9-3-2,连结AC交BD于点。

^.^ABCD是平行四边形，.^.AO=。C.连结OQ,则OQ在平面BDQ内，且OQ是AAPC的中

位线，：.PC//OQ.

♦；PC在平面BDQ外，，PC〃平面BDQ.

12.证明:⑴分别连结BD、ED、FB,如答图933,

则由正方体性质得

BIDI/7BD.

；E、F分别是DiCi和BiG的中点,

=2

AEF/Z-BD.

=2

，E、F、B、D对共面.

(2)连结ACi交MN于P点，交EF于点Q,连结AC交BD于点。，分别连结PA、Q0.

：M、N为ANi、AQi的中点，

；.MN〃EF,EFu面EFBD.

.♦.MN〃面EFBD.

：PQ幺A。，

二四边形PAOQ为平行四边形.

：.PA//OQ.

而OQu平面EFBD,

；.PA〃面EFBD.

且PACIMN=P,PA、MNu面AMN,

，平面AMN//平面EFBD.

B卷

一、1.60。点拨：由题中条件知经平移三条异面直线可以平移到同一个面内转化为三

条相交直线，且夹角相等，故所成角为60。.

2.近cm?点拨:如答图9-3-4,M、N、P对分别为四边中点，MN幺(AC,MQ幺^BD.

答图9-3-4

二四边形MNPQ为平行四边形，且/MNP=45。或/QMN=45。.

2

SaMNPQ=2SAQMN=2x•MQ-MN-sin45°=VJ(cm).

二、3.解：过日光灯管的两端向平面引垂线，连结两垂足的直线与日光灯管所示直线平

行.

4解：a//。，且由面ABAP=AB,面aCl面ABAB=AP,

:.AB〃A'B'.又：PA':PA=2:3,二A'B':AB=2:3.

同理AC:A