高中数学选修第一册：选择性必修第一册第二章 22

§2.2直线的方程

2.2.1直线的点斜式方程

【学习目标】1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程2掌握直线的点斜式方程与斜

截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点直线的点斜式方程和斜截式方程

类别点斜式斜截式

适用范围斜率存在

已知条件点P(X()Jvo)和斜率k斜率左和在丫轴上的截距b

/^(即加

图示

一

方程y一闻二

截距直线/与y轴交点(0,6)的纵坐标b叫做直线1在y轴上的截距

思考1经过点尸0(尤0,州)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？

答案不能用点斜式表示，过点Po且斜率不存在的直线为了=尤0.

思考2直线/i：y=kix+bi,/2：>=左2%+62平行、垂直的条件？

答案(1)/1〃，2=左1=左2且从Wb2,

(2)/i±Z2«Jtife=-l.

思考3直线在y轴上的截距是距离吗？

答案不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值.

-思考辨析判断正误

1.直线的点斜式方程也可写成——=k(X)

X—Xo

2.y轴所在直线方程为x=0.(V)

3.直线厂-3=A(x+l)恒过定点(一1,3).(V)

4.直线y=2x—3在y轴上的截距为3.(X)

题型探究探究重点素养提升

一、求直线的点斜式方程

例1已知在第一象限的△ABC中,A(l,l),8(5,1),ZA=60°,ZB=45°,求:

(1)AB边所在直线的方程；

(2)AC边与BC边所在直线的方程.

解(1)如图所示，

因为所以AB〃x轴，

所以AB边所在直线的方程为y=l.

(2)因为/A=60。，

所以kAc=tan60°=^3,

所以直线AC的方程为y—l=S(x—1).

因为48=45。，

所以kBc=tan135°=—1,

所以直线BC的方程为y—1=—(x—5).

反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点

⑴求直线的点斜式方程的步骤：定点(项，声)-*定斜率左一写出方程y—yo=A(x一项).

⑵点斜式方程y—yo=A?(x—xo)可表示过点P(M,yo)的所有直线，但x=xo除外.

跟踪训练1求满足下列条件的直线的点斜式方程：

(1)过点尸(4,—2),倾斜角为150。；

(2)过两点4(1,3),B(2,5).

角单(l)Va=150°,.•.左=tan150°=一生，

、回

直线的点斜式方程为y+2=—3(x—4).

5—3

(2)•.次=二=2,

直线的点斜式方程为y—3=2(%—1).

二、直线的斜截式方程

例2已知直线/i的方程为y=—2x+3,L的方程为y=4x—2,直线/与八平行且与L在y

轴上的截距相同，求直线/的方程.

解由斜截式方程知，直线/i的斜率向=-2,

又因为/〃/i,所以4=—2.

由题意知，/2在y轴上的截距为一2,

所以直线/在y轴上的截距6=—2.

由斜截式可得直线I的方程为y=~2x~2.

延伸探究

本例中若将“直线/与/i平行且与L在y轴上的截距相等”改为“直线/与/i垂直且与/2在y

轴上的截距互为相反数“，求/的方程.

解VZ1±Z,直线/1：y=—2x+3,.2的斜率为、

•••/与心在y轴上的截距互为相反数，

直线，2：y=4x—2,

・•・/在y轴上的截距为2.

二直线I的方程为y=；x+2.

反思感悟求直线的斜截式方程的策略

(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.

(2)直线的斜截式方程y^kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即

可.

跟踪训练2根据条件写出下列直线的斜截式方程：

⑴斜率为2,在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150。，在y轴上的截距是一2；

(3)倾斜角是直线y=—的倾斜角的匕且在y轴上的截距是一5.

解⑴y=2x+5.

(2)Vet=150°,.,.左=tan150°=一坐，；.y=一坐x—2.

(3Y：y=-yf3x+l的倾斜角为120°,

，所求直线的倾斜角为ot=12O°X^=3O°,

.•左=tan30=亍,..y=~^~x—5.

核心素养之直观想象与数学运算---------------

点斜式方程和斜截式方程的应用

典例(1)求证：不论。为何值，直线>="-3a+2(aGR)恒过定点；

(2)当。为何值时，直线/i：y=(2a—l)x+3与直线，2：y=4x—3垂直？

(1)证明将直线方程变形为y-2=a(x-3),

由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2).

(2)解由题意可知，除—2a—1,k%=4,

3

V.•.4(2〃-1)=—1,解得〃=d.

O

3

故当时，直线/i：y=(2〃-l)x+3与直线，2：y=4x—3垂直.

［素养提升］(1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明.

⑵在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直

观想象和数学运算的核心素养.

随堂演练基础巩固学以致用

--------------------N--------------------

1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()

A.x=3B.y——5

C.2y—xD.冗=4厂1

答案B

2.方程尸人(无一2)表示()

A.通过点(一2,0)的所有直线

B.通过点(2,0)的所有直线

C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线

D.通过点(2,0)且除去无轴的所有直线

答案C

解析易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.

3.已知直线/的方程为1),则/在〉轴上的截距为()

2727

A.9B.-9C.yD.~4

答案B

2799

解析由y+i=a(LD，得产甲;一以

・・・/在y轴上的截距为一9.

4.已知直线的倾斜角为60。，在y轴上的截距为一2,则此直线的方程为()

A.尸gx+2B.y—~y[3x+2

C.y=一小x—2D.y=y[3x-2

答案D

解析\'a=60°,，Z=tan60。=小，

；•直线/的方程为y=yf3x-2.

5.直线>=依+6通过第一、三、四象限，则有（）

A.k>3b>0B.k>0,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,b<0

答案B

解析•••直线经过第一、三、四象限，

.•.图形如图所示，由图知，k>0,b<0.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）直线的点斜式方程.

⑵直线的斜截式方程.

2.方法归纳：

待定系数法、数形结合思想.

3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.

课时对点练注重双基强化落实

----------------------N--------------------

己基础巩固

1.已知直线的方程是y+2=—x—1,则（）

A.直线经过点（一1,2）,斜率为一1

B.直线经过点（2,-1）,斜率为一1

C.直线经过点（一1,-2）,斜率为一1

D.直线经过点（一2,-1）,斜率为1

答案C

解析由y+2=—x—1,得y+2=—（x+1）,所以直线的斜率为一1,过点（一1,-2）.

2.直线2=—正。+1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（）

A.60°,2B.120°,2—小

C.60°,2一/D.120°,2

答案B

解析该直线的斜率为一小，当尤=0时，y=2一小,

，其倾斜角为120。，在y轴上的截距为2一5.

3.与直线y=jx的斜率相等，且过点（一4,3）的直线方程为（）

A.厂=|(x+4)3

3­B.y+3=/(x—4)

33

C.厂3=声+4)D.y+3=—4)

答案c

4.过点（一1,3）且平行于直线产/+3）的直线方程为（）

A.y+3=T(x+DB.y+3=g(九一1)

C.y—3=T(x+DD.厂3=T(x—1)

答案c

解析由直线y=；（x+3）,得所求直线的斜率为:，

其方程为厂3=/+1）,故选C.

5.与直线y=2x+l垂直，且在〉轴上的截距为4的直线的斜截式方程为（）

A.y=gx+4

B.y=2x+4

D.y=—^x+4

C.y=-2x+4

答案D

解析由题意可设所求直线方程为尸质+4,又由2%=-1,得％=一：,

...所求直线方程为y=-5+4.

6.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30。角的直线的斜截式方程是

答案>=小尤一6或y=一小无一6

解析因为直线与y轴相交成30。角，

所以直线的倾斜角为60。或120°,

所以直线的斜率为小或一小，

又因为在y轴上的截距为一6,

所以直线的斜截式方程为6或y=-6.

7.不管%为何值，直线2）+3必过定点.

答案（2,3）

解析化为点斜式y—3=左。一2).

8.已知直线/的方程为＞一加=0—1)(%+1)，若/在y轴上的截距为7,则m=.

答案4

解析直线I的方程可化为y=(m—l)x+2m-1,

・・・2加一1=7,得加=4.

9.求满足下列条件的根的值.

(1)直线/i：y=—x+1与直线，2：)=(m2—2)x+2nz平行；

(2)直线/i：y=-2x+3与直线£y=(2加-1)小一5垂直.

解(1)・・・/1〃/2,・•・两直线斜率相等.

m2—2——1且2机#1,

13

(2)Vh-Lh,.*•2m—1=2»

10.已知直线/的斜率与直线3x—2y=6的斜率相等，直线/与％轴交点坐标为(a,0),且。

比直线在y轴上的截距大1,求直线I的斜截式方程.

3

解由题意知，直线/的斜率为

3

故设直线I的方程为y=y+b,

32

由/+b=0得a=—^b9在y轴上的截距为b,

,93

所以一下一^=1,b=—q,

33

所以直线I的斜截式方程为y=/一亍

%综合运用

11.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90。，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为()

A.B.y=一$+i

C.尸3%-3D.y=%+l

答案A

解析将直线y=3x绕原点逆时针旋转90。，得到直线y=—5,再向右平移1个单位长度，

所得到的直线为尸一不—1),即尸一5+g.

12.直线/i：y=or+Z?与直线£y=bx+a(ab^0,在同一平面直角坐标系内的图象可

能是()

答案D

解析对于A,由/i得a>0,b<0,而由b得。>0,b>Q,矛盾；对于B,由人得a<0,b>0,

而由L得。>0,6>0,矛盾；对于C,由/i得a>0,b<0,而由得6>0,矛盾；对于D,

由h得«>0,b>0,而由，2得a>0,6>0.故选D.

13.直线丁=丘+2（左GR）不过第三象限，则斜率左的取值范围是.

答案（一8,0]

解析当上=0时，直线y=2不过第三象限；

当fc>0时，直线过第三象限；

当N0时，直线不过第三象限.

14.将直线y=x+45—1绕其上面一点（1,小）沿逆时针方向旋转15。，所得到的直线的点斜