一阶动态电路分析

一阶动态电路分析第二节一阶电路的零输入响应第三节一阶电路的零状态响应第四节一阶电路的全响应第五节一阶线性电路动态分析的三要素法第一节动态电路的方程及初始条件教学要求：1、掌握换路定则及初始值的求法。2、理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义。3、掌握一阶线性电路分析的三要素法。

一阶动态电路分析

稳定状态：

在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。

动态过程（也称暂态过程）：

电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。术语介绍：

一阶动态电路分析第一节动态电路的方程及初始条件产生动态过程的原因：由于电路中包含有电感L和电容C等储能元件，而储能元件所储存的能量不能跃变造成的。1.电感元件一、电感元件和电容元件电流通过N匝线圈产生(磁链)电流通过一匝线圈产生(磁通)u

+-线性电感:(H、mH)线性电感:L为常数;非线性电感:L不为常数u与i的关系满足：L电感元件的符号u-+当i不变时，不会产生感应电动势，电感元件两端电压为0。电感对于直流相当于短路。第一节动态电路的方程及初始条件一、电感元件和电容元件两边同乘上

i

，并积分，则得：∴电感i不能跃变

即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。电感为储能元件，也称为动态元件。磁场能:第一节动态电路的方程及初始条件一、电感元件和电容元件2、电容元件uiC+_电容元件线性电容：

（1）当电压u,q变化时，在电路中产生电流:

当u不变时，流过电容元件的电流为0。电容对于直流相当于开路。第一节动态电路的方程及初始条件一、电感元件和电容元件将上式两边同乘上u，并积分，则得：

即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。电容元件是动态元件。若发生突变，不可能！一般电路则∴电容u不能跃变

3、电阻是耗能元件，所以电阻电路不存在动态过程。电场能:第一节动态电路的方程及初始条件一、电感元件和电容元件

产生动态过程的必要条件：电路中含有储能元件；（L、C）(2)电路发生换路

换路:

电路状态的改变。如：电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变。二、一阶动态电路方程及其初始值的确定第一节动态电路的方程及初始条件1、一阶动态电路的方程

存在动态元件L和C的电路中，当发生换路后，根据基尔霍夫定律及L、C元件的电压电流关系可以知道，列出的回路电压方程或节点电流方程，必然是以电压或电流为变量的常微分方程，称为动态方程。常以电感电流和电容电压作为动态方程的状态变量。

一般情况下，当电路中只有一个动态元件,所列方程为一阶微分方程，电路也称一阶动态电路。

一阶电路动态过程的分析方法常用经典法，即在时间域中求解常微分方程。二、一阶动态电路方程及其初始值的确定第一节动态电路的方程及初始条件2、换路定则

换路定则：换路时,电容的电场能和电感的磁场能不会发生跃变，即电容电压和电感电流不会发生跃变。

设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的最终时刻

t=0+—表示换路后的初始时刻（初始值）二、一阶动态电路方程及其初始值的确定第一节动态电路的方程及初始条件电容电路：注意：换路定则仅用于换路瞬间来确定动态过程中uC、iL初始值。电感电路：换路经历的时间：

t=0-—t=0+。由换路定则，在这个时间过程，电容电压和电感电流不会发生跃变。即二、一阶动态电路方程及其初始值的确定第一节动态电路的方程及初始条件3、初始值的确定求解要点：(2)其它电量初始值的求法。初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。(1)

uC(0+)、iL(0+)的求法。1)先由t=0-的电路求出uC(

0–)

、iL(

0–)；

2)根据换路定则求出uC(0+)、iL(0+)。1)由t=0+的电路求其它电量的初始值；2)在t=0+时的电压方程中uC=uC(0+)、

t=0+时的电流方程中iL=iL(0+)。二、一阶动态电路方程及其初始值的确定第一节动态电路的方程及初始条件例1:解：(1)由换路前电路求由已知条件知根据换路定则得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。SSRR23tt=0=0+-LSSURRR2tt=0=0R1CCCC第一节动态电路的方程及初始条件,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。iC

、uL

产生突变(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值第一节动态电路的方程及初始条件解：(1)由t=0-电路求uC(0–)、iL(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：4

R32

+_RR2R1U8V++4

i14

iC_uC_uLiLLCt=0-等效电路例2:

换路前电路处于稳态。试求图示电路中电感的电压和电容元件的电流的初始值。2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

解：L由换路定则：2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

4

2

+_RR2R1U8V++4

i14

ic_uc_uLiLR3Ct=0-等效电路第一节动态电路的方程及初始条件解：(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL(0+)uc(0+)由图可列出代入数据iL(0+)t=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

iC_iLR3i2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

第一节动态电路的方程及初始条件t=0+时等效电路4V1A4

2

+_RR2R1U8V+4

ic_iLR3i解：解之得并可求出2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

第一节动态电路的方程及初始条件计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2

+_RR2R1U8Vt=0++4

i14

iC_uC_uLiLR34

第一节动态电路的方程及初始条件结论1.换路瞬间，uC、iL

不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路前,若uC(0-)

0,换路瞬间(t=0+等效电路中),

电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);

换路前,若iL(0-)

0,在t=0+等效电路中,电感元件

可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。第一节动态电路的方程及初始条件第二节一阶电路的零输入响应换路前电路已处稳态：t=0时开关,电容C经电阻R放电

零输入响应:

无电源激励,输入信号为零,

仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。实质：RC电路的放电过程。一、RC电路的零输入响应+-SRU21+–+–图示电路，代入上式得一阶线性常系数齐次微分方程(1)

列

KVL方程：1、电容电压uC的变化规律(t0)(2)

解方程：特征方程齐次微分方程的通解：根据换路定则：

可见，电容电压uC从初始值按指数规律衰减，

衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC的变化规律第二节一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应电阻电压：放电电流

电容电压2、电流及电阻电压的变化规律tO3、、、变化曲线第二节一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应当t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。4、过渡过程时间理论上认为、电路达稳态工程上认为~

、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减第二节一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应二、RL

电路的零输入响应1、RL

短接如图，换路前开关S置于位置2，电路已处于稳态，电感中已有电流：

t=0时，开关,电感L和电阻R构成一闭合回路，U+-SRL21t=0+-+-第二节一阶电路的零输入响应列出KVL方程：将代入上式，得

根据换路定则，初始值：

解微分方程，得到电路时间常数U+-SRL21t=0+-+-第二节一阶电路的零输入响应二、RL

电路的零输入响应(2)变化曲线OO-UU(1)

的变化规律第二节一阶电路的零输入响应二、RL

电路的零输入响应2、RL直接从直流电源断开(1)可能产生的现象1)刀闸处产生电弧2)电压表瞬间过电压第二节一阶电路的零输入响应(2)解决措施2)接续流二极管VD1)接放电电阻U+-SRL21t=0+-+-VDU+-SRL21t=0+-+-第二节一阶电路的零输入响应二、RL

电路的零输入响应

一、

RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程uC(0-)=0sRU+_C+_iuC第三节

一阶电路的零状态响应Utu阶跃电压O分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式uC(0-)=0sRU+_C+_iuC

一、

RC电路的零状态响应第三节

一阶电路的零状态响应一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1、uC的变化规律(1)

列

KVL方程uC(0-)=0sRU+_C+_iuc

一、

RC电路的零状态响应第三节

一阶电路的零状态响应(2)解方程求特解

：方程的通解:

求对应齐次微分方程的通解通解即：

的解第三节

一阶电路的零状态响应微分方程的通解为：确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，

一、

RC电路的零状态响应第三节

一阶电路的零状态响应(3)电容电压uC的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于动态过程中

63.2%U-36.8%Uto第三节

一阶电路的零状态响应3、、变化曲线t当t=

时

表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。2、电流

iC

的变化规律4、时间常数的物理意义

U第三节

一阶电路的零状态响应二、RL电路的零状态响应1、变化规律列

KCL方程：ISSL+--+第三节

一阶电路的零状态响应3、、、变化曲线OO2、、、变化规律二、RL电路的零状态响应第三节

一阶电路的零状态响应一、

RC电路的全响应1、uC

的变化规律

全响应:

电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理

全响应=零输入响应+零状态响应uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC第四节一阶电路的全响应稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应

结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值

二、RL电路的全响应全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应零状态响应全响应U+-SRLt=0+-+-R0第三节

一阶电路的零状态响应稳态解初始值第五节一阶线性电路动态分析的三要素法

仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。据经典法推导结果全响应uC(0-)=UosRU+_C+_iuc：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数

--

在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：第五节一阶线性电路动态分析的三要素法

利用求三要素的方法求解动态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和

的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。第五节一阶线性电路动态分析的三要素法电路响应的变化曲线tOtOtOtO第五节一阶线性电路动态分析的三要素法1、三要素法求解动态过程的要点：终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出动态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入动态过程通用表达式；tf(t)O第五节一阶线性电路动态分析的三要素法

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算2、响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V3

1

FS例：7

+-t=05

3

3

6AS1H第五节一阶线性电路动态分析的三要素法1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或(2)初始值的计算2、响应中“三要素”的确定第五节一阶线性电路动态分析的三要素法在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，若不画t=(0+)的等效电路，则在所列t=0+时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。2、响应中“三要素”的确定第五节一阶线性电路动态分析的三要素法

1)对于简单的一阶电路，R0=R;2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数

的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路2、响应中“三要素”的确定第五节一阶线性电路动态分析的三要素法R0U0+-CR0

R0的计算类似于应用戴维南定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第五节一阶线性电路动态分析的三要素法解：用三要素法求解,先用戴维南定理，将图化简为b电路，其中例3:

电路如图，US=10V,IS=2A,R=2,L=4H。试求开关闭合后电路中的电流iL和i。a)b)第五节一阶线性电路动态分析的三要素法(1)由电路求时间常数

(2)确定初始值由换路定则t=0-等效电路(3)确定稳态值等效电路第五节一阶线性电路动态分析的三要素法用三要素法求解的变化曲线如图根据KCL得：iOtLi-23第五节一阶线性电路动态分析的三要素法例4：已知电路中：R1=10K

，R2=40K

，R3=10K

，US=250V,C=0.01uF。试求开关断开后的电压uAB,并画出其变化曲线。解：用三要素法求解t=0-的等效电路1）求初始值第五节一阶线性电路动态分析的三要素法t=0+的等效电路2）求稳态值t=∞的等效电