高中数学【直线与平面的夹角二】教学设计

直线与平面的夹角⑵

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要

学习直线与平面的夹角。学生在学习了异面直线所成角的概念，对空间角的问题有了一定的经验，线面角

的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。为

培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.进一步理解线面角的定义；1.数学抽象：线面角的定义

B.掌握求线面角的两种基本方法，即空间2.逻辑推理：线面角的定义

向量法与几何法.3.直观想象：线面角的几何模型

4.数学运算：用空间向量求直线与平面所成的角问题

教学重难点

1.教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.

2.教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、真题演练

1.（2014•全国高考真题（理））直三棱柱ABC—A由Ci中，ZBCA

=90。，M,N分别是481,4G的中点，BC=CA=CG,则与

AN所成角的余弦值为（）通过真题展示，

帮助学生梳理求解

12J30线面角的基本方法

A.—B.-c.r

10510和步骤，提升学生

【答案】c数学抽象，逻辑推理

【解析】以c为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CG和数学建模的核心

为z轴，素养。

则设CA=CB=1,则8(0,1,0),A(l,0,0),^(-,0,1),

222

故而H=(L—LD,布=(—Lo,i),

222

__._3

所以c°.sM4A*研BM•A讨N温A=需/an故选C

22

2.(2011•全国高考真题)已知正方体ABC。—Ag中，£为U。

的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.

2

【答案】-

【解析】连接DE,设AD=2,易知AD〃BC,

ZDAE就是异面直线AE与BC所成角，

在ARtADE中，由于DE=&,AD=2,可得AE=3,

.,.cosZDAE=-^=-.

AE3

3.(2020•北京高考真题)如图，在正方体ABCO-ABCQi中，E

为的中点.

(I)求证：BC"/平面ARE；

(II)求直线A4与平面ADg所成角的正弦值.

力D：,EC.

AB

【解析】(I)如下图所示：

在正方体ABCD-A]BiC]Di中，ABg4且A3=A}Br

A4〃(C,Dt且A4=GA，；•AB〃C\D\且AB=C.D,,

所以，四边形ABC.D,为平行四边形，

贝ijBqUAD{,•/BC[a平面AD】E,A.u平面A°E,

BC}/7平面AD|E：

/(

iBt

p

II)么点A为坐标原点，A。、AB、AA所在直线分别为x、y、

Z轴

通过对线面角典

建垃如下图所示的空间直角坐标系A一孙z,

型问题的分析解决，

TS任方体ABC。—44GA的棱长为2，明确思考方向，提升

贝JA(O,0,0)、A(0,0,2)、A(2,0,2)、E(0,2,1),福=(2,0,2),运算速度和准确度，

让学生感受，用代数

7L£=(0,2,1),

方法解问题决立体

AD]E的法向量为〃=(x,y,z),由，"竺।°,得

被评面几何问题。发展学生

'"[n-AE=Q

逻辑推理，数学抽象

2x+2z=0

<和数学运算的核心

2y+z=0

素养。

令'z---2,则尤=2,y=l,Mn=(2,l,-2).

—7-n-AA.42

cos</'.＞一问网.3x2—3,

2

1此，直线AA与平面AQE所成角的正弦值为1.

二、典例解析

例1.如图，四棱锥P-A8CO中，以_1_底面48。。，AD//BC,AB=

AI)=AC=3,PA=BC=4,例为线段4。上一点，AM=2MD,N为

PC的中点.

⑴证明〃平面PAB-,

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

［思路探究］(1)线面平行的判定定理〃平面PAB.

(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角=直线AN与

平面所成角的正弦值.

2

［解］(1)证明：由已知得AW=,AO=2.

如图，取3P的中点八连接AT,TN,

由N为PC的中点知TN//BC,TN=\BC=2.

又AO〃BC,故TTV^AM,所以四边形AMN7为平行四边形，于是

MN//AT.

因为ATu平面平面B48,

所以MN〃平面PAB.

通过典型例题

的分析和解决，让学

生感受空间向量坐

标运算在解决空间

(2汝口图，取BC的中点E,连接AE.

几何中的应用。发展

由AB=AC得AE_LBC,从而A£_LAQ,

学生数学抽象、逻辑

且AE=^AB2-BEr~"\jAB2—=邓•

推理的核心素养。

以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系4-xvz.

由题意知户(0,0,4),M(0,2,0),C(小,2,0),乂卓1,2),

PM=(0,2,-4),PN=偿,1,-2),四=(杀1,2

设"=(x,y,z)为平面PMN的法向量，

’―►

2y-4z=0,

1〃/例=0,

则＜即，坐c+y-2z=0,

一

1〃•尸N=0,

n'y

可取“=(0,2,1).于是|cos〈"，AN)|=l^

I«IIA/V|

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为甯.

若直线/与平面a的夹角为仇利用法向量计算6的步骤如下:

由。的范围确定6的大小

跟踪训练1.(2020•山东高考真题)如图，四棱锥P-A8C。的底面

为正方形，底面\ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明：L平面PZJC；

(2)已知PZ)=AO=1,。为/上的点，求P8与平面QCO所成角的

正弦值的最大值.

【解析】(1)证明：在正方形ABCD中，ADHBC，

因为平面PBC，8。匚平面尸3。，所以AO〃平面PBC，

又因为ADu平面尸4)，平面抬。0平面PBC=/,所以AD〃/,

因为在四棱锥尸―ABC。中，底面ABCO是正方形，所以

AD±DC,:.l±DC,

且尸。_L平面ABC。，所以AOLPR.JLP。，

因为所以/，平面PDC：

(2)如图建立空间直角坐标系。一个z,因为P£>=AZ)=1，

则有0(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,1),8(1,1,0),

设Q(m,0,1),则有反=(0,1,0),丽=(九0,1),方=(1,1,_1),

设平面QC。的法向量为3=(x,y,z),则(票;二。，即

y=0

J八，令x=l,则2=-加，所以平面QCO的一个法向量

nvc+z=O

n=（1,（）,-m）»则通过典例解析，进一

步让学生体会空间

一—n-PB1+04-m

('OS<n,PB>=_..=p--

r|n|||PB|V3-Vm2+1向量坐标在解决立

体几何中的应用，提

*艮据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直

升推理论证能力，提

电戈与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

高学生的数学运算

cos」禺>|==立./1+2〃，+疗

1及逻辑推理的核心

v3.vm"+13Virr+1

素养。

=包1+*《如迎,

3Vm2+l3V疗+133

刍且仅当〃2=1时取等号，

斤以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为逅.

户

3

e利2.如图，已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂

111

i1A4;AB=AC=143_LAC,M、N分别是CC、5C的中点，点尸在A\B\

11

一匕且满足中=MiBiqcR）.

(1）证明:PALLAM;

(2）当2取何值时，直线PN与平面48c所成的角，最大?并求该最大角

0勺M正切值.：

1

"N°

⑴证明:如图，以A£UC,A4i分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系山》,

贝力小,0,1）必另,0）陷0,琼）,从而布=仔4，-1）,而=（0,片）,

［解I(1)证明：因为平面田。，平面ABCD,AB±AD,

所以A8_L平面BAD所以A8J_PD

又因为F_LPO,所以PO_L平面以8.

P

(2)取A。的中点O,连接P。，CO.

因为%=PD,所以PO_LAZ).

又因为POu平面以。，平面以OJ_平面A8C。,

所以PO_L平面ABCD.

因为COu平面ABCD,所以尸O_LCO.

因为AC=C£),所以COJ_AO.

如图，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意得,40,1,0)，8(1,1,0),C(2,0,0),0(0,-1,0),P(0,0,1).

设平面PCD的法向量为"=(x,y,z),则

—>

nPD=0,f—y—z=0,

BP]令z=2,则x=l,y=—2.

t[2x—z=0.

H,PC=0f

—>

所以〃=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),

―>

所以cos〈小PB)一坐

\n\\PB\-

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为坐

⑶设M是棱上一点，

—>—►

则存在4目0,1］使得只

—>

因此点M(O,1一九z),8M=(-1,一九2).

—>

因为8MC平面PCD,所以要使5M〃平面PCD当且仅当3M-"=(),

即(一1,一九；)•(1)-2,2)=0.解得4=(.所以在棱出上存在点M

使得8M〃平面PCD,此时［々一

三、达标检测

1.正方体ABCD-A\B\C\D\中，BB1与平面ACD\所成角的正弦值为通过练习巩固本

()节所学知识，通过学

生解决问题，发展学

A.B.号C.1D.宁

生的数学运算、逻辑

【答案】B

推理、数学建模的核

解析：设正方体的棱长为1,依题意，建立如图所示的坐标系，则

心素养。

4(1,0,0).8(1,1,0),C(0,l,0),。(0.01)，Bi(U,l)

\\

\

\

/r

L_Li

―►—>

••AD\~~(-1,0,1),AC=(-1,1,0)

设平面ACQ的法向量为〃=(x,y,z)

[-x+z=0—

・•・令x=l,又・・・3囱=(0。1),

[—x+y=0

―>

...8囱与平面ACD所成角的正弦值为"竺’一手.

1川喇

2.在三棱锥P-ABC中,A8J_8C,AB=BC=：PA,点O,D分别是AC,PC

的中点。P_L底面ABC,则直线0D与平面PBC所成角的正弦值

为__________.

解析:以0为原点，射线OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如

图，设48=4,则0P=公,而=半a),可求得平面PBC的法

向量为

4

所以cos<而,n>=舞=穿，设而与面P8C的角为4则sin源等.

答案驾

3.(2020•浙江高考真题)如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD

_L平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

(I)证明：EFLDB-,

(H)求。F与面OBC所成角的正弦值.

DF

:

B

【解析】(I)作。H_LAC交AC于”，连接8H.

平面ADFC，平面ABC，而平面ADFCf］平面ABC=AC,

D¥u平面ADFT,

/_L平面ABC,而BCu平面4BC,即有。

NAC8=NACO=45。，

CD=yflCH=2BC=CH=血BC.

在ACBH中，BH?=CH2+BC2-2CH-BCcos45°=BC2，

即有6”2+8。2=c”2.BHLBC.

由棱台的定义可知，EF//BC，所以DHLEF，BH工EF，而

BHC\DH=H,

二Eb_L平面