高中数学：圆锥曲线高考复习题

圆锥曲线复习题

1.已知动点P到点向（-1,0）的距离与到点乃（1.0）的距离之和为2VL若点P形成

的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程;

（2）过用作直线/与曲线C分别交于两点M,N,当FRTF/最大时，求△〃F2N的面

积.

【分析】（1）根据椭圆的定义可得动点P的轨迹是以为，尸2为焦点的椭圆，求出a，b

的值，即可得出答案.

（2）对直线/的斜率分类讨论，若斜率不存在，直接求出康•康和SAMFZN的最值；

若斜率不存在，设直线方程和点M,N坐标，联立方程组，并消元得到一元二次方程，

根据韦达定理表示出X]+M，xiX2,川”，进而表示出康•产/,化简求值，即可得出答

案.

解：（1）动点尸到两顶点尸1（-1,0）,尸2（1.0）的距离之和为2遍,

所以|PF1|+|P「2|=2企>|F1F2|=2,

则动点尸的轨迹是Q,乃为焦点的椭圆,

所以2a=2夜，c=l,

即a=VLb2=a2-c2=l,

x2

所以曲线C的方程为习+/=1.

（2）①当直线/的斜率不存在时，x=-1,

则M（-1,y）,N（-1,一孝），

止匕时康.麻=p

1V2x/2/—

SAMF2N=12义芍_-y）|=伉

②当直线/的斜率存在时，设为（Hl）（%W0）,M（XI，yi）,N（X2,”），

（y—fc（x+1）

联立,得（1+2乒）/+4必/2乒-2=0,

G+y=i

_4k2（必-1）

所以Xl+X2=----7，X\X2=

2r+i2/+i

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所以歹"2=%（X1+1）V（X2+1）=P（X1X2+X|+X2+1）=------5----，

2r+i

—»—>

F2M・F2M=（xi-1）（X2-1）+y\y2=x\x2-（xi+%2）+i+y\y2

_2（4-1）4k22k2+1_/

-2k2+12k2+12k2+12fc2+l

7k2-l

一2k2+1

_797

一二声，

综合①②可得，当直线/：x=-1时，康薪取得最大值，

所以SAMFZN=V2-

【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力,

属于中档题.

XV

2.已知椭圆C：—+—=-[（«>/,>0）长轴长为4,P在C上运动，Fi,尸2为C的两个

a2b2

焦点，且COS/QP尸2的最小值为3

（I）求C的方程；

（2）已知过点"（0,m）（-b<m<h）的动直线/交C于两点4B,线段的中点

为M若&•小—。》・介为定值，试求机的值.

【分析】（1）结合余弦定理，转化求解a,b,推出椭圆方程.

（2）若直线/的斜率不存在，推出结果.若直线/的斜率存在，设其方程为y=fct+w,

y=fcx+m

%2y2，设Z（XI，B）,B（X2,歹2），利用韦达定理以及向量的数量积，推出

1彳+9二]

表达式为定值，然后求解加即可.

解：（1）由题意得4=2,

设|尸尸1|,|P尸2|长分别为p,q-

p2+q2_4c2_(p+q)2—4c2—2pq_2b2—pq_2b21>2b21_2b2

则cos。=1,

2Pq--2pq-pq-一西-一.乃2--主

（当且仅当p=q时取等号）

7b21力2q

从而一了一1=一，得"7=一'^2=4»/=3,

a22a24

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x2y2

则椭圆的标准方程为T+J=L

43

(2)①若直线/的斜率不存在，易得&-OB=0M-ON=-3；

y=kx+m

若直线/的斜率存在，设其方程为联立/y2_

(T+T=1

得(4必+3)7+8而a+4〃，-12=0,易知A>0恒成立,

设/(xi，y\),B(X2，竺)，则"('1*久2,

一8碗_4m2—12

且与+&=%途

4k2+3’2一4k2+3

,、1+>2

OAOB=OM-ON=+y/2-机-

—xrx2+(/c%i+m)(fcx2+m)—2(%+m4-kx2+rn)

=3+1)空2+粤(/+X2)=(P+1)/+粤•熟

“4k+344k+3

_-12k2+4m2-12_-3(4fc2+3)+4m2-3_2工4m2-3

4d+34d+34d+3

要使上式为常数，必须且只需4%2-3=0,即巾=±苧€(-b，V3).

此时若易.法-6.晶=-3为定值，符合题意.

综上可知，当m=士亭时，能使得若后•后一向•就=一3.

【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查向量的数

量积的应用，是难题.

3.已知抛物线C：，=2py(p>0)的焦点为尸，过尸的直线/与C相交于N、8两点，必、

尸8是C的两条切线，A,8是切点.当Z8〃x轴时，M81=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明：\PF^=\AF\'\FB\.

【分析】(1)根据条件得到当/8〃x轴时，\AB\=2p=2,解出p即可得到C的方程；

(2)求出PA、PB的方程，联立后得到P的坐标，进而表示出MF|・|8F|,|PF|,即可得

证.

解：(1)当43〃x轴时，\AB\=2p=2,则p=l,

所以炉=23，即抛物线C的方程为：》=疑；

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S1711

(2)设力(xi，-X，)，B(X2，-%72)，F(0，一)

212/2

i(y-7x2

设以方程为y=ki(x-xi)+/x/,联立(2i，整理可得工？-

2

(y=k1(x-x1)+^x1

2%ix+2左1jq—2=0,

所以△=4%2-4(2所Xi-x/)=0,即41=X1，则24的方程为y=xix-aXi2,

同理可得P8的方程为^三⑵^-^不？，

久1+%2%1%2)

联立两方程可得P(

22

,1,11

则只月•伊用=(-%1+-)+一),

2

%1+%2),।(X62.(勺+工2)2,x/工221_*_Xj2勺2冷2

|PF|2=(--)2=