中值定理及导数的应用教材

第四章中值定理及导数的应用§4.1 微分中值定理§4.2 洛必达法则§4.3 用导数研究函数的单调性、极值、和最值§4.4 函数曲线的凹向及拐点§4.5曲线的渐近线与函数作图§4.6导数在经济学中的应用本章计划课时:14课时§4.1

微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理1)在闭区间

上连续;2)在开区间

内可导;有一点则在内至少

使若函数满足：3)aboyABx如图证明则在[a,b]上取得最大值M

和最小值m.1)若即恒为常数,可取(a,b)内任一点作

为ab02)若由知,M,m至少有一个要在

内取得.不妨设M在内点处取得,即所以,证毕.abc几何意义:在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线弧上至少有一点,在该点处的切线是水平的.或者说切线aboyABx与端点的连线AB平行.罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件而非必要条件注意：该题辅助函数的寻找过程是一种常用方法二、拉格朗日(Lagrange)定理或（2）1)在闭区间上连续;2)在开区间内可导;至少有一点若函数满足：则在内（1）aboyABxC如图分析要证即证即证令只须证证明易见在上连续，在内可导，

且构造辅助函数根据罗尔定理使即亦即几何意义：

在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABxC1).

若令则于是拉格朗日公式可写成:2).

若令则得有限增量公式:说明验证在闭区间上连续,在开区间内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,即即的确在(0,1)内找到使定理成立.应用定理知例5

验证拉格朗日中值定理对函数在区间[0,1]上的正确性,并求验证拉格朗日中值定理对函数在区间[-1,1]上的正确性.时,例7

证明:当证明设对在上应用中值定理,,使即

所以即证明

不妨设在上应用中值定理,使所以,,由的任意性知,

对证明由定理知,即若函数满足:则在内至少存在一点使成立.1)在闭区间上连续;2)在开区间内可导;且三、柯西(Cauchy)中值定理例12证:

结论可变形为即§4.2

洛必达法则如果当时,两个函数f(x)

与g(x)都趋于零或都趋于无穷大,为未定式.通常称极限2)对

则有时的情形,条件时,也有结论1）如果当时仍属

型，且能满足定理中相应的条件，

当满足相应说明例1例2解解不是未定式,不能盲目应用洛必达法则注意例4

求解例7

求解答练一练定理2（1）当时,函数f(x)及g(x)都趋于(2)在点a的某去心邻域内,都存在且(3)存在(或无穷大);则有无穷大

;说明其他未定式:解决方法:取对数转化通分转化取倒数转化例1.

求解:

原式例2解例3

解例4解练一练一、函数单调性的判别§4.3用导数研究函数的单调性、极值和最值证应用拉格朗日中值定理例如01在定义域内单调递增注意：不存在，如何求函数的单调区间？xyo确定函数单调区间的方法和步骤:(1)确定函数的定义域;

的点(驻点)和(2)求找使不存在的点;(3)以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。解

(1)定义域例1

确定函数的单调区间.令,得(2)(3)以为分界点,将定义域分割,列表:增减增函数的单调递增区间为:单调递减区间为:解

(1)定义域例2

确定函数的单调区间.(2)令,得当时,不存在,(3)列表:增减增函数的单调递增区间为:单调递减区间为:利用单调性证明不等式例3

证明不等式证明令,即在上单增,当时,当时,二、函数的极值与最值设f(x)

在区间(a,b)内有定义,都有极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.若存在1),则称为函数的极大值.2),则称为函数的极小值.(一)函数的极值和最值的定义定义1注意1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极值不在端点上取xyo定理1极值存在（必要条件）是极大值.证不妨设由定义知,设函数在处可导并取得极值,则条件必要而不充分.即导数为零的点未必是极值点.的某一邻域内,恒有在注意说明1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.若，称点为函数的驻点.2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。xyo定理2(极值存在的第一充分条件)当时,当时,

(1)若则在处取得极大值.当时,(2)若当时,则在处取得极小值.(3)若在的邻近两侧不变号,则在在点连续，在的某一邻域内可导设函数（

可除外）处没有极值.(二)求函数极值的方法和步骤:

(1)确定(2)求使的点(驻点),及使不存在的点;

(3)列表考察这些点左右区间上的符号，利用定理3判别所找点是否极值点,并判别极大(小)值.

例1

求函数的极值.解得

列表:极大值极小值增减增

极大值为:

极小值为:解列表:定理3（第二充分条件）设函数处具有二阶导数,且在点则当时,为极大值;当时,为极小值.例4

求函数的极值.解令所以有极小值:定理3失效,用定理2判断.当时,时,不是极值点当时,时,不是极值点注意：(三)最值的求法若函数在上连续，上取得最大值和最小值.则必在xyox0求最值的方法:1求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不2计算函数在这些点处的函数值;3比较这些函数值的大小,其中最大者与最小者就是说明存在的点1函数可能在端点取得最值。2若函数在内取得最值，则此点一定取得极值在区间上的最大值和最小值.函数几种特殊情况:1

若在上单调,则在端点处取得最值.2

若在内只有一个极值点则当为极大(小)值点时,就是最大(小)值.注意:1在实际问题中,则按实际情况进行判断.2当表示该实际问题的函数在所讨论的一个可能的极值点时,则该实际求的最大值或最小值.区间内只有问题一定在该点取得所例3

某商店每年销售某种商品a

件，每次购进的手续费为b

元，而每件商品每年库存费为c元。在该商品均匀销售的情况下，问商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？解设每批购进

x

件商品，所需总费用为

y

元。则得即批数为时，费用最小。§4.4 函数曲线的凹向及拐点上凹xyo下凹xoy定义2问题：如何确定曲线的凹向呢？上凹xyo下凹xoy我们得到：曲线的凹向与一阶导数的单调性相关，从而可以用二阶导数的符号判别.定理1设函数在上连续,在内具有二阶导数,(1)若在内，则在上图形是上凹下凹(2)若在内，则在上图形是推论

解不存在.例2

求曲线的拐点.时,时,曲线在内是上凹的.时,曲线在内时是下凹的.是拐点问题：如何求曲线的凹向区间呢？判断曲线y=lnx的凹向性？

列表：上凹下凹上凹有拐点无拐点

令得的拐点及凹凸区间.

例3

求曲线解定义域为:当时,不存在.不存在

综上,曲线在上为下凹;点是拐点.在上为上凹.一、曲线的渐近线§4.5曲线的渐近线与函数作图定义1渐近线的种类：思考1、水平渐近线解定义2例1

解2、垂直渐近线对于函数，若或或则称直线为曲线的一条垂直渐近线。解所以是垂直渐近线。所以是垂直渐近线。例3

求曲线的垂直渐近线。例3定义3解3、斜渐近线定义4解解二、函数图形的描绘一般步骤:1确定函数的定义域2讨论函数的奇偶性、周期性3求出曲线的渐近线例2

描绘函数的图形.解1)定义域:令得令得2)3)列表:4)找渐近线:因,故直线为垂直渐近