统考版2024高考数学二轮专题复习第五篇考前教材回归文

第五篇考前教材回来一回来教材赢得高考良好的心态是稳定发挥乃至超常发挥的前提．考前这几天，最明智的做法就是回来基础，巩固基础学问和基本实力；最有效的心态调整方法就是每天练一组基础小题——做到保温训练手不凉，每天温故一组基础学问——做到胸中有粮心不慌．(一)集合与常用逻辑用语必记知识1.集合(1)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．四种命题之间的相互关系3．四种命题的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假提示(1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．(3)假如一些命题的真假不简洁干脆推断，则可以推断其逆否命题的真假．4．否命题与命题的否定的区分否命题命题的否定区分否命题既否定其条件，又否定其结论命题的否定只是否定命题的结论否命题与原命题的真假无必定联系命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假5.含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)提示由于全称命题常常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论．6．全称命题与特称命题真假的推断方法命题名称真假推断方法一推断方法二全称命题真全部对象使命题真否定命题为假假存在一个对象使命题假否定命题为真特称命题真存在一个对象使命题真否定命题为假假全部对象使命题假否定命题为真必会结论1.集合运算的重要结论(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A⊆A∪B；B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).2．一些常见词语的否定正面词语否定正面词语否定正面词语否定等于(＝)不等于(≠)是不是随意的存在一个大于(>)不大于(小于或等于，即“≤”)都是不都是(至少有一个不是)全部的存在一个小于(<)不小于(大于或等于，即“≥”)至多有一个至少有两个且或全为不全为至少有一个一个也没有或且3.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于推断真假的命题．易错剖析易错点1忽视集合中元素的互异性【突破点】求解集合中元素含有参数的问题，先依据其确定性列方程，求出值后，再依据其互异性检验．易错点2未弄清集合的代表元素【突破点】集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集合的代表元素是什么．易错点3遗忘空集【突破点】空集是一个特别的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思维定式的缘由，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．易错点4忽视不等式解集的端点值【突破点】进行集合运算时，可以借助数轴，要留意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”．易错点5对含有量词的命题的否定不当【突破点】由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易只否定全称命题的推断词，而不否定被省略的全称量词．易错点6不清晰“否命题”与“命题的否定”的区分【突破点】“否命题”是既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只是否定命题的结论．易错快攻易错快攻一遗忘空集[典例1]集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))[尝试解题]纠错技巧留意空集的特别性．由于空集是任何集合的子集，因此，本题中B＝∅时也满意B⊆A.解含有参数的集合问题时，要留意含参数的所给集合可能是空集的状况．空集是一个特别的集合，由于受思维定式影响，同学们往往在解题中易遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．易错快攻二对含有量词的命题的否定不当[典例2]已知命题p：∃n0∈N，2n0>1000，则¬p为()A．∀n∈N，2n<1000B．∀n∉N，2n<1000C．∀n∈N，2n≤1000D．∀n∉N，2n≤1000[尝试解题]纠错技巧本题易忽视对量词的否定致错．在对含有全称量词或存在量词的命题进行否定时，要先对全称量词或存在量词进行否定：全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，然后对结论进行否定．简记为改量词，否结论．(二)不等式必记知识1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(推断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类探讨，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它确定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它确定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种状况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．分式不等式eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))提示(1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不探讨这个数的正负，从而出错．(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的探讨导致漏解或错解，要留意分a>0，a<0进行探讨．(3)应留意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把eq\f(f（x）,g（x）)≤0干脆转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.4．图解法求解线性规划问题的基本要点(1)定域：画出不等式(组)所表示的平面区域，留意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应．(2)平移：画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与可行域有公共点，依据目标函数的几何意义确定最优解；留意娴熟驾驭常见的几类目标函数的几何意义．(3)求值：利用直线方程构成的方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，求出最值．提示(1)直线定界，特别点定域：留意不等式中的不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，特别点常选取原点；若直线过原点，则特别点常选取(1，0)，(0，1).(2)线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，最优解不确定唯一，有时可能有多个；非线性目标函数或非线性可行域的最值问题，最优解不确定在顶点或边界处取得．5．利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p).(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)s2.(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.(4)已知a，b，x，y∈R＋，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.提示利用基本不等式求最大值、最小值时应留意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必需是正数；②求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当对应项相等时，才能取等号．以上三点应特别留意，缺一不行．必会结论解不等式恒成立问题的常用方法(1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑运用判别式法求解，利用二次项系数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类探讨．(2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化原理是：在闭区间D上，f(x)≥0恒成立⇔f(x)在区间D上的图象在x轴上方或x轴上；f(x)≤0⇔f(x)在区间D上的图象在x轴下方或x轴上．(3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原理是：f(x)≥a在闭区间D上恒成立⇔f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在闭区间D上恒成立⇔f(x)max≤a(x∈D).(4)分别参数法：将恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m为参数)中的参数m单独分别出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参数与变量能分别和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当m为参数时，g(m)＞f(x)⇔g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)⇔g(m)＜f(x)min.易错剖析易错点1不能正确应用不等式性质【突破点】在运用不等式的基本性质进行推理论证时确定要留意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，确定要留意使其能够这样做的条件．易错点2忽视基本不等式应用的条件【突破点】(1)利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)以及变式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)等求函数的最值时，务必留意a，b为正数(或a，b非负)，特别要留意等号成立的条件．(2)对形如y＝ax＋eq\f(b,x)(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，确定要留意ax，eq\f(b,x)同号．易错点3解不等式时转化不等价【突破点】如求函数f(x)·eq\r(g（x）)≥0可转化为f(x)·eq\r(g（x）)>0或f(x)·eq\r(g（x）)＝0，否则易出错．易错点4解含参数的不等式时分类探讨不当【突破点】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类探讨．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类探讨；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易错点5不等式恒成立问题处理不当【突破点】应留意恒成立与存在性问题的区分，如对随意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别留意两函数中的最大值与最小值的关系．易错点6找寻最优整数解的方法不当【突破点】线性规划问题的最优解一般在可行域的端点或边界处取得，而最优整数解的横纵坐标均为整数，所以最优整数解不确定在边界或端点处取得，一般先把端点或边界处的整点找出，然后代入验证．易错快攻易错快攻忽视基本不等式的应用条件[典例]函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．3B．2eq\r(2)C．eq\f(3＋2\r(2),2)D．eq\f(3－2\r(2),2)[尝试解题]纠错技巧应用基本不等式求最值时必需遵循“一正、二定、三相等”的依次．本题中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若接受两次基本不等式，有如下错解：eq\f(m,2)＋n＝1≥2eq\r(\f(mn,2))，所以eq\r(mn)≤eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,\r(mn))≥eq\r(2)，①又eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(\f(1,mn))，②所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(2).选B.此错解中，①式取等号的条件是eq\f(m,2)＝n，②式取等号的条件是eq\f(1,m)＝eq\f(1,n)即m＝n，两式的等号不行能同时取得，所以2eq\r(2)不是eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值．【方法点津】基本不等式加以引申，可得到如下结论：当a≥b>0时，a≥eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥b，当且仅当a＝b时等号成立．其中称eq\r(\f(a2＋b2,2))为平方平均数、称eq\f(a＋b,2)为算术平均数、称eq\r(ab)为几何平均数、称eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))为调和平均数，它们分别包含了两个正数的平方之和a2＋b2、两个正数之和a＋b、两个正数之积ab、两个正数的倒数之和eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，只要已知这四个代数式的其中一个为定值，就可以求解另外三式的最值，应用特别广泛，应加以重视．(三)函数、导数必记知识1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常见函数的值域①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))；③反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．提示(1)解决函数问题时要留意函数的定义域，要树立定义域优先原则．(2)解决分段函数问题时，要留意与解析式对应的自变量的取值范围．2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的随意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，假如对于定义域内的随意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．提示推断函数的奇偶性，要留意定义域必需关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必需留意使定义域不受影响．3．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；依据同增异减推断复合函数y＝f(g(x))的单调性．提示求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开．单调区间必需是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．5．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．6．利用导数探讨函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(留意：等号不恒成立)；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．提示已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0(<0)的解集为(a，b).7．利用导数探讨函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③推断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变更；若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为微小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．提示f′(x)＝0的解不确定是函数f(x)的极值点．确定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变更，若变更，则为极值点；若不变更，则不是极值点．必会结论1.函数周期性的常见结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)的周期为|a－b|.(4)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|.(5)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为2|a|.(6)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为4|a|.2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x)满意f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x)满意f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；(3)若函数y＝f(x)满意f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．3．三次函数的相关结论给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，则(1)当4(b2－3ac)>0时，f′(x)＝0有两个实数解，即f(x)有两个极值点；当4(b2－3ac)≤0时，f(x)无极值点．(2)若函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而4(b2－3ac)≥0.(3)若函数f(x)在R上单调递增，则a>0且4(b2－3ac)≤0.易错剖析易错点1函数的单调区间理解不精确【突破点】对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌运用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．易错点2推断函数的奇偶性时忽视定义域【突破点】一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，假如不具备这个条件，函数确定是非奇非偶函数．易错点3用判别式求函数值域，忽视判别式存在的前提【突破点】(1)确保二次项前的系数不等于零．(2)确认函数的定义域没有其他限制．(3)留意检验答案区间端点是否符合要求．易错点4函数零点定理运用不当【突破点】只有函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内才有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．易错点5不清晰导数与极值的关系【突破点】(1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必需有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．(2)已知极值点求参数要进行检验．易错点6混淆“切点”致误【突破点】留意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不确定是切点．易错点7导数与单调性的关系理解不精确【突破点】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于随意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否则简洁漏解．易错快攻易错快攻一函数零点定理运用不当[典例1]设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1（x≤0），,|log4x|（x>0），))若关于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为()A．(－2eq\r(3)－2，2eq\r(3)－2)B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(3)－2，\f(3,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(2eq\r(3)－2，＋∞)纠错技巧(1)F(g(x))＝0的根的个数问题的解题关键是正确转化所给条件，其转化思路为：先进行整体换元，将F(g(x))＝0转化为方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的个数问题，然后转化为t＝g(x)的根的个数问题，再转化为y＝t与y＝g(x)的图象的交点个数问题．(2)“以形助数”是探讨函数问题时常接受的策略，本题在作函数f(x)的图象时，要留意指数函数3x>0.(3)由关于t的一元二次方程的实根分布状况得到关于a的不等式组是求解本题的一个关键点，留意一元二次方程的实根分布问题一般须要从一元二次方程根的判别式，对应二次函数在区间端点所取值的正负，对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系三方面考虑．易错快攻二混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”[典例2][2024·山东临沂高三期末]已知函数f(x)＝ex－ax－cosx，g(x)＝f(x)－x，a∈R.(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的最大值；(2)当a取(1)中所求的最大值时，探讨g(x)在R上的零点个数，并证明g(x)>－eq\r(2).纠错技巧(1)已知函数的单调性求参数的取值范围问题的常用解法有两种：一种是子区间法，即利用集合思想求解；另一种是恒成立法，即若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0).若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0).(2)求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)<0，求函数f(x)的单调递增区间的方法是解不等式f′(x)＞0.解题时极易混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”，确定要弄清题意，勿因“＝”出错．(四)三角函数与平面对量必记知识1.诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限提示奇变偶不变，符号看象限“奇、偶”指的是eq\f(π,2)的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变更，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦).“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n·eq\f(π,2)±α(n∈Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．2．三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)对称中心：(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)提示求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要留意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．3．三角函数图象的变换由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法提示图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，依据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等．4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式).cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、帮助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)帮助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)确定．6．正、余弦定理及其变形(在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径)定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)提示在已知两边和其中一边的对角时，要留意检验解是否满意“大边对大角”，避开增解.7．平面对量数量积的坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))提示(1)要特别留意零向量带来的问题：0的模是0，方向随意，并不是没有方向；0与随意非零向量平行．(2)a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.必会结论1.降幂、升幂公式(1)降幂公式①sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；②cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；③sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.(2)升幂公式①1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；②1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；③1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2)；④1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).2．常见的帮助角结论(1)sinx±cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,4))).(2)cosx±sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∓\f(π,4))).(3)sinx±eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,3))).(4)cosx±eq\r(3)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∓\f(π,3))).(5)eq\r(3)sinx±cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,6))).(6)eq\r(3)cosx±sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∓\f(π,6))).易错剖析易错点1忽视零向量【突破点】零向量是向量中最特别的向量，规定零向量的长度为0，其方向是随意的，零向量与随意向量都共线．易错点2向量投影理解错误【突破点】把向量投影错以为只是正数．事实上，向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．易错点3不清晰向量夹角范围【突破点】数学试题中往往隐含着一些简洁被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题胜利的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不确定为钝角，要留意隐含的状况．易错点4忽视正、余弦函数的有界性【突破点】很多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时留意正、余弦函数的有界性．易错点5忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是留意挖掘隐含条件，依据三角函数值缩小角的范围．易错点6忽视解三角形中的微小环节问题【突破点】(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围．(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，留意不要忽视两角互补的状况．(3)利用正弦定理、余弦定理推断三角形形态时，切忌出现漏解状况．易错点7三角函数性质理解不透彻【突破点】(1)探讨奇偶性时，忽视定义域的要求．(2)探讨对称性时，忽视y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴有无穷条、对称中心有多数个．(3)探讨周期性时，错将y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期写成eq\f(2π,ω).易错点8图象变换方向或变换量把握不精确【突破点】图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移eq\f(|φ|,ω)(ω>0)个单位．另外留意依据φ的符号判定平移的方向．易错快攻易错快攻一忽视向量的夹角范围致误[典例1][2024·山东淄博高三期末]已知向量a、b满意|a|＝|b|＝2，且a－b在a上的投影的数量为2＋eq\r(3)，则〈a，b〉＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)[尝试解题]纠错技巧求解此类问题的关键是：依据向量的数量积定义，得到cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).求解时，要留意两向量夹角的取值范围为[0，π].易错快攻二函数图象平移的方向把握不准[典例2]已知函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的图象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度后，其图象关于y轴对称，则φ＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)[尝试解题]纠错技巧(1)函数y＝sinωx，ω>0的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\f(|φ|,ω)个单位长度(“左加右减”)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象．(2)解此类题时须要特别留意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧．(五)数列必记知识1.等差数列设Sn为等差数列{an}的前n项和，则(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．(4)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))是关于n的一次函数或常数函数，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列．(5)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（a2＋an－1）,2)＝eq\f(n（a3＋an－2）,2)＝….(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m(m∈N*)，公差为d，全部奇数项之和为S奇，全部偶数项之和为S偶，则全部项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(am＋1,am).(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，全部奇数项之和为S奇，全部偶数项之和为S偶，则全部项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(m,m－1).(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).2．等比数列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*).(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不确定成立(m，n，p，q∈N*).(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*).(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比数列(n≥2，且n∈N*).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则eq\f(S偶,S奇)＝q.(6){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{anbn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))成等比数列(λ≠0，n∈N*).(7)通项公式an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．(9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为eq\f(x,q)，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.提示（1）假如数列{an}成等差数列，那么数列{}（总有意义）必成等比数列．（2）假如数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}（a>1且a≠1）必成等差数列．（3）假如数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件．（4）假如两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数．（5）假如由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特别到一般”的方法进行探讨，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列．必会结论1.推断数列单调性的方法(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．(2)作商比较法：①当an>0时，则eq\f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是递增数列；0<eq\f(an＋1,an)<1⇔数列{an}是递减数列；eq\f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列．②当an<0时，则eq\f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是递减数列；0<eq\f(an＋1,an)<1⇔数列{an}是递增数列；eq\f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列．(3)结合相应函数的图象直观推断．2．数列中项的最值的求法(1)借用构造法求解：依据数列与函数之间的对应关系，构造函数f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函数最值的方法进行求解即可，但要留意自变量的取值必需是正整数．(2)利用数列的单调性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范围，从而确定数列单调性的变更，进而求出数列中项的最值．(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可转化为求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))若求数列{an}的最小项，则可转化为求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．3．求数列通项公式的常用方法(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）（n＝1），,\f(f（n）,f（n－1）)（n≥2）.))(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2).(5)已知eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an，用累乘法：an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2).(6)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠eq\f(q,1－p)，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝eq\f(q,p－1)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))就是以a1＋eq\f(q,p－1)为首项，p为公比的等比数列，先求出数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．(7)倒数法：若an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(mkb≠0，n≥2)，对an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)取倒数，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))，即eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m).令bn＝eq\f(1,an)，则{bn}可归纳为bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．4．数列求和的常用方法(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分组求和法：当干脆运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．(4)错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．(5)裂项相消法：假如数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有①eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；③eq\f(1,k2)<eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))(k≥2)，eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,（k＋1）k)<eq\f(1,k2)<eq\f(1,（k－1）k)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k≥2)；④eq\f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,n（n＋1）)－eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)].易错剖析易错点1数列中的最值错误【突破点】在关于正整数n的二次函数中取最值的要点：依据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．易错点2不清晰an与Sn的关系【突破点】已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn—Sn－1，需留意分n＝1和n≥2两种状况探讨．易错点3不清晰裂项和拆项的规律，导致多项或少项【突破点】“裂项法”的特点：①分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就须要转化；②剩余项一般是前后对称．常见形式有：eq\f(a,n（n＋1）)，eq\f(a,n2＋2n)，eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1)).易错点4忽视对等比数列中公比的分类探讨【突破点】在解决等比数列{an}的前n项和时，通常只想到Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，把q＝1的状况不自觉地解除在外，这是对前n项和公式理解不透所致．解等比数列的问题，确定要留意对公比的分类探讨．易错快攻易错快攻一忽视对n＝1的检验致错[典例1][2024·四川什邡中学模拟]数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．[尝试解题]纠错技巧数列{an}中，由Sn与an的等量关系式求an时，先利用a1＝S1求出首项a1，然后用n－1替换等量关系式中的n，得到一个新的等量关系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出当n≥2时an的表达式，最终对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则可以把数列{an}的通项合写，若不符合，则应当分n＝1与n≥2两段来写．而an－an－1＝d(n≥2)与an＋1－an＝d(n∈N*)等价，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)与eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)等价，不需验证n＝1的情形．易错快攻二忽视公比q的取值[典例2]已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[尝试解题]纠错技巧(1)等比数列{an}的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1），))特别留意q＝1时，Sn＝na1这一特别状况．(2)计算过程中，若出现方程qn＝t，要看qn中的n是奇数还是偶数，若n是奇数，则q＝eq\r(n,t)；若n是偶数，则t>0时，q＝±eq\r(n,t)，t<0时，无解．(六)立体几何必记知识1.空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆锥S侧＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圆台S侧＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S侧＝Ch(C为底面周长)S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)V＝S底h正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′(C为底面周长，h′为斜高)V＝eq\f(1,3)S底h正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.空间线面位置关系的证明方法(1)线线平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒c∥b.(2)线面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b⊂α,a⊄α))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊂β))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a⊄α))⇒a∥α.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))⇒α∥γ.(4)线线垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b.(5)线面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))⇒l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,a⊥α))⇒α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β.提示要留意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．必会结论1.三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．2．平行、垂直关系的转化示意图3．球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为eq\f(\r(6),12)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半径为eq\f(\r(6),4)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4)).易错剖析易错点1随意推广平面几何中的结论【突破点】平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不确定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．易错点2不清晰空间点、线、面的位置关系【突破点】解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个找寻反例作出否定的推断或逐个进行逻辑证明作出确定的推断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出推断，要留意定理应用精确、考虑问题全面细致．易错点3忽视三视图中的实、虚线【突破点】三视图是依据正投影原理进行绘制，严格依据“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不行见的轮廓线用虚线画出．易错点4表面积的计算不精确【突破点】在求表面积时还要留意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要细致区分．易错点5对折叠与绽开问题相识不清致误【突破点】留意折叠或绽开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要留意哪些变了，哪些没变，还要留意位置关系的变更．易错快攻易错快攻忽视三视图中实线与虚线的区分[典例]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(11π,2)C．eq\f(17π,3)D．eq\f(35π,6)[尝试解题]纠错技巧本题中，由三视图还原空间几何体时简洁出错．首先，要熟识简洁几何体的三种视图，要特别留意视图中虚线与实线的区分，抓住这一点是识图、画图的关键；其次，要擅长由三视图想象出简洁几何体的形态．(七)解析几何必记知识1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).(3)两点式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0).2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提示当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽视．3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)点到直线的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0).(3)两平行线间的距离d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2).提示应用两平行线间距离公式时，留意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数推断法与几何推断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数推断法与几何推断法．6．椭圆的标准方程及几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2提示椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小确定了椭圆的形态，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，当e越趋近于1时，eq\f(b,a)越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，eq\f(b,a)越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆，当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2(a>0).7．双曲线的标准方程及几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b＞0)图形几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系a2＝c2－b2提示(1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．(2)满意||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不确定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0<2a<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在．8．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝1必会结论1.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋Dx0＋Ey0＋F)；(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2－r2).2．椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c).3．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即y＝±eq\f(b,a)x.(2)若渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x(a>0，b>0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.(λ≠0)(3)若所求双曲线与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上).4．双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)P是双曲线上不同于实轴两端点A、B的随意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则kPA·kPB＝eq\