新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业26球的表面积和体积新人教A版必修第二册

课时分层作业(二十六)球的表面积和体积一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3 B．4∶9C．2∶3 D．8∶272．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π，则原来实心球的表面积为()A．4π B．8πC．12π D．16π3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．316 B．C．38 D．4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈316V9．假如球的半径为13，依据“开立圆术”A．π8 B．C．481 D．5．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2二、填空题6．一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上，则正方体的表面积为________7．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm．8．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为________．三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A．4π3C．3π211．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为()A．153π B．160πC．169π D．360π12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是(A．963 B．163C．243 D．48313．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．14．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．15．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积．课时分层作业(二十六)1．B[设两个球的半径分别为r，R，则43πr3∶43πR3＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2．B[设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]3．A[设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r．易知R2＝14R2＋r2，∴34R2＝r则S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝34πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR24．D[由题意，得r＝13，d＝2所以23≈316V9，解得5．CD[依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×5·R＝5πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝13πR2·2R＝23πR3，V球＝43πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶23πR3∶43πR3＝3∶1∶6．8[设球的半径为R，正方体的棱长为a，则43πR3＝43π，故R＝1，由3a＝2R＝2，所以a＝23，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×7．4[设铁球的半径为rcm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－43πr3×3，解得r＝8．1[设两球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得4π3R3+4π39．解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝10．A[由题意知，此球是正方体的内切球，依据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝411．C[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝1232+42+122＝132，所以球O12．D[由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝43πr3＝323π，得r＝2．由S柱底＝12a×r×3＝34a2，得a＝23r＝43，所以V柱＝S柱底·2r13．100π[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．]14．解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°．又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝OO'OC所以∠O′CO＝30°，所以rR＝cos30°＝3即R＝23r，又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝103．所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(103)2＝1200π．球的体积为V＝43πR3＝43π×(103)3＝400015．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．设圆O的半径为R，则有43πR3＝972π∴R＝9，∴SE＝2R＝18．∵SD＝16，∴ED＝2．连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝122．∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD