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课时分层作业(二十六)球的表面积和体积一、选择题1.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为()A.2∶3 B.4∶9C.2∶3 D.8∶272.若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π,则原来实心球的表面积为()A.4π B.8πC.12π D.16π3.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.316 B.C.38 D.4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈316V9.假如球的半径为13,依据“开立圆术”A.π8 B.C.481 D.5.(多选)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2二、填空题6.一个正方体的八个顶点都在体积为43π的球面上,则正方体的表面积为________7.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好沉没最上面的铁球(如图所示),则铁球的半径是________cm.8.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为________.三、解答题9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.10.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为()A.4π3C.3π211.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为()A.153π B.160πC.169π D.360π12.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为323π,那么这个正三棱柱的体积是(A.963 B.163C.243 D.48313.圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为________.14.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.15.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积.课时分层作业(二十六)1.B[设两个球的半径分别为r,R,则43πr3∶43πR3=r3∶R3=8∶27,所以r∶R=2∶3,所以S1∶S2=r2.B[设实心球的半径为R.由题意可得,2πR2=4π,∴原来实心球的表面积为4πR2=8π.故选B.]3.A[设球的半径为R,所得的截面为圆M,圆M的半径为r.易知R2=14R2+r2,∴34R2=r则S球=4πR2,截面圆M的面积为πr2=34πR2,则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR24.D[由题意,得r=13,d=2所以23≈316V9,解得5.CD[依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,所以A错误;圆锥的侧面积为πR×5·R=5πR2,所以B错误;球面面积为4πR2,因为圆柱的侧面积为4πR2,所以C正确;因为V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43πR3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶6.8[设球的半径为R,正方体的棱长为a,则43πR3=43π,故R=1,由3a=2R=2,所以a=23,所以正方体的表面积为S=6a2=6×7.4[设铁球的半径为rcm,由题意得πr2×8=πr2×6r-43πr3×3,解得r=8.1[设两球的半径分别为R,r(R>r),则由题意得4π3R3+4π39.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=10.A[由题意知,此球是正方体的内切球,依据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是43×π×13=411.C[由于直三棱柱的底面是直角三角形,所以可以把此三棱柱补成长方体,其体对角线就是外接球的直径,所以球O的半径R=1232+42+122=132,所以球O12.D[由题意可知正三棱柱的高等于球的直径,从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形,正三角形与棱柱底面三角形全等,设三角形边长为a,球半径为r,由V球=43πr3=323π,得r=2.由S柱底=12a×r×3=34a2,得a=23r=43,所以V柱=S柱底·2r13.100π[如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为100π.]14.解:因为AB∶BC∶AC=18∶24∶30=3∶4∶5,所以△ABC是直角三角形,∠B=90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心,也是Rt△ABC的外接圆的圆心,所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示),设O′C=r,OC=R,则球半径为R,截面圆半径为r,在Rt△O′CO中,由题设知sin∠O′CO=OO'OC所以∠O′CO=30°,所以rR=cos30°=3即R=23r,又2r=AC=30⇒r=15,代入(*)得R=103.所以球的表面积为S=4πR2=4π×(103)2=1200π.球的体积为V=43πR3=43π×(103)3=400015.解:(1)如图所示,作出轴截面,则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R,则有43πR3=972π∴R=9,∴SE=2R=18.∵SD=16,∴ED=2.连接AE,又SE是圆O的直径,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,SA=122.∵AB⊥SD,D为AB中点,∴AD2=SD
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