新教材2024版高中数学第七章统计案例1.1直线拟合学生用书北师大版选择性必修第一册

1一元线性回来1．1直线拟合1．2一元线性回来方程[教材要点]要点一直线拟合1．散点图每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图．2．曲线拟合从散点图上可以看出，假如变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．3．直线拟合若在两个变量X和Y的散点图中，全部点看上去都在一条________旁边波动，此时就可以用一条________来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．要点二一元线性回来方程1．最小二乘法对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．由直线方程Y＝a＋bX计算出来的值a＋bxi(x＝1，2，…n)，与实际观测值yi的差异尽可能小．换句话说，a，b的取值使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a2＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．这个方法称为最小二乘法．2．线性回来方程直线方程Y＝________称作Y关于X的线性回来方程，相应的直线称作Y关于X的回来直线，a，b是这个线性回来方程的系数．其中a[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)利用散点图可以直观推断两个变量的关系是否可以用线性表示．()(2)线性回来方程适用于一切样本和总体．()(3)线性回来方程一般都有局限性．()(4)线性回来方程确定过样本中的某一点．()2．假如记录了x，y的几组数据分别为(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7)，那么y关于x的线性回来直线必过点()A．(2，2)B．(1.5，2)C．(1，2)D．(1.5，4)3．随机抽样中测得四个样本点为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的线性回来方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－14．已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数x＝4，y＝5，线性回来方程y＝bx＋a中的系数b，a满意b＋a＝4，则线性回来方程为________．题型一一元线性回来方程的特性例1已知x，y的取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3由所给数据在散点图上的位置分析可知y与x线性相关，且线性回来方程为y＝0.95x＋a，则a＝()A．1.45B．1.55C．1.65D．1.80方法归纳(1)线性回来直线过点(x，y)，通过把(x，y)代入线性回来方程可求出线性回来方程的系数(2)y＝bx＋a中，y的实际意义是x每增加一个单位，y的平均变更量，a的实际意义是不受x影响的部分．另外，当x＝m时应求得y＝bm＋a，即x为m时的y的平均值．跟踪训练1某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满意线性回来方程y＝77.36－1.82x，则以下说法中正确的是()A．产量每增加1千件，单位成本约下降1.82元B．产量每削减1千件，单位成本约下降1.82元C．当产量为1千件时，单位成本为75.54元D．当产量为2千件时，单位成本为73.72元题型二求线性回来方程例2某种产品的广告费用支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回来方程；(3)试预料广告费用支出为10百万元时，销售额是多少．(参考数据：i=15xi状元随笔留意线性回来方程中的一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的表示习惯不同．方法归纳求线性回来方程的步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来推断两个变量是否具有近似的线性关系．(2)求回来系数：若存在近似的线性关系，则求回来系数．(3)写方程：写出线性回来方程，并利用线性回来方程进行预料说明．跟踪训练2某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利润y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间有如下一组数据：x3456789y66697381899091已知i=17xi2＝280，i=1(1)求x，(2)求纯利润y与每天销售件数x的线性回来方程；(3)估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元？题型三线性回来分析例3某项探讨发觉某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系．现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表：时间车流量x(单位：万辆)PM10浓度y(单位：μg/m3)星期一25.435.7星期二24.634.5星期三23.535.2星期四24.433.6星期五25.836.1星期六19.730.9星期日20.329.4(1)在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图．(2)依据表中的统计数据，求出线性回来方程y＝bx＋a(精确到0.01)．(3)为净化空气，该地确定在工作日(星期一至星期五)限号．假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日车流量的45.试预料起先限号第一周星期三的PM参考数据：x＝23.4，y＝33.6，i=17(方法归纳线性回来分析的留意事项(1)求解线性回来方程时，须要进行困难的计算，接受列表法会使计算更有条理．首先把原数据表格右边增加xi2，xiyi，下边增加合计、平均等栏目．将须要计算的量列在表格中，再依据公式求解线性回来方程即可．假如题目给出有关数据，要留意依据数据选择(2)利用线性回来方程预料时要留意所得的值为估计值，不是精确值．跟踪训练3某公司为了预料下月产品销售状况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：月份代码t1234567销售量y(万件)y1y2y3y4y5y6y7但其中数据污损不清，经查证i=17yi＝9.32，i=1(1)求y关于t的线性回来方程(系数精确到0.01)；(2)公司经营期间的广告宣扬费xi＝ti(单位：万元)(i＝1，2，…，7)，每件产品的销售价为10元，预料第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．参考公式及数据：2≈1.414，7≈2.646.易错辨析缺失基本解题步骤致错例4在一次抽样检查中，抽得5个样本点，数据如下表：x0.250.5124y1612521试建立y关于x的回来方程．解析：作出散点图，如图(1)所示，由散点图可以看出，图象近似反比例函数在第一象限的部分，因此令u＝1xu4210.50.25y1612521作出散点图，如图(2)所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的旁边，因此可以用线性回来方程拟合．计算得u＝1.55，y＝7.2，i=15ui则b＝i=15uiyi-5u从而得到y关于u的回来方程为y＝4.13u＋0.8，则y关于x的回来方程为y＝4.13x【易错警示】易错缘由纠错心得解决此题易出现如下错误：依据数据计算得x＝1.55，y＝7.2，i=15xiyi＝23，i=15xi2＝21.3125，代入公式计算得b≈－3.53，a事实上，由散点图可知样本点并没有呈线状分布，两个变量不具有很强的线性相关关系．错解是由于没有依据建立回来模型的基本步骤解题，忽视了画散点图，没有视察数据之间的关系造成错误．(1)解决这类问题必需严格依据建立回来模型的基本步骤，不能主观臆断，必需按部就班，依照步骤解题．(2)一些非线性回来问题可通过中间量变换，转化为线性回来问题求解．[课堂特殊钟]1．为了规定工时定额，须要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得线性回来方程为y＝0.67x＋54.9.若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝()A．75B．155.4C．375D．466.22．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x(百件)与单位成本y(元)满意回来直线方程y＝100.36－14.2x，则以下说法正确的是()A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元B．产量每削减100件，单位成本约上升100.36元C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元D．产量每削减100件，单位成本约下降14.2元3．某公司某件产品的定价x与销量y之间的数据统计表如下．依据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回来直线方程为：y＝6.5x＋17.5，则表格中n的值应为()x24568y3040n5070A.45B．50C．55D．604．某设备的运用年限x与所支出的修理费用y的统计数据如下表：运用年限x(单位：年)23456修理费用y(单位：万元)1.54.55.56.57.0依据上表可得回来直线方程为y＝1.3x＋a，据此模型预料，若运用年限为14年，估计修理费约为________万元．5．某班5名学生的数学和物理成果如下表：学生学科ABCDE数学成果(x)8876736663物理成果(y)7865716461(1)作出散点图；(2)求物理成果y对数学成果x的线性回来方程；(3)一名学生的数学成果是96，试预料他的物理成果．§1一元线性回来1．1直线拟合1．2一元线性回来方程新知初探·课前预习要点一3．直线直线要点二1．a＋bX[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：因为x＝0+1+2+34＝1.5，y＝1+3+5+7答案：D3．解析：x＝1+2+3+44＝52，y＝2+3+4+54答案：A4．解析：线性回来方程y＝bx＋a过样本中心点(4，5)，所以4b＋a＝5；又a＋b＝4，解方程组4b＋5a=5，a+b所以线性回来方程为：y＝13x＋11答案：y＝13x＋题型探究·课堂解透例1解析：由题意，得x＝0+1+4+5+6+86＝4，y＝1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.36＝5.25.∵y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，∴5.25＝0.95×4＋a，解得答案：A跟踪训练1解析：在线性回来方程y＝bx＋a中，b的实际意义是x每增加一个单位，y的平均变更量，a的实际意义是不受x影响的部分．∵b＝－1.82，∴产量每增加1千件，单位成本约下降1.82元．故选A.答案：A例2解析：(1)散点图如图所示．(2)x＝255＝5，y＝250∴b＝i=15xia＝y－bx所以所求的线性回来方程为y＝6.5x＋17.5.(3)依据(2)中求得的线性回来方程，当x＝10时，y＝6.5×10＋17.5＝82.5，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．跟踪训练2解析：(1)x＝17y＝17(2)设线性回来方程为y＝bx＋a，则b＝i=17xia＝y－bx∴所求线性回来方程为y＝4.75x＋51.36.(3)当x＝10时，y∧＝98.86，估计每天销售10件这种服装时，可获纯利润为98.86元．例3解析：(1)如图所示．(2)b＝i=17xi-xyi-y所以y关于x的线性回来方程为y＝0.97x＋10.90.(3)起先限号第一周星期三的车流量预料为23.5×45PM10浓度预料值y＝0.97×18.8＋10.90≈29.1(μg/m3)．跟踪训练3解析：(1)由题中和附注中的参考数据，得t＝4，i=17(tii=17(t又y＝9.327∴b＝i=17tia＝y－bt≈所以y关于t的线性回来方程为y＝0.10t＋0.92.(2)当t＝8时，代入线性回来方程，得y＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，所以第8个月的毛利润为z＝10×1.72－8＝17.2－2×1.414＝14.372(万元)．因为14.372<15，所以预料第8个月的毛利润不能突破15万元．[课堂特殊钟]1．解析：由题意，得x＝1505＝30，代入线性回来方程，得y＝0.67×30＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5×y答案：C2．解析：b＝－14.2<0表示产量每增加100件，单位成本约下降14.2元，故选A.答案：A3．解析：由题得样本中心点5，190+n5，所以190+n答案：D4．解析：x＝2+3+4+5+65＝4，y＝1.5+4.5+5.5+6.5+7.0则中心点为(4，5)，