北京市延庆区第二区2025届九上数学期末统考模拟试题含解析

北京市延庆区第二区2025届九上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝92．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4） B．（2，6） C．（3，6） D．（3，4）3．已知反比例函数，则下列结论正确的是（）A．点(1，2)在它的图象上B．其图象分别位于第一、三象限C．随的增大而减小D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上4．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（）A． B． C． D．5．如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA′B′的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为（）A．125° B．70° C．55° D．15°6．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，则的余弦值是（）A． B． C． D．7．经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（）A． B．C． D．8．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每亩产量的两组数据，其方差分别为，，则（）A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定9．平面直角坐标系内，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，将线段AB扩大为原来的2倍后得到对应线段，则端点的坐标为（）A．（4，4） B．（4，4）或（-4，-4） C．（6，2） D．（6，2）或（-6，-2）10．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（）A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为，则y与x之间的关系式是_____．12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________．13．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．14．若一个圆锥的侧面积是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是______．15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．16．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转______度才能与它本身重合17．中山市田心森林公园位于五桂山主峰脚下，占地3400多亩，约合2289000平方米，用科学记数法表示2289000为__________．18．如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．20．（6分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观景台之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）21．（6分）如图，抛物线（，b是常数，且≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为_______；③直线BD的解析式为______；（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交轴于点N．当点M的坐标为_______时，四边形MNAC是平行四边形．22．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．23．（8分）某便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能够售出240件．经过调查发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售20件;如果每件降价1元，那么每天能够多售出40件．（1）如果降价，那么每件要降价多少元才能使销售盈利达到1960元?（2）如果涨价，那么每件要涨价多少元オ能使销售盈利达到1980元?24．（8分）如图，反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1，a)，B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°．(1)求k的值及点B的坐标；(2)求的值．25．（10分）如图①，在中，，，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．（2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．【详解】解：移项得：x2﹣4x＝5，配方得：，（x﹣2）2＝9，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解此题的关键．2、C【解析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．3、D【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．【详解】解：∵∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误；∵点在函数的图象上，∴∵点横纵坐标的乘积∴则点也在函数的图象上，选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键．4、A【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.【详解】四边形ABCD为平行四边形故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.5、B【分析】据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等可得，即可得到旋转角的度数．【详解】，，又，中，，旋转角的度数为．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6、D【分析】由题意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义即可求出答案．【详解】解：如下图，根据题意可知，AD=2，BD=3，由勾股定理可得：，∴的余弦值是：．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是利用网格求角的三角函数值，解此题的关键是利用勾股定理求出AB的长．7、A【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是，原有污水利用率为1，利用原有污水利用率（1+平均每年污水利用率的增长率=污水利用率，列方程即可.【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是，由题意得出：故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程.8、B【分析】由，，可得到＜，根据方差的意义得到乙的波动小，比较稳定．【详解】∵，，

∴＜，

∴乙比甲的产量稳定．

故选：B．【点睛】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．9、B【分析】根据位似图形的性质只要点的横、纵坐标分别乘以2或﹣2即得答案．【详解】解：∵原点O为位似中心，将线段AB扩大为原来的2倍后得到对应线段，且A（2，2）、B（3，1），∴点的坐标为（4，4）或（﹣4，﹣4）．故选：B．【点睛】本题考查了位似图形的性质，属于基础题型，正确分类、掌握求解的方法是解题关键．10、C【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．【详解】解:∵AB=AC=6，∠B=75°∴∠B=∠C=75°∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，对于A选项，如下图所示∵，但∠A≠∠E∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；对于B选项，如下图所示∵DE=DF=EF∴△DEF是等边三角形∴∠E=60°∴，但∠A≠∠E∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；对于C选项，如下图所示∵，∠A=∠E=30°∴∽△EFD，故本选项符合题意；对于D选项，如下图所示∵，但∠A≠∠D∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x﹣2y＝1．【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为，列出＝，整理即可得．【详解】根据题意得＝，整理，得：x﹣2y＝1，故答案为：x﹣2y＝1．【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键．12、0【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可.【详解】解：原方程可变形为，由题意可得所以故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.13、【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.【详解】解：黑球个数为：，红球个数：.故答案为6【点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.14、1．【解析】试题解析：设圆锥的母线长为R，解得：R=6，∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π=1．故答案为1.15、【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝lr是解题的关键．16、120【分析】根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°．【详解】解：等边△ABC绕着它的中心，至少旋转120度能与其本身重合．【点睛】本题考查旋转对称图形及等边三角形的性质．17、【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【详解】解：将2289000用科学记数法表示为：．故答案为：．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．18、1【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．【详解】解：设PN＝a，PM＝b，∵P点在第二象限，∴P（﹣a，b），代入y＝中，得k＝﹣ab＝﹣1，∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，即S矩形PMON=三、解答题(共66分)19、证明见解析.【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而可利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20、（1）A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）观测站B到射线AP的最短距离为（）km．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；

（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝BP＝5km．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝5km，PA＝1．∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，则∠BAP＝30°，∵AB＝（5+5），∴BF＝AB＝（）km．答：观测站B到射线AP的最短距离为（）km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．21、（1）①；②(1，4)；③；（2）当时，S最大值=；（3）(2，3)【分析】（1）①把点A、点B的坐标代入，求出，b即可；②根据顶点坐标公式求解；③设直线BD的解析式为，将点B、点D的坐标代入即可；（2）求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQOC的面积s与m的关系式，可求得面积的最大值；（3）要使四边形MNAC是平行四边形只要即可，所以点M与点C的纵坐标相同，由此可求得点M坐标.【详解】解：（1）①把A（－1，0），B（3，0）代入，得解得∴②当时，所以顶点坐标为（1，4）③设直线BD的解析式为，将点B（3，0）、点D（1，4）的坐标代入得，解得所以直线BD的解析式为（2）∵点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为．当时，∴C（0，3）．由题意可知：OC=3，OQ=m，PQ=．∴s===.∵－1＜0，1＜＜3，∴当时，s最大值=如图，MN∥AC，要使四边形MNAC是平行四边形只要即可.设点M的坐标为，由可知点解得或0（不合题意，舍去）当点M的坐标为（2，3）时，四边形MNAC是平行四边形．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键.22、（1）；（2）1．【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【详解】（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=米，BE=CE•tanβ=×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=1（米）答：乙建筑物的高度DC为1m．23、（1）每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元；（2）每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．【分析】（1）设每件要降价x元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；（2）设每件要涨价y元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于y的方程，解方程即可求出结果．【详解】解：（1）设每件要降价x元，根据题意，得，解得：，答：每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元．（2）每件要涨价y元，根据题意，得，解得：，答：每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．24、（1）k=2，B（-1，-2）；（2）2【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定，再把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为，然后解方程组得点坐标；（2）作于，如图，利用等角的余角相等得到，然后在中利用正切的定义求出的值，即=的值．【详解】解：（1）把代入得，则，把代入得，反比例函数解析式为，解方程组得或，点坐标为；（2）作于，如图，∠ABC=90°，，，，，在中，，即，∵∠ABC=90°，∴=.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．25、（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值．【解析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明，，推出即可．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明即可解决问题．（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值．【详解】（1）①如图②中，∵，，∴，②结论：．理由：∵，，∴，∴，∴，∵AE垂直平分线段BC，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为50，．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴，∴，∵，∴．（3）如图④中