空间向量运算的坐标表示课件 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2空间向量运算的坐标表示人教A版2019高二数学（选修一）第一章空间向量与立体几何目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标1.掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算；2.会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直；3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式,并能解决简单的立体几何问题；4.在研究空间向量运算的坐标表示及其应用的过程中，体会类比、转化与化归的数学思想，提升数学运算、逻辑推理等数学素养。情景导入

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.

这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？对应坐标相加对应坐标乘积的和对应坐标相减每个坐标乘λ一、空间向量的坐标运算新知探究思考空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？答案空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.类似地，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？平面向量平行的坐标表示空间向量平行的坐标表示二、空间向量的平行、垂直及模、夹角新知探究问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？平面向量垂直的坐标表示空间向量垂直的坐标表示问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？平面向量长度、夹角的坐标表示空间向量长度、夹角的坐标表示××√√辩一辩1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=

,3m-n=

,(2m)·(-3n)=

.

(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.42.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=

,若a⊥b,则λ=

.

.

练一练练一练【探究二】你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？这就是空间两点间的距离公式.三、空间两点间的距离公式新知探究【例1】【分析】问题2：如何建立空间直角坐标系呢？证明：【例1】【例2】（1）【分析】利用条件建立适当的空间直角坐标系写出点A、M的坐标利用空间两点间的距离公式求出AM的长.解：【例2】【例2】（2）【分析】问题3问题2不一定，它们的取值范围不同解：【例2】【例2】（3）【分析】证明：【例2】问题3

你能从以上两题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标运算求解问题的基本思路吗？基本思路：（1）建立适当的空间直角坐标系，求出有关点的坐标和相关向量的坐标（2）进行向量及其坐标的运算求解问题（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4)＝14，又a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.题型1空间向量的坐标运算典例剖析关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．归纳总结练一练题型2利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题典例剖析归纳总结2．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．练一练典例剖析类型2向量法求距离

如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．(1)当PB＝2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．典例剖析1．向量夹角的计算步骤(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．2．求空间两点间的距离的关键及步骤(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．归纳总结(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．一般按如下的步骤：归纳总结建系写点求值根据条件建立适当的空间直角坐标系根据坐标系写出相关点的坐标代入空间两点的距离公式求值3．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．练一练随堂练随堂练随堂练课本练习OABCxyzMNOABCxyzMNABC(第5题)DA1B1C1D1Mzyx习题1.3“关于谁，谁不变，其余的相反”OABCxyz(第3题)HIJEFGABCDA1B1C1D1MNxyzABCDA1B1C1D1MNxyz易错警示由向量的夹角求参数的取值范围错因分析错解分析：错误的根本原因是忽视了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情况．实际上a与b夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°.正解：选B．因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)，错因分析错因分析防范措施：1．明确两个充要条件(1)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且〈a，b〉≠0°.(2)向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且〈a，b〉≠180°.2．注意向量共线情况的计算先利用a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出参数，再根据“λ>0，a与b同向，λ<0，a与b反向”确定满足题意的参数的值.错因分析A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)分层练习-基础D2.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为(

)分层练习-基础D3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(

)D分层练习-基础4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为(

)C分层练习-基础5．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是 (

)A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)【答案】D【解析】若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.分层练习-基础6．已知点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b等于 (

)A．5 B．1C．－5 D．－1【答案】B分层练习-基础分层练习-基础8．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．【答案】1或－3分层练习-基础分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固3.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.正方体ABCD-A'B'C'D