2024-2025学年新教材高中数学第2周检测高一30%+第一章70%新人教A版选择性必修第一册

第2周检测(高一30%+第一章70%)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|y=1-x},N={x|-1<x<2},则M∩N=(A.(-1,1) B.(-1,1] C.(1,2) D.[1,2)2.设z=-1+3i2+i,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知a=1.20.2,b=log0.21.2,c=0.81.2,则()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b4.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是棱OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量A.OGB.OGC.OGD.OG5.设x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,则|a+b|=()A.22 B.23 C.4 D.36.向量a=(1,3,1),b=(3,m,3),已知a∥b,则m的值是()A.1 B.3 C.6 D.97.已知向量a=(23,0,2),向量b=12,0,32,则向量a在向量b上的投影向量为()A.(3,0,3) B.(-3,0,1) C.(1,0,3) D.14,0,348.定义ab=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则ab的取值范围是()A.[0,6] B.[6,12]C.[-1,5] D.[0,12]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)=sin2x-π3,则下列结论正确的是()A.直线x=7π6是f(B.点2π3,0是f(x)图象的对称中心C.f(x)在区间π2,2D.f(x)的图象向右平移7π12个单位长度得y=cos210.设{a,b,c}是空间的一个基底,则()A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥cB.a,b,c两两共面,但a,b,c不行能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.a+b,b+c,c+a确定能构成空间的一个基底11.下列说法正确的是()A.若A,B,C,D是空间随意四点,则有AB+BCB.在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3)C.若对空间中随意一点O,有OP=14OA+14OB+D.随意空间向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.棱长为a的正四面体中,AB·BC+13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是棱AB,CC1的中点,则点D1到直线FG的距离为.

14.全部棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若M为A1C1与B1D1的交点,∠BAD=60°,∠DAA1=∠BAA1=30°,则|BM|的值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin(A+C)=2asinC,且a=b.(1)求sinB;(2)若△ABC的面积为15,求△ABC的周长.16.(15分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2AB=2BC=2,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离;(2)求直线FC1到直线AE的距离;(3)求点A1到平面AB1E的距离.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形,BC∥AD,AB⊥AD,E为侧棱PA上一点,且AE=2PE,AP=3,AB=BC=2,AD=4.(1)证明:PC∥平面BDE;(2)求平面PCD与平面BDE夹角的余弦值.18.(17分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,CD=CC1=1,设CD=a,CB=b,CC1=(1)用a,b,c表示A1C并求出(2)求异面直线A1C与DA所成角的余弦值.19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1.点E为棱PC的中点,点F为棱AD的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BD与平面FBE所成角的正弦值.

参考答案第2周检测(高一30%+第一章70%)1.B由y=1-x得1-x≥0,解得x≤1,即M={x|x≤1}.而N={x|-1<x<2},所以M∩N=(-1,1].2.D复数z=-1+3i所以z的共轭复数z=所以在复平面内z的共轭复数对应的点位于第四象限.故选D.3.D因为a=1.20.2>1,b=log0.21.2<0,0<c=0.81.2<1,所以a>c>b.故选D.4.C∵OG=OM+MG=OM+∴OG=165.D因为a⊥c,所以3x-6+3=0,解得x=1.则a+b=(2,-1,2),故|a+b|=9=3.故选D.6.D因为a∥b,则b=λa,所以3=λ,m=3λ7.A向量a在向量b上的投影向量为|a|cos<a,b>b|b|=a·b|b|2·b=3+31·8.B由题可得|a|=12+(-2)2+22=3,|则ab=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cosθ=9-3cosθ.又θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],所以ab∈[6,12].故选B.9.BCD因为f7π6=sin2×7π6-π3=所以直线x=7π6不是函数f(因为f2π3=sin2×2π3-π3=所以点2π3,0是函数f(x)图象的对称中心,故B正确;当x∈π2,2π3时,2x-π3∈2π3,π⊆π所以f(x)在区间π2,2f(x)的图象向右平移7π12个单位长度得y=sin2x-7π12-π3=sin2x-3π2=cos2x的图象,故D正确.故选BCD10.BCD由{a,b,c}是空间一个基底知,对A选项,若a⊥b,b⊥c,向量a,c夹角不愿定是π2对D选项,由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面.假设a+b,b+c,c+a共面,设a+b=x(b+c)+(1-x)(c+a),化简得xa=(x-1)b+c,即c=xa+(1-x)b,所以a,b,c共面,这与已知冲突,所以a+b,b+c,c+a不共面,可以作为基底,故D选项正确.故选BCD.11.ABCA,B,C,D是空间随意四点,则AB+BC+由题可知,点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故B正确;因为OP=14OA+14OB+12OC(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,二者不愿定相等,故D错误.故选ABC.12.-a22因为正四面体的各个面是正三角形,且AB与BC的夹角为由题意,原式=AB·BC+=AB=a·acos2π3+a·acosπ3-a·=-12a2+12a2-12a2=-113.423以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),所以FD1=(-1,-1,2),FG=所以点D1到直线FG的距离为d=|F14.52因为BM=BB所以BM2=-12AB=1=14×1+14×1+1-12×1×1×cos60°-1×1×cos30°+1×1×cos30°所以|BM|=5215.解(1)∵bsin(A+C)=2asinC,则bsinB=2asinC,由正弦定理可得b2=2ac.∵a=b,则b=2c,即a=b=2c,∴cosB=a2∵B∈(0,π),故sinB=1-(2)∵△ABC的面积为S=12acsinB=12×2c×c×154∴a=b=4,故△ABC的周长为a+b+c=10.16.解以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),B(1,1,0),E(0,0,1),A1(1,0,2),C1(0,1,2),B1(1,1,2),F(1,1,1),B1E=(-1,-1,-1),A1B1=(0,1,0),FC1=(-1,0,1),AE=(1)设点A1到直线B1E的距离为d1,∴d1=|A即点A1到直线B1E的距离为63(2)∵FC1=(-1,0,1),AE=(-1,0,1),故∵EF=(1,1,0),设直线FC1到直线AE的距离为d2,则d2即为F到直线AE的距离,∴d2=|EF即直线FC1到直线AE的距离为62(3)设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),由n令x=1,则y=-2,z=1,所以n=(1,-2,1).设点A1到平面AB1E的距离为d3,∴d3=|A即点A1到平面AB1E的距离为6317.(1)证明连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.∵BC∥AD,则OCOA由题意可知PEAE=12∵OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,∴PC∥平面BDE.(2)解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),E(0,0,2),∴PD=(0,4,-3),CD=(-2,2,0),BD=(-2,4,0),DE=(0,-4,2),设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则n令y=3,则x=3,z=4,则n=(3,3,4).设平面BDE的法向量m=(a,b,c),则m令b=1,则a=2,c=2,则m=(2,1,2).则cos<n,m>=|n∴平面PCD与平面BDE的夹角的余弦值为34618.解(1)因为CA1=CD+DA+AA1=a+b+c,所以|A1C=|=1+1+1+2=6.(2)由(1)可知,A1C=-(a+b+c),DA=则|cos<A1C=|-=|-故异面直线A1C与DA所成角的余弦值为6319.(1)证明取棱DC中点H,连接EH,BH.∵AD⊥AB,AB∥DC,∴AD⊥DC.∵PA⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD,∴PA⊥DC.又PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD,∴DC⊥PD.在△PDC中,点E,H分别为棱PC,DC的中点,∴PD∥EH.又DC⊥PD,∴DC⊥EH.∵H为棱DC中点,∴DH=12DC=1∵AB=1,AB∥DC,∴四边形ABHD为平行四边形,故AD∥BH.∵AD⊥DC,∴BH⊥DC.∵BH∩EH=H,BH⊂平面BEH,EH⊂平面BE