10.3.1频率的稳定性高一数学下学期人教A版2019

10.3.1频率的稳定性复习引入频数频率1.频数和频率的概念2.抛掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？设“正面朝上是偶数”为事件A，则P(A)=由于骰子质地不均匀，所以每个基本事件发生不是等可能的，那么这个事件的概率就无法用古典概型公式进行计算.3.抛掷一枚质地不均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大,在重复试验中，相应的频数一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频数一般也越小．探究：频率的稳定性对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率．但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者等可能不容易判断．例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法．那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？概率的计算：把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，思考１：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，你发现了什么规律?因为A={(1,0)，(0,1)}，所以频率的计算：下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系．第一步．每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；第二步．每四位同学为一组，比较试验结果；第三步．各组统计事件A发生的次数，计算事件发生的频率，将结果填入表中．小组序号试验总次数事件A发生的次数事件A发生的频率1100

2100

3100

…

合计

思考２：比较在自己试验25次，小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率．1．各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？各小组的试验结果可能不一样，因为随机事件发生的频率具有随机性．2．随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？随着试验次数的增加，事件A发生的频率波动幅度变小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验：在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)．序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506用折线图表示频率的波动情况(如下图).思考３：用折线图表示频率的波动情况,你有什么发现?n=20n=100n=500我们发现：(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以使用频率fn(A)估计概率P(A)．归纳总结对概率的正确理解：（1）概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．（2）任何事件的概率都是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．（3）小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．（4）必然事件Ω的概率为1，即P(Ω)＝1；不可能事件Ø的概率为0，即P(Ø)＝0.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.练习解：（１）不正确．抛掷两枚硬币，样本空间Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，所以抛掷两枚硬币，不一定是一次正面朝上一次反面朝上，只能说“出现一次正面朝上，一次反面朝上的概率为0.25”．（２）不正确．不能说概率为0.4，只能说正面朝上的频率为0.4．（３）正确．试验次数较大时，频率稳定到概率；（４）不正确．一次试验，只能说事件发生和不发生的频率各是0.5．例1：新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年，2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51．(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；(2)根据估计结果，你认为”生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？例题分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率解：(1)2014年男婴出生的频率为2015年男婴出生的频率为由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537,2015年男婴出生率约为0.532.

课本253页解：由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验．例1：新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年，2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51．(2)根据估计结果，你认为”生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？课本253页据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：（１）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；（２）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？练习课本254页据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：（２）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？课本254页例2：一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等．在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？例题解:当游戏玩了10次时，甲乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7．根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．课本253页而游戏玩到1000次时，甲乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面，一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？解：这个游戏是公平的．理由如下：掷两枚质地均匀的硬币的样本空间Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，则两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为即甲胜的概率为，一个正面、一个反面的概率为即乙胜的概率为，所以用掷两枚硬币做胜负游戏是公平的．练习课本254页思考３：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水率是90%”？又该如何评价预报得结果是否准确呢？降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确．如果某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?解：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此10个人中前7个病人没有治愈是可能的，对于后3个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．练习随堂检测1.下列说法一定正确的是（）A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.一枚骰子抛掷一次得到2的概率是

，则抛掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关解析：A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是频率的稳定值，与试验次数无关.答案：D2.(多选)下列说法中正确的有（）A.做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面的概率是B.盒子中装有大小和形状相同的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性不相同D.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，次品的件数可能不是10件在B中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率，B错误；在C中，取得的数小于0的概率大于不小于0的概率，C正确；在D中，任取100件产品，次品的件数是随机的，D正确.故选C，D.答案：CD4.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：摸球次数105080100150200250300出现红球的频数2

20273650

出现红球的频率

30%

26%24%(1)请将表中数据补充完整；解：频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？(3)试估计红球出现的概率.解：可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.解：频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25.2.估算法求概率的方法：(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率