高中数学人教版不等式的解法习题及解析

不等式

一、单项选择（注释）

1、不等式f〉8的解集是（）

A.（-2后,2夜）B.（-8,-2g）52后,+8）c.（-472,472）

D（—co,-45/2）kJ（4>/2,+co）

2、已知不等式以2+-+2>°的解集是（T，2）,贝1JG+6的值为（）.

A.1B.-1C.0D.-2

3、若不等式62+法+0。3/0）的解集是空集，那么下列条件中正确的是（）.

A.々<0且〃2-4。00B.a<0^h2-4ac<0

Ca<0^h2—4<2C<0Da<0^b2—4ac>0

4、不等式V-③T<°的解集为（）

'石-3石+3）（石+3石-3、

5、关于工的不等式依一。>°的解集是—），则关于工的不等式

（ox+A）（x-3）>（）的解集是（）

A.（-8,T）U（3,”）B.（T3）

c（1,3）口.（F/）U（3，+8）

6、不等式9x2+6x+lW0的解集是（）

_L11

A.{x|xW—3}B.{x|-3wxW3}

j_

C.0D.{-§}

]

7、使代数式3_6…2有意义的x的取值范围是（）

A.[-7,1]B.(-7,1)

C.(-8,-7]U[1,+8)D.(-8,-7)U(1,4-0°)

8、不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x〈-2},则m、n的值分别是()

A.2,12B.2,-2

C.2,-12D.-2,-12

—l—=sjab,2

9、若。>0,8>°,且。b,则a+廿的最小值为()

A.2B.2及C.4D.4及

10、下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()

2

A1>2""Ilg(x+l)>lg(2x)

y=x+—+l（x<0）

n、已知函数.x,则该函数的（).

A.最小值为3B,最大值为3

C.没有最小值D.最大值为T

11

--1--

12、已知。且而+》=1,则a力的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

4,八

y=x+------（x>1）

13、函数.x-l的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（注释）

14、若关于X的不等式加一6九+/<0（"R）的解集为（Y°，MU。，”），则

m=;

15、不等式x（7-2x）>6的解集是.

（J）

16、若0〈a〈l,则不等式（a—x）（>0的解集是________.

17、若。>3,则。一3的最小值是.

三、解答题（注释）

18、解下列不等式

（］）-12+2x—3<0.

（2）-3x?+5x-2>0

19、解下列不等式：

⑴（l-x）（x+2）>-4；

（2）x-3.

20、解下列不等式：

（］）,—%—6>0.

（2）25x2-10x4-1>0.

（3）—2x2+x+1<0

/.111

21、已知一元二次不等式/+px+q<°的解集为I23J,求不等式

平2+川+1>0的解集

22、已知不等式④2+陵+。>°的解集为{M2<X<3},求不等式52_桁+。>0

的解集.

23、解关于x的不等式x?+3ax—4a2<0（a£R）.

24、已知函数/*）=/_奴+。+3.

（1）当。=7时，解不等式八外>°；

（2）当xwR时，，。）》（）恒成立，求。的取值范围.

25、已知关于x的不等式（⑪一l）（xT）<°.

（1）当。=2时，解上述不等式.

（2）当。<1时，解上述关于x的不等式

26、已知函数/（为="2+（"3口+2（其中aWR）.

（1）当a=-l时，解关于x的不等式/（幻<°；

（2）若/（x）'T的解集为R,求实数a的取值范围.

27、设函数Ax）“一（加+1川+加

（1）求不等式“司<°的解集：

（2）若对于“*可，〃尤）>m-4恒成立，求

m的取值范围.

28、已知函数”、）=侬2一如7.

（1）若对于xeR,/（力（°恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若对于（九）＜1一（"+3）”恒成立，求实数，"的取值范围.

雪2=1

29、已知》＞°/＞°且％y,求使不等式x+y?〃7恒成立的实数m的取值范

围.

参考答案

一、单项选择

1、【答案】B

2、【答案】C

3、【答案】C

4、【答案】C

5、【答案】A

6、【答案】D

7、【答案】B

8、【答案】D

9、【答案】C

10、【答案】C

11、【答案】CD

12、【答案】B

13、【答案】B

二、填空题

14、【答案】-3

15、【答案】(|,2)

16、【答案】pl

17、【答案】20+3

三、解答题

’2'

18、【答案】(1)R(2)

3

试题分析：(1)原不等式可化为/一2彳+3>0,由/一21+3=0无实数解，即可得不

等式解集；

(2)原不等式可化为3/一5%+2<0,求方程一5x+2=0的实数根，即可得不等

式解集.

详解：(1)原不等式可化为/一2》+3>0,

由于△=(—2)2—4x1x3=—8<0,方程/一2》+3=0无实数解,

二不等式+2]-3<0的解集为R.

(2)原不等式可化为3》2-51+2<0,

,2

由于A=(—5)--4x3x2=l>0,方程—5x+2=0的两根为玉=3,x2=l,

2

二不等式—31+5%-2>0的解集为]

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化能力与计算能力，属于基础题.

19、【答案】(1)(-3,2)；(2)(-OO,-4]U(3,4W).

试题分析：(1)原不等式可化为d+x-6<0,然后按一元二次不等式的解法解出即可；

x+4f(x+4)(x-3)>0

(2)原不等式可化为——>0,等价变形为「',解此不等式组即可.

x-3匕一3声0

详解：(1)原不等式可化为月+x-6<0，解得—3<x<2,所以原不等式的解集(一3,2)；

x+4f(x+4)(x-3)>0

(2)原不等式可化为^—>0,等价于1J*),解得xWT或x>3.

x-3[x-3^0

所以原不等式的解集为(3,T]D(3,+8).

【点睛】

本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

20、【答案】(1){x[x<-2或x>3}；(2)<x>；(3)或x>l}.

试题分析：(1)将所求不等式变形为(x+2)(x-3)>0,进而可求得该不等式的解集;

(2)将所求不等式变形为(5犬-1)2>0,进而可求得该不等式的解集；

(3)将所求不等式变形为(2x+l)(x-l)>0,进而可求得该不等式的解集.

详解：(1)不等式/-1一6>0即为(x+2)(x—3)>0,解得x<—2或%>3,

因此，不等式1一%一6>0的解集为仙卜<-2或x>3}；

1

(2)不等式25%2一10%+1>。即为(5x—1『9>0,解得%Wy,

因此，不等式259_10%+1>0的解集为<XXH,;

(3)不等式一2/+*+1<0即为2必一工一1>0,即(2x+l)(x—l)>0,解得》<一；或

x>\.

因此，不等式一2必+犬+1<0的解集为<或x>l}.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

21、【答案】3-2c<3}.

试题分析：由一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，求得的值，再结合一元

二次不等式的解法，即可求解.

详解：由题意，不等式V+px+qvO的解集为{x|一；<x<g},

所以办=一：与/:是方程x2+px+q=O的两个实数根,

由根与系数的关系得解得〃

66

所以不等式+p龙+1>0,即为—X?•)—x+1>0,

66

整理得％2_》_6<()，解得一2c<3

即不等式q/+p龙+1>0的解集为{幻―2<x<3}.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集与对应方程的根的关系，以及一元二次不等式的求

解，其中解答中熟记三个二次式的关系，以及一元二次不等式的解法是解答的关键，着

重考查推理与运算能力.

22、［答案］

b=-5a

试题分析：由一元二次不等式的解集，求得<c=6a，代入cf—bx+a>(),化简得

a<0

6/+5x+l>0,结合一元二次不等式的解法，即可求解.

详解：由题意不等式办2+从+00的解集为{幻2<兀<3},

2+3=--

ab=-5a

则<2x3=—，解得<c=6a,

a

a<0

tz<0

代入不等式c/一版+a〉0,可得6加+5<21+。>03<0),

即61+51+1<0,解得-5<%<一§,

所以所求不等式的解集为｛刈-；<x<-；

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，以及一元二次不等

式的求解，其中解答中熟记三个二次式的根系，以及一元二次不等式的解法是解答的关

键，着重考查推理与运算能力.

23、【答案】当a=0时，不等式的解集为？；当a〉0时，不等式的解集为｛x|-4a<x<a｝；

当a<0时，不等式的解集为式|a〈x<-4a｝.

试题分析：因式分解得出相应一元二次方程的解芭=。和々=-4。，然后按照两根的大

小分类讨论得出不等式的解.

详解：由于x?+3ax—4aWO可化为(x—a)(x+4a)<0,且方程(x—a)(x+4a)=0的两个

根分别是a和一4a.

当a=-4a,即a=0时，不等式的解集为？：

当a>—4a,即a〉0时,解不等式得一4a〈x〈a；

当a<—4a,即a〈0时,解不等式得a<x<—4a.

综上所述，当a=0时，不等式的解集为？；

当a〉0时，不等式的解集为｛x|-4a〈x〈a｝；

当a<0时,不等式的解集为｛x|a<x<一4a｝.

【点睛】

本题考查解含参数的一元二次不等式，解题关键是在求出相应二次方程的两根后，根据

两根大小分类讨论.

24、【答案】(1)(-oo,2)U(5,+oo)；(2)[-2,6].

试题分析：(1)当a=7是，解一元二次不等式求得不等式,f(x)>()的解集.

(2)利用判别式列不等式，解不等式求得。的取值范围.

详解：(1)当a=7时，不等式为V—7x+l()>0,即(x—2)(x—5)>0,

,该不等式解集为(-8,2)D(5,+8).

(2)由已知得，若％€1<时・，Y+^+a+SNO恒成立,

A=/-4(。+3)<0,

即(a+2)(a—6)WO,二a的取值范围为[-2,6].

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

25、【答案】⑴(；,1).⑵当。=0时，解集为{中>1},当0<"1时，解集为

犬|1<x<—I,当”0时，解集为{x|x〉l或X<：)

a

试题分析：(1)将a=2代入，结合一元二次不等式解法即可求解.

(2)根据不等式，对。分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.

详解：(1)当a=2时，代入可得(2x-l)(x-l)<0,

解不等式可得g<x<l,

所以不等式的解集为

(2)关于x的不等式(狈一1)(%-1)<0.

若avl,

当。=0时，代入不等式可得一x+l<0,解得x>l；

(\\]1

当Ova<l时，化简不等式可得ax--(x-l)<0,由一>1解不等式可得1vx<一,

\aJaa

(1、、1

当。<0时，化简不等式可得。X--(x-l)<0,解不等式可得1<X或X(一，

Ia)a

综上可知，当a=()时，不等式解集为{x|x>I},当()<a<l时，不等式解集为

当a<0时，不等式解集为{x|x)l或x<}}

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，含参数分类讨论的应用，属于基础题.

26、【答案】(1)(—00,—V6—2)U(^6—2,+oo)；(2)9—6>/2a9+6\/2.

试题分析：(1)当。=0时，解一元二次不等式求得不等式/(幻<0的解集.

(2)化简不等式/(x)N-l,对“分成awO和a>0两种情况进行分类讨论，结合一元

二次不等式恒成立，求得实数。的取值范围.

详解:(1)当a=T时,由/(x)<0得，_%2-4为+2<0,

所以f+4x_2>0，所以不等式的解集为(-8,-6-2)U(6-2,+8)；

(2)因为/(x)NT解集为R,所以以2+(a—3n+2»-1在R恒成立，

当。=0时，得一3x+2£-1,不合题意；

当a/0时，由ar?+(。一3)犬+3,0在/?恒成立，

a>0

得〈/、2，

(a-3)--12«<0

所以9-6及W&W9+6VL

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

27、【答案】(1)见解析；(2)(-℃,3).

试题分析：(1)由/。)<0得(％-〃?)。-1)<0,然后分m<1、/找=1、加>1三种情

况来解不等式〃x)<0；

(2)由/(%)>加-4恒成立，由参变量分离法得出加+并利用基本不等式

4

求出x+―—1在［1,2］上的最小值，即可得出实数加的取值范围.

X

详解：(1),.,/(%)<0,..X1-(m+l)x+m<0,/.(x-w)(x-l)<0.

当机<1时，不等式/(x)<0的解集为(加,1)；

当机=1时，原不等式为(x—<0,该不等式的解集为0；

当机>1时，不等式/(x)<()的解集为。,加)；

(2)由题意，当xe［l,2］时，f-(m+l)x+4>0恒成立，

即xe［l,2］时，m<x+--1恒成立.

由基本不等式得x+±——1=3,当且仅当尤=2«1,2]时，等号成立，

X\X

所以，“<3,因此，实数比的取值范围是(-8,3).

【点睛】

本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范

围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的

最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

试题分析：(1)讨论二次项系数是否为零，即可根据相应函数的性质求出；

2323

(2)先将〃x)<l—(m+3)x分参变形为机<r一一，再求出函数y=F-•一在

XXXX

XG[1,3]上的最小值即可解出.

详解：(1)由题意可得，当机=0时，/(力=m2_侬_1=