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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种2.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则()A., B.,C., D.,3.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知随机变量的分布列是则()A. B. C. D.5.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.6.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或07.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值8.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则下述四个结论:①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④9.在中,,,,若,则实数()A. B. C. D.10.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.411.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()A. B. C. D.12.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.14.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数a的值为_____.15.已知,满足约束条件则的最小值为__________.16.已知命题:,,那么是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系.(1)设直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;(2)设M、N是曲线C上的两点,若,求面积的最大值.18.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.​(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.19.(12分)在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:(1)证明:平面平面(2)求平面与平面所成二面角的大小.20.(12分)某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)21.(12分)已知函数.(1)讨论函数的极值;(2)记关于的方程的两根分别为,求证:.22.(10分)已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求和的普通方程;(2)过坐标原点作直线交曲线于点(异于),交曲线于点,求的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据题意,分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,从6名男干部中选出2名男干部,有种取法,从5名女干部中选出1名女干部,有种取法,则有种不同的选法;故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理问题,属于基础题.2、C【解析】

根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,,表示取出两个球为黑球,,表示取出两个球为白球,,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.3、A【解析】

根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.4、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得,得,所以,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是基本知识的考查.5、B【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.6、C【解析】

求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.7、D【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.8、B【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出,再根据对称性求出、,即可求出的解析式,从而验证可得;【详解】解:由题意可得,又∵和的图象都关于对称,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正确,②错误.故选:B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用,三角函数的变换规则,属于基础题.9、D【解析】

将、用、表示,再代入中计算即可.【详解】由,知为的重心,所以,又,所以,,所以,.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.10、C【解析】

将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.11、B【解析】

设,根据复数的几何意义得到、的关系式,即可得解;【详解】解:设∵,∴,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,属于基础题.12、C【解析】

如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【详解】取的中点E,连AE,,易证,∴为异面直线与所成角,设等边三角形边长为,易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.14、3【解析】

设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐标(0,1),∴B的坐标为(,k•1),即B(,),因此AB•,同理可得:AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t,得S.∵t2,∴S△ABC.当且仅当,即t时,△ABC的面积S有最大值为.解之得a=3或a.∵a时,t2不符合题意,∴a=3.故答案为:3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.15、【解析】

画出可行域,通过平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知:可行域是由三点,,构成的三角形及其内部,当直线过点时,取得最小值.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.16、真命题【解析】

由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题:,,因为在上单调递增,则,所以是真命题,故答案为:真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)1.【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2),,由(1)通过计算得到,即最大值为1.【详解】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为,即;再将,,代入上式,得,故曲线C的极坐标方程为,显然直线l与曲线C相交的两点中,必有一个为原点O,不妨设O与A重合,即.(2)不妨设,,则面积为当,即取时,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,三角形面积的最值问题,是一道容易题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取中点,连接,,证明平面,由线面垂直的性质可得;(2)由,即可求得三棱锥的体积.【详解】解:(1)证明:取中点D,连接,.因为,,所以且,因为,平面,平面,所以平面.又平面,所以;(2)解:因为平面,平面,所以平面平面,过N作于E,则平面,因为平面平面,,平面平面,平面,所以平面,又因为平面,所以,由于,所以所以,所以.【点睛】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质,属于中档题.19、(1)证明见解析(2)45°【解析】

(1)设的中点为,连接,设的中点为,连接,,从而即为二面角的平面角,,推导出,从而平面,则,即,进而平面,推导四边形为平行四边形,从而,平面,由此即可得证.(2)以B为原点,在平面中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【详解】(1)∵是的中点,∴.设的中点为,连接.设的中点为,连接,.易证:,,∴即为二面角的平面角.∴,而为的中点.易知,∴为等边三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分别为的中点.∴四边形为平行四边形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如图,建立空间直角坐标系,设.则,,,,显然平面的法向量,设平面的法向量为,,,∴,∴.,由图形观察可知,平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.∴平面与平面所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小,难度一般,通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.20、(1)0.4;(2);(3)应选择方案,理由见解析【解析】

(1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择.【详解】(1)设事件为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为,∵,∴估计为0.4.(2)设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”,设事件,为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”,则,所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,方案的日工资,方案的日工资,所以随机变量的分布列为1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,随机变量的分布列为1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建议骑手应选择方案.【点睛】本题考查了频率分布直

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