高中数学中点之联想结构专项练习题

高中数学中点之联想结构专项练习题

姓名：___________

1.如图1,在Rtz\A8C中，ZACB=90°,CA=CB,点D,E分别在边AC,AB±,ZDEA=90°,

连接8。，点F是8。的中点，连接CF,EF.

（1）图1中，线段CF与EF的数量关系是,位置关系是；

（2）把△〃以绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，

并说明理由；

（3）把△DEA绕点人在平面内自由旋转，若AD=2,请直接写出当点8,D,E在

一条直线上时CE的长.

2.如图1,在正方形ABCD的边AB上任取一点E,过点E作EF0AB,交BD于点F,取DF的中点G,连接

EG,CG.

（1）猜想线段EG和CG之间的数量和位置关系，并说明理由。

（2）（2）在图1的基础上，将E1BEF绕点B逆时针旋转90。，其他条件不变，如图2,为了证明EG和CG

之间的数量和位置关系是否成立。

（3）在图1的基础上，将回BEF绕点B逆时针旋转180。，其他条件不变，EG和CG之间的数量和位置关系

是否仍成立。

3.在菱形八88和正三角形8GF中，ZABC=60°,P是OF的中点，连接PG,PC.如图1,当点

G在8c边上时，易证：PG=^PC（不必证明）.

（1）如图2,当点F在A3的延长线上时，线段PC,PG有怎样的数量关系？写出你的

猜想，并给予证明；

（2）如图3,当点尸在的延长线上时，线段PC,PG又有怎样的数量关系？请写出

你的猜想（不必证明）.

4.已知正方形48CD与正方形CEFG,M是AF的中点，连接。M,EM.

（1）如图1,点E在C。上，点G在8c的延长线上，请判断DM,E/V/的数量关系与位

置关系，并直接写出结论；

（2）如图2,点E在0C的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明

你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使。，E,F三点在一条直线上，若A8=13,

CE=5,请画出图形，并直接写出MF的长.

图2备用图

5.已知点P是RtaABC斜边AB上一动点（不与点A,B重合），分别过点A,B向直线CP作

垂线，垂足分别为E,F,Q是斜边AB的中点.

（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量

关系是•

（2）如图2,当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明.

（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画

出图形并给予证明.

6.点P是平行四边形ABC。的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、。重合）,

分别过点A、C向直线肝作垂线，垂足分别为点E、F.点。为AC的中点.

（1）如图1,当点P与点。重合时，线段0E和》的关系是；

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论

是否仍然成立？

（3）如图3,点P在线段的延长线上运动，当NOE下=30。时，试探究线段CE、AE.OE

之间的关系.

7.如图1,在RtaABC中，ZA=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接DC,

点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

(1)图1中，线段PM与PN的数量关系是—，位置关系是一；

(2)把aADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,

并说明理由；

(3)把4ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出APMN面积的最大值.

8.如图1,在四边形4BCD中，AB=CD,E,F分别为BC,A。的中点，连接EF并延长，与8A,

8的延长线分别交于点M,N,则

(1)如图2,在四边形408C中，八8与8相交于点。，

AB=CD,E,F分别为8C,八。的中点，连接EF,与CD,48分别交于点M,N,判断0M,

ON之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)如图3,在△A8C中，AC>AB,点D在八C边上，且AB=CD.E,F分别为8C,AD

的中点，连接EF并延长，与8A的延长线交于点G,连接DG,若NEFC=60°,判断△AOG

的形状，并证明你的结论.

9.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1、图2、图3中，AF,BE

是△Z8C的中线，AFL8E,垂足为P,像这样的三角形均为“中垂三角形”.设8C=a,AC=b,

AB=c.

(1)如图1,当N48E=45。，c=20时，。=,b=；

如图2,当N48E=30°,c=4时，a=,b=.

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想。2,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来，并

利用图3证明你发现的结论.

(3)如图4,在58CD中，点E,F分别是/W,8c的中点，4c于点”，若4。=26,

AB=3,求4F的长.

在RtaACB和RtZ\AEF中，NACB=NAEF=90°,若点尸是BF的中点，连接尸C,PE.

特殊发现：

如图1,若点E,F分别落在边A8,4c上，则结论：PC=PE成立(不要求证明).

问题探究：

把图1中的绕着点A顺时针旋转.

(1)如图2,若点E落在边C4的延长线上，则上述结论是