高中数学-平面向量基本定理教学设计

平面向量基本定理教学设计

数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的

学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从

事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光

观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。这“三

会”就是高中阶段的数学学科核心素养。以发展学生的数学学科核心

素养为目标，设计了本节课。

【学习目标】

知识与能力目标

理解平面向量基本定理及其意义，并能运用平面向量基本定理解

决简单平面几何问题。

过程与方法目标

经历平面向量基本定理的探索与证明过程，感悟数学抽象，逻辑推

理，由特殊到一般等数学思想的作用，培养学生的学科素养。

情感态度与价值观目标

在学习中注重培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习

品质。

【教学重点】

平面向量基本定理的理解、定理的应用。

【教学难点】

平面向量基本定理的理解及其推导。

【教学过程】

(-)创设问题引入新课

情境:我们知道，世界上的所有旋律都是由7个基本音符谱成的，

那么平面内的所有向量能否由几个基本向量来表示呢？

【设计意图】通过类比的方法引入新课，激发学生的求知欲，并暗

含平面向量基本定理的本质。

复习1：共线向量基本定理：

复习2：向量求和的平行四边形法则？

提出问题：反之呢？如图的向量能否用向量L＞表示呢？接

着让学生拿出方格纸，通过作图的方法探究下面问题

总结：三个向量苦I可以用Z或表示，并且

可以统一写成人1+4】

【设计意图】课程标准解读中曾指出：数学眼光是什么呢？主要表

现为数学抽象，而与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是实

现数学抽象的思维基础。因此在设计问题时，先把问题直观化，让同

学们通过在方格纸上作图，直观感受向量的分解。

接着提出以下问题:

【师生活动】师生共同用PPT展示向量a的分解过程，并在展示过程

中进一步提出小问题：（1）为何要把向量平移使其共起点？（2）利

用什么知识对向量a进行分解？（3）为什么"=豆+方豆=41

呢？学生回答问题。

【设计意图】通过问题的设计，把学生的直观想象上升为抽象思维,

并通过小问题的提问引领学生体会如何用已学知识来研究未知知识,

帮学生构建知识网络，搭建“最近发展区”。

【师生活动】经过上面的推导，师生共同归纳定理，给出定理，并提

问：对于定理，大家还有什么疑惑吗？

【设计意图】通过问题的设计，激发学生的质疑精神，在学生大胆的

质疑中，提高学生“发现问题的能力和提出问题的能力”。

（二）合作探究深度认识

【师生活动】设计以下三个问题，通过小组讨论，学生展示，教师点

二、合作探究深度认识

问题1：若T与向量->或向量一共线时，如何表示呢？

aele2

若17如何表示呢？

问题2:______

（1）若e।77^线能否表示出任意:?

（2）一平面向量的基底是否唯一？

问题3:

当基底;二给定必平坦内的任意

向量a都可以用形如4］+4］的向量来

评表示，这种表示形式是唯一的吗？

【设计意图】让学生通过对三个问题的讨论，进一步认识定理，并通

过小组讨论的方法训练学生的合作能力，培养学生的学科素养。因为

学科素养是通过独立思考或与他人交流，最终自己“悟”出来的。第

3个问题较难，学生能感知唯一性，但却不知如何证明。教师给出利

用反证法证明的过程，学生通过学习，感受数学“逻辑推理”的魅力,

让数学的严谨性得以体现。

（三）实战演练巩固新知【师生活动】处理例1,例2

厂如何用向■证\

三、实战演练巩固新知三、实战演练巩固新知>-明两直线垂直

366滞不共纵且U=用立前表示六

例3如图，CD是MBC的中线，CD》民用向量力盘证明△48C是

一解：因为大=1希直角三角形

证明：彼品=T，K=7,则之=~*+

所以+M一向最加法CDaDAbCA

力荔=一力于是茄=［一『

=力+,大一向量数乘

/项=（1+:）,（「:）

=力+《前-1战一向量减法

=T2-—2

=（1T）荔+'漏ab

因为CD、48,

总结：体会向址的加、减、数乘运算在解腮中的应用如何建立向量

所以CD=DA■T的联系

因为-2=CD2,-;2=DA2,

ab

所以一・T=0

CACB

因此CA1CB,

于是△48C是直角三角形

小结：在本题的解答中我们要体会如何把几的问

及平面向出框不定理忠机的应用及推底该如何选择.

例1学生利用以前所学的知识完全可以解决，因此我选择了学生板演

的方式完成，师生共同归纳解题方法，并对三点共线结论进行提炼。

例2较难，选择让学生口头分析问题，教师引导的方式完成，并师生

共同总结方法。

【设计意图】例1主要考察基底思想的应用，例2主要让学生体会如

何用向量知识去处理几何问题。通过三个问题的设置，一步步引导学

生去思考如何在本题中运用平面向量基本定理的思想：通过用已知基

底表示未知向量，进而建立未知向量之间的联系，使未知向量之间可

以通过向量运算来解决问题。

（四）小试牛刀自我测评

【师生活动】学生独立完成下面测试，并给出答案及解题思路

四、小试牛刀自我测评

,7）设e,.ez是平面向量的一组基底,则下列四组向量中，不能

〜作为基底的是（B）.

A.ei+e?和e「ezB.3e「2ez和4e2-6ei

C.ei+2ez和ez+2e】D.e?和e^+e?

2）已知向量a=e1一Ze2,b=2e}+e2>其中4，与不共线，则。+力

与c=6e]-2e2的关系是（B）

A.不共线B.共线C.相等D.不确定

如图,在矩形"CD中,若反1="1.求=3c.则比=（A）

AD

A.炉+3«）B.2（5n-3«）

C.1（3«-5*i）D.|（5<2—3«）

【设计意图】题目的难度逐步递增，让学生巩固所学熟练运用。

（五）总结反思提高认识

五、总结反思提高认识

1.平面内的所有向量能否由儿个基本向量来表示呢？

2.说说平面向量基本定理与共线向量基本定理有怎样的

关系。

3,说说平面向量基本定理的作用。

如果I、；是同一平面内的两个不共线的向量.

那么对于这一平面内的任响敬2,行且只rr一对实

躯乙使乙谪+R；

81Glea做我家KT王内附（鼻量的一MI%

说明：（"1ME的这舞如曜一的；

G）,同一曲量在透定基现后,4,

⑴网一向量左电揖不期・底时，％小可■幅ntfisre不再倚君»

【师生活动】引导学生对上面三个问题进行回答

【设计意图】让学生明白学了什么，应该掌握什么，如何应用所学知

识？学生总结回答第1个问题，呼应引入时提出的问题，揭示定理本

质。第2个问题让学生体会一维到二维的转化。第3个问题引导学生

体会定理的应用，回顾例2让学生体会如何用向量知识去处理几何问

题

（六）布置作业巩固提高

六、布置作业、巩固提高

【基础题】

课后练习第3题

【探窕题】

已知△OAB,若赤=x瓦?+y而,且点P在直线AB上，

则x,y应满足什么条件？

【设计意图】分层布置作业，使不同层次的学生都能得到锻炼和提高,

找到各自的发展区。

（七）板书设计再现要点

I板目设计

【教学反思】

本节课以培养学生的数学学科核心素养为目标，通过先直观想象

再抽象归纳，从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般，层层设问，

逐步突破难点。在教学中既重视知识和技能的形成过程，又重视对学

生学习方法的指导，探究能力的训练，质疑及创新精神的培养，并且

通过学生之间的合作交流，激发了学生学习的激情与兴趣。

平面向量基本定理学情分析

前两节学生已经学习了向量的概念和向量的运算，对向量的几何

表示及几何运算有了初步的认知。同时共线向量的基本定理使学生认

识到只要由一个非零向量和一个参数就可表示所有与之共线的向量,

这些都是学生学习平面向量基本定理的知识基础。对于平面向量基本

定理其实学生在以前的学习中已经在使用，只是没有专门的提出。例

如物理中力的合成与分解，向量线性运算中用两个已知向量来表示未

知向量等。但相当一部分同学只是依葫芦画瓢，并不知道这样做的依

据是什么，为什么这样做。但学了本节课内容后，教师就可以依据定

理让学生理解基底的作用及意义。

在以前的教学中，我们会发现学生对于平面向量基本定理的学习

经常停留在机械的记忆上，并不能领会定理的实质：因为平面中的任

一向量都能用两基底表示，因此我们就可以建立任意两未知向量之间

的联系，例如本节课的例2；再比如若选择与坐标轴同向的两单位向

量为基底，就可以建立向量的坐标表示，通过向量的坐标运算来解决

一些问题。而对于定理本质的把握，需要老师在学习中一步步深入,

不断引导学生去探索，去思考，去总结。通过对定理本质的把握，不

断提高学生的数学学科素养，这是一个长期的过程，但我们必须坚持

去做。

平面向量基本定理效果分析

课前我通过认真钻研课标、教材，调研学情，整体设计好本节的

重点、难点，本节课从学生日常生活情境入手，通过学生的操作感知

归纳总结，从形到数，从直观到抽象，从特殊到一般，层层设问，逐

步突破难点。通过这样的思路组织教学，合理安排教学内容，选择了

适合的教学方法，从而做到胸有成竹，应对课堂上的变化，有效地完

成教学目标。

课堂上考虑到学生实际认知水平，对定理的推导过程中，尽量把

问题具体化，符合学生的认知。在教学中既重视知识和技能的形成过

程，又重视对学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培

养，并且通过学生之间的合作交流，激发了学生学习的激情与兴趣。

在教学过程中，我大胆引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、

合作探究，凡是学生能够探索出来的，教师决不替代，凡是学生能够

独立发现的绝不暗示，让学生从生活、活动、思索、合作交流中学习，

为学生提供独立发展的空间，培养收集、获取有价值的信息能力，从

而提高课堂的有效性。

平面向量基本定理课后反思

数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的

学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从

事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光

观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。这“三

会”就是高中阶段的数学学科核心素养。

课标还指出学生数学学科核心素养的形成和发展，是在教师的启

发和引导下，学生通过自己的独立思考或与他人交流，最终自己“悟”

出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法。因此，在教学活动

中，以学生为主体，充分调动学生的思维，把握数学内容的本质非常

重要。基于以上考虑，我对本节课的内容作出如下反思：

感觉本节课比较成功的地方一是在教学过程中，我设计了多个活

动环节，突出学生的主体地位，创造机会让不同程度的学生发表自己

的观点，调动学生学习积极性;二是在对定理的探究中，先通过引入，

激发学生兴趣，把学生带入课堂，在通过利用方格纸作图，让问题直

观化，接着通过问题的设计，把学生的直观想象上升到抽象思维，进

而得出定理。在此探究过程中让学生体会了如何用数学的眼光去看待

问题，着重培养了学生的直观想象与数学抽象素养。三是对于例题的

处理比较到位。例1让学生体会到基底思想的本质就是利用以前所学

向量的加，减，数乘运算完成的，让学生体会到如何用已学知识来解

决未知知识，并帮学生构建了知识网络，搭建了思维“最近发展区”。

例2问题的处理让学生体会了定理的应用，如何在定理的引导下去解

决几何问题。

不足之处是我应该在学生的自主探究方面可以再放开些，引导学

生让学生的数学思维更加的活跃，探索新知的欲望更强烈些。例如在

得出定理后我曾提出问题：对于这个结论，大家还有疑问吗？欢迎大

家提出来。我的本意是想让学生在三个关键词（任一、不共线、有且

只有一对）上去进行质疑，通过对问题的解决加深对定理的认识。但

因为我给学生的时间比较短，学生都没有提出疑问。如此，我只能抛

出我准备的三个问题让学生通过小组讨论的方式去思考。但课后，我

想在此问题的处理上，我可以让学生通过小组讨论的方式去进行质疑,

毕竟思维的火花是在碰撞中产生的，我没有给学生思维碰撞的机会，

又怎能产生我所期待的思维闪光呢！若学生小组讨论时还提不出疑问,

我完全还可以提醒学生对三个关键词进行思考，引导学生提出问题。

并且新课标现在把“两能”扩展为“四能”，增加了“发现问题的能

力和提出问题的能力”，这些是为了满足培养创新型人才的需要。在

以后的课堂上可以更放开些，大胆的让学生去思、去想、去做，培养

学生的创新能力。

平面向量基本定理教材分析

本节是普通高中2019人教A版必修第二册第6章第3节的第1课

时。

本节内容是“平面向量基本定理”，其核心是平面向量的基本定理,

并涉及到向量的基底、向量共线、向量加、减、数乘、数量积运算及

向量垂直等内容。

平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直

线向二维平面推广的结果。在本节课之前，主要研究向量的线性运算，

重点体现向量的几何特征，而本节课之后，主要研究向量的坐标运算，

体现了向量的代数形态。本节课内容由前面的向量运算得出平面向量

基本定理，平面向量的正交分解是平面向量基本定理的简单应用，同

时为平面向量的坐标表示奠定基础，所以本节课内容是在整个向量内

容中有承前启后的作用。

在高中数学中，向量作为一种工具，一种语言，更多起到了沟

通代数与几何的作用。平面向量的基本定理通过一组基底，就可以将

平面内的任一向量都能统一地用这组基底进行线性表示，从而将向量

的运算归结为其系数之间的运算，这就为向量的坐标建立提供了有力

的依据，因为有了向量的坐标表示才有了向量的坐标运算。如此