2024届浙江省宁波万里国际学校十校联考最后数学试题含解析_第1页
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文档简介

2024届浙江省宁波万里国际学校十校联考最后数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里2.如图,在扇形CAB中,CA=4,∠CAB=120°,D为CA的中点,P为弧BC上一动点(不与C,B重合),则2PD+PB的最小值为()A.4+23 B.433.如图,△ABC中,AB=4,AC=3,BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,则BE的长为()A.5 B.4 C.3 D.24.如图,已知在△ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE5.如图,某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带()A.带③去 B.带②去 C.带①去 D.带①②去6.如图,在中,点D、E、F分别在边、、上,且,.下列四种说法:①四边形是平行四边形;②如果,那么四边形是矩形;③如果平分,那么四边形是菱形;④如果且,那么四边形是菱形.其中,正确的有()个A.1 B.2 C.3 D.47.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是()A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中,点(-1,-2)所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A.2 B.2 C.3 D.10.下列命题中假命题是()A.正六边形的外角和等于 B.位似图形必定相似C.样本方差越大,数据波动越小 D.方程无实数根二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,AB∥CD,BE交CD于点D,CE⊥BE于点E,若∠B=34°,则∠C的大小为________度.12.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为_______.13.如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE=____.14.如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图,根据图中所示尺寸(单位:mm),计算出这个立体图形的表面积.15.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞,如图给出了一种机翼的示意图,用含有m、n的式子表示AB的长为______.16.如图,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,AC=AD,BC>AB,AB∥CD,AB=4,BD=213,tan∠BAC=33,则线段BC的长是_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;在图2中画出线段AB的垂直平分线.18.(8分)(2017江苏省常州市)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况,某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项,用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项),并根据调查结果绘制了如下统计图:根据统计图所提供的信息,解答下列问题:(1)本次抽样调查中的样本容量是;(2)补全条形统计图;(3)该校共有2000名学生,请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数.19.(8分)【发现证明】如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEF≌△AGF;从而发现并证明了EF=BE+FD.【类比引申】(1)如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上,∠EAF=45°,连接EF,请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系,并证明;【联想拓展】(2)如图3,如图,∠BAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的长.20.(8分)如图,⊙O中,AB是⊙O的直径,G为弦AE的中点,连接OG并延长交⊙O于点D,连接BD交AE于点F,延长AE至点C,使得FC=BC,连接BC.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)⊙O的半径为5,tanA=,求FD的长.21.(8分)如图所示,某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚A点处测得山腰上一点D的仰角为30°,并测得AD的长度为180米.另一部分同学在山顶B点处测得山脚A点的俯角为45°,山腰D点的俯角为60°,请你帮助他们计算出小山的高度BC.(计算过程和结果都不取近似值)22.(10分)某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只,已知A型号足球进价每只40元,B型号足球进价每只60元.(1)若该店老板共花费了5200元,那么A、B型号足球各进了多少只;(2)若B型号足球数量不少于A型号足球数量的,那么进多少只A型号足球,可以让该老板所用的进货款最少?23.(12分)解方程式:-3=24.武汉市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷词查的结果分为“非常了解“、“比较了解”、“只听说过”,“不了解”四个等级,划分等级后的数据整理如下表:等级非常了解比较了解只听说过不了解频数40120364频率0.2m0.180.02(1)本次问卷调查取样的样本容量为,表中的m值为;(2)在扇形图中完善数据,写出等级及其百分比;根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数;(3)若该校有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少?

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】分析:依题意,知MN=40海里/小时×2小时=80海里,∵根据方向角的意义和平行的性质,∠M=70°,∠N=40°,∴根据三角形内角和定理得∠MPN=70°.∴∠M=∠MPN=70°.∴NP=NM=80海里.故选D.2、D【解析】

如图,作∥∠PAP′=120°,则AP′=2AB=8,连接PP′,BP′,则∠1=∠2,推出△APD∽△ABP′,得到BP′=2PD,于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′,根据勾股定理得到PP′=2+82+(2【详解】如图,作∥∠PAP′=120°,则AP′=2AB=8,连接PP′,BP′,则∠1=∠2,∵AP'AB∴△APD∽△ABP′,∴BP′=2PD,∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′,∴PP′=2+82∴2PD+PB≥47,∴2PD+PB的最小值为47,故选D.【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.3、B【解析】

根据旋转的性质可得AB=AE,∠BAE=60°,然后判断出△AEB是等边三角形,再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB.【详解】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转

60°得到△AED,∴AB=AE,∠BAE=60°,∴△AEB是等边三角形,∴BE=AB,∵AB=1,∴BE=1.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.4、C【解析】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故选C.点睛:本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.5、A【解析】

第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.【详解】③中含原三角形的两角及夹边,根据ASA公理,能够唯一确定三角形.其它两个不行.故选:A.【点睛】此题主要考查全等三角形的运用,熟练掌握,即可解题.6、D【解析】

先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形,根据DE∥CA,DF∥BA,得出AEDF为平行四边形,得出①正确;当∠BAC=90°,根据推出的平行四边形AEDF,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确;若AD平分∠BAC,得到一对角相等,再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等,等量代换可得∠EAD=∠EDA,利用等角对等边可得一组邻边相等,根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确;由AB=AC,AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC,同理可得四边形AEDF是菱形,④正确,进而得到正确说法的个数.【详解】解:∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF是平行四边形,选项①正确;若∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF为矩形,选项②正确;若AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,又DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形,选项③正确;若AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,同理可得平行四边形AEDF为菱形,选项④正确,则其中正确的个数有4个.故选D.【点睛】此题考查了平行四边形的定义,菱形、矩形的判定,涉及的知识有:平行线的性质,角平分线的定义,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键.7、B【解析】试题解析:如图所示:设BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD=;故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等,通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.8、C【解析】:∵点的横纵坐标均为负数,∴点(-1,-2)所在的象限是第三象限,故选C9、A【解析】连接BD,交AC于O,∵正方形ABCD,∴OD=OB,AC⊥BD,∴D和B关于AC对称,则BE交于AC的点是P点,此时PD+PE最小,∵在AC上取任何一点(如Q点),QD+QE都大于PD+PE(BE),∴此时PD+PE最小,此时PD+PE=BE,∵正方形的面积是12,等边三角形ABE,∴BE=AB=,即最小值是2,故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,轴对称-最短路线问题等知识点的应用,关键是找出PD+PE最小时P点的位置.10、C【解析】试题解析:A、正六边形的外角和等于360°,是真命题;B、位似图形必定相似,是真命题;C、样本方差越大,数据波动越小,是假命题;D、方程x2+x+1=0无实数根,是真命题;故选:C.考点:命题与定理.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、56【解析】

解:∵AB∥CD,∴又∵CE⊥BE,∴Rt△CDE中,故答案为56.12、64°【解析】解:∵∠A=52°,∴∠ABC+∠ACB=128°.∵BD和CE是△ABC的两条角平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=64°.故答案为64°.点睛:本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义,掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.13、5【解析】试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得CE=AB=5.考点:直角三角形斜边上的中线.14、100mm1【解析】

首先根据三视图得到两个长方体的长,宽,高,在分别表示出每个长方体的表面积,最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可.【详解】根据三视图可得:上面的长方体长4mm,高4mm,宽1mm,下面的长方体长8mm,宽6mm,高1mm,∴立体图形的表面积是:4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100(mm1).故答案为100mm1.【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积,根据图形看出长方体的长,宽,高是解题的关键.15、【解析】

过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长.【详解】解:延长BA交CE于点E,设CF⊥BF于点F,如图所示.在Rt△BDF中,BF=n,∠DBF=30°,∴.在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,∴AE=CE=BF=n,∴.故答案为:.【点睛】此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.16、6【解析】

作DE⊥AB,交BA的延长线于E,作CF⊥AB,可得DE=CF,且AC=AD,可证Rt△ADE≌Rt△AFC,可得AE=AF,∠DAE=∠BAC,根据tan∠BAC=∠DAE=DEAE=33【详解】如图:作DE⊥AB,交BA的延长线于E,作CF⊥AB,∵AB∥CD,DE⊥AB⊥,CF⊥AB∴CF=DE,且AC=AD∴Rt△ADE≌Rt△AFC∴AE=AF,∠DAE=∠BAC∵tan∠BAC=33∴tan∠DAE=33∴设AE=a,DE=33a在Rt△BDE中,BD2=DE2+BE2∴52=(4+a)2+27a2解得a1=1,a2=-97∴AE=1=AF,DE=33=CF∴BF=AB-AF=3在Rt△BFC中,BC=BF2【点睛】本题是解直角三角形问题,恰当地构建辅助线是本题的关键,利用三角形全等证明边相等,并借助同角的三角函数值求线段的长,与勾股定理相结合,依次求出各边的长即可.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.(2)根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分,即可解决问题.试题解析:(1)如图所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小长方形的对角线).(2)线段AB的垂直平分线如图所示,点M是长方形AFBE是对角线交点,点N是正方形ABCD的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.考点:作图—应用与设计作图.18、(1)100;(2)作图见解析;(3)1.【解析】试题分析:(1)根据百分比=计算即可;(2)求出“打球”和“其他”的人数,画出条形图即可;(3)用样本估计总体的思想解决问题即可.试题解析:(1)本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100,故答案为100;(2)其他有100×10%=10人,打球有100﹣30﹣20﹣10=40人,条形图如图所示:(3)估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=1人.19、(1)DF=EF+BE.理由见解析;(2)CF=1.【解析】(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,证出△AEF≌△AFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG,即可得出答案;(2)根据旋转的性质的AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;关键全等三角形的性质得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.解:(1)DF=EF+BE.理由:如图1所示,∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∵∠ADC=∠ABE=90°,∴点C、D、G在一条直线上,∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD,∵∠BAG+∠GAD=90°,∴∠EAG=∠BAD=90°,∵∠EAF=15°,∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣15°=15°,∴∠EAF=∠GAF,在△EAF和△GAF中,,∴△EAF≌△GAF,∴EF=FG,∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE;(2)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG,连接FG,如图2,∴AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;又∵∠EAF=15°,而∠EAG=90°,∴∠GAF=90°﹣15°,在△AGF与△AEF中,,∴△AEF≌△AGF,∴EF=FG,∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16,∴CF=1.“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理,正方形的性质的应用,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键,此题是一道综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫.20、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)由点G是AE的中点,根据垂径定理可知OD⊥AE,由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG,∠D=∠OBD,从而∠OBD+∠CBF=90°,从而可证结论;(2)连接AD,解Rt△OAG可求出OG=3,AG=4,进而可求出DG的长,再证明△DAG∽△FDG,由相似三角形的性质求出FG的长,再由勾股定理即可求出FD的长.【详解】(1)∵点G是AE的中点,∴OD⊥AE,∵FC=BC,∴∠CBF=∠CFB,∵∠CFB=∠DFG,∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD,∴∠D=∠OBD,∵∠D+∠DFG=90°,∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线;(2)连接AD,∵OA=5,tanA=,∴OG=3,AG=4,∴DG=OD﹣OG=2,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADF=90°,∵∠DAG+∠ADG=90°,∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG,∴△DAG∽△FDG,∴,∴DG2=AG•FG,∴4=4FG,∴FG=1∴由勾股定理可知:FD=.【点睛】本题考查了垂径定理,等腰三角形的性质,切线的判定,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,求出∠CBF=∠DFG,∠D=∠OBD是解(1)的关键,证明证明△DAG∽△FDG是解(2)的关键.21、米【解析】

解:如图,过点D作DE⊥AC于点E,作DF⊥BC于点F,则有DE∥FC,DF∥EC.∵∠DEC=90°,∴四边形DECF是矩形,∴DE=FC.∵∠HBA=∠BAC=45°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15°.又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°,∴△ADB是等腰三角形.∴AD=BD=180(米).在Rt△AED中,sin∠DAE=sin30°=,∴DE=180•sin30°=180×=90(米),∴FC=90米,在Rt△BDF中,∠BDF=∠HBD=60°,sin∠BDF=sin60°=,∴BF=180•sin60°=180×(米).∴BC=BF+FC=90+90=90(+1)(米).答:

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