2024届上海市浦东新区高三二模数学试题及答案

上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分分）1.已知集合A2，集合Bx2x3，则AB．2.若复数z1i（i是虚数单位），则zzz．3.已知等差数列a1612，a47，则3．n15x3x2的二项展开式中x4项的系数为．（用数值回答）4.5.已知随机变量X服从正态分布N95,2P75X1150.4PX115．28125是奇函数，当x0fxxf6.yfx的值是．37.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之6:3:120%16%和12%名，其成绩是优秀的概率为．8.已知圆1:x2y22axa210（a0），圆C2:x2y24y50，若两圆相交，则实数a的取值范围为．9.fx2xx，则不等式f2x33的解集为．10.如图，有一底面半径为13的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为．第10x22y2211.已知双曲线（a0b0F、F，MFMF，1212ab321OMb，则双曲线的离心率为．312.正三棱锥S23量abaaACabbACbAS，则ab的最大值为．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第1页（共6页）二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“a1”是“直线ax2y20与直线xay10平行”的（）.充分非必要条件；.必要非充分条件；C.充要条件；.既非充分又非必要条件．14.aR，则下列结论不恒成立的是（）11.a1a2；；.a4a1C.a1a23；.sina0．2sina15.位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A后，下列说法正确的是（.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．）第1516.设fxaxam1xm1maxa（a0，m，mZ），记fxfx0m10mnn1（n,m1），令有穷数列b为fx零点的个数（n,m1），则有以下两个结论：nn①fx，使得b为常数列；0n②fx，使得b为公差不为零的等差数列．0n那么（）.①正确，②错误；C.①②都正确；.①错误，②正确；.①②都错误．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第2页（共6页）三、解答题（本大题共有5题，满分分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8已知函数yfx，其中fxsinx．1）求fx43在x上的解；221222）gx3fxfxfxfxx的方程gxm在x时有解，求实数m的取值范围．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面底面ABCD，其中AD//，24，3，PAPD23E为中点．1）证明：；2）求二面角PABD的大小．第18上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第3页（共6页）19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：200，，，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．第191）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于8002）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取66人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；1方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中3奖1次当天消费金额可打92次当天消费金额可打63次当天消费金额可打3若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第4页（共6页）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8x2已知椭圆C:y1F、F分别为椭圆的左、右焦点．2122若椭圆上点PPFFFPF的值；2121点ATt,0在xSST取得最小值时点S恰A重合，求实数t的取值范围；mF且法向量为1,m的直线l交椭圆于M、NC上存在点R2OROMON（,R），求的最大值．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第5页（共6页）21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8已知函数yfx及其导函数yf'x的定义域均为DxDyfxx,fx000n1处的切线交x轴于点x,0n1yfxx,fx处的切线交x轴于点x,01nn此类推，称得到的数列n为函数yfxxN数列”．0101）若fxx，x是函数yfxx的“N数列”，求1的值；nen22）若fxx24，n是函数yfx03的“N数列”，记alog3n，证明：n2a是等比数列，并求出其公比；nx3）若fx，则对任意给定的非零实数a，是否存在00，使得函数yfxx的0ax2“N数列”x为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0；若不存在，请说明理由．n上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷第6页（共6页）上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案124i8359456422701011257913620,231,24502141516CBDC71112（1）x、；（2）,1．12123221313313或（1）证明略；（2）（1）4052）3（或）．13227002738508415322m22（1）2；（2）,；（）．242a（1）；（2）证明略，q2；（）存在，x0，理由略．e3上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答第1页（共1页）一、填空题41．．2．42i．3．5．270．5．0.3．6．．2567．0.18．8．0,23．9．1,2．10．π．．．12．4．22二、选择题13C．B．D16C三、解答题17．【解析】π43（1）由题，原式等价于求sinx在xπ上的解.2π4π3π3从而有x2kπ+或x2k，kZ47π12x2kπ+或x2kπ+，kZ127π11πxπ又xx或.1212π437πfx在xπ上的解为、.21212π2gx3sinxsinx（2）由题，sinxsinxπ3sinxcosxsinx2312xsin2x221π162sin2x12π2g(x)mx故在时有解ππ2msin2xx等价于在6时有解.ππ5π66π1622x,sin2x,1,612m,1所以，实数的取值范围是.18．【解析】（法一）（1）证明：取PAF，连接,EF，在△PAD中，点E为PD的中点、点F为PA的中点，1∥AD，EFAD.212又∥AD,BCAD.∥，EFBC.所以，四边形BCEF为平行四边形.得∥FBFBEC在平面所以，EC.2（2）取ADHP作PG，垂足为G，连接GH由题，PAPD23，H为AD的中点，所以PHAD.PAD，又平面PAD平面ADPAD，PH,故ABCDPHAB,.又PGABABPGH.得AB.又PG，所就是二面角PD的平面角.经计算，在△PAD22；1在△BH3，AH222222SABH2114GH3,得AB2又SABH.22332因而，在△tanPGH3PD的大小所以二面角.2（法二）（1ADO，PAPD23，O为AD中点，所以POAD.又平面PAD，PAD平面AD，POPAD，PO平面ABCD.3取BCM，显然，OM.O为坐标原点，分别以射线OM、OD、OP为轴、xyz立空间直角坐标系..E2C20EC22,0,2由题意得，、P0,0,22A2,0B22,1,0，又故、、AP2,22AB20，.2v22w0nuvw，则有,,设平面的法向量2uv0.不妨取u1v22，2,即n22,2经计算得n0nEC.又EC在平面外，所以EC∥平面.n，n22,2（21的法向量的法向量12nn2213n,n12,12131nn122PD的大小为arccos13.因此，二面角1319．【解析】（1）我们利用通过抽样获得的100名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得：31350405人.104（2）当日消费金额在和1000,1200（单位：元）的人数所占比例为0.00100:0.000502:1，所以抽取的6人中有2人消费金额在1000,12004人消费金额在（单位：元）.记“抽到的2人中至少1人消费额不少于1000元”为事件A，C14CC12CC222635PA则+=，2635所以抽到的2人中至少1人消费金额不少于1000元的概率为.（3）若选方案一，只需付款1000503850若选方案二，设付款金额为X元，则X可分别取300、600、900、1000元，其中03111300600900100033PXC1，332712112923PXC1，3321114913PXC1，333011803PXC1，33271248EX=300840.760090010002799275，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】12（1）由题得，F(1,0)，设点P(1,y)，代入椭圆方程，得y2P，2P22.2322由22.121（2）设动点S(x,y)，x2x2121则ST(xt)2y2x22t22txt21(xt)21t2222由题，ST取得最小值时点S恰与点A重合，1y(xt)21t2在x2处取得最小值，即函数22又x[2,2]，因而2t2t.22因此，实数t的取值范围为[,).2（3）设M(x,y)，N(x,y)，R(x,y)1122x1x2由OROMON,得，y1y26(xx)22(yy)2，2R在椭圆上，代入得12122(12212)2(x222y2)2(xx2yy)2，12122化简得222由题，可设直线l:(xmy0.xmy122(xx2yy)2*）.1212又点M、N在椭圆上，得联列直线与椭圆方程，得(m22)y22my10.x22y222m1故yy，yy1212m2m2221m22m2m2m22xx2yy(mymy2yy(m22)m1.12121212m222m2222242,代入（*）式，得m22m2221，（等号当且仅当时成立）m22m22即（等号当且仅当时成立）.4m22所以，的最大值为.421．【解析】yx（1）曲线111x0,lnx处的切线斜率为00e1ex1yx,y1故曲线处的切线方程为，ee72y0令x.e21.exyfxfxxx（2）由题，yfx在处的切线方程为nnnnx4nfx2y0xxnnxn1令故，可得.n1fx2xnnxn222xn12an1n.2xn12xn2又1a25.613an3为首项，2为公比的等比数列.ax2xf（3）由题，，2ax2x0a0a02x0x02为切点的切线方程为yxx.0x,2ax0220a2x0x023y0x1令,可得到.ax当a0时，函数fx的大致图像如图所示:21ax2x0232x0等价于x0a,x0a因此，当x2a时，数列x严格增；同理，当x2a时，数列x严格减.0n0n8所以不存在x0xn是周期数列.x②令当a0时，函数fx的大致