专题3-5 平行四边形（考题猜想特殊平行四边形的性质和判定综合应用的四种类型）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题3-5平行四边形（考题猜想，特殊平行四边形的性质和判定综合应用的四种类型）类型1：利用矩形的性质巧求折叠中线段的和【例题1】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在矩形中，，动点满足，则点P到两点距离之和的最小值为（

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A． B． C． D．【变式1】（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，连接，．则，若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．

【变式2】（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在长方形中，对角线，，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是【变式3】（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落到上的点处，折痕为；延长交于点．(1)求证：为等边三角形；(2)为线段上一动点，为的中点，连接，．若（），则的最小值是__________．类型2：特殊平行四边形中的操作型问题【例题2】（22-23八年级下·湖南邵阳·期末）已知，如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的图形．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为，则的值为（

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A． B． C． D．【变式1】（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）图1是邻边长为16和25的矩形，把它分割成①，②，③，④四块后，拼接成不重叠、无缝隙的正方形（如图2），则图2中的长为，四边形的面积为．

【变式2】（21-22八年级下·山东潍坊·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．【变式3】（22-23八年级下·山东临沂·期末）综合与实践问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？

下面是某研究小组的研究过程：(1)首先研究两个一样大小的正方形把两个边长相等的正方形和正方形，按图1所示的方式摆放，沿虚线、剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形，则四边形形是正方形，请说明理由；(2)研究大小不等的两个正方形把边长不等的两个正方形和正方形，按图2所示的方式摆放，连接，过点D作，交于点M，过点M作，过点E作，与相交于点N．①证明四边形是正方形；②在图2中，将正方形和正方形沿虚线剪开后，能够拼接为正方形，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．类型3：特殊平行四边形中的探究型问题【例题3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中,点O、、、、、、……,都是平行四边形的顶点，点、、在轴正半轴上，，，，，，，，平行四边形按照此规律依次排列，则第个平行四边形的对称中心的坐标是（

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A． B． C． D．【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（

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A． B． C． D．【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：(1)如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；(2)如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在菱形中，，是对角线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．(1)如图1，当点在菱形内部时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；(2)如图2，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【变式4】．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）探究规律：如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系．（2）解决问题：如图2矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求．【变式5】．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___．应用：（1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积．（2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积．【变式6】．（22-23八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题．点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）．(1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和(2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______．(3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是______．【变式7】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：；则、、这三个数都是奇特数．(1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”）(2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积．【变式8】．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）](2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；(3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

类型4：特殊平行四边形中的阅读理解型问题【例题4】（22-23八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（

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A．1 B． C．2 D．【变式1】（22-23八年级下·四川南充·期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，为中点，、分别为、上一点，且，求证：．小明发现，延长到点，使，连接、，构造和，通过证明与全等、为等腰三角形，利用使问题得以解决如图．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在矩形中，为对角线中点，将矩形翻折，使点恰好与点重合，为折痕，猜想、、之间的数量关系？并证明你的猜想．

【变式2】（22-23八年级下·重庆渝北·期中）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值．小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②），并写出推理和计算过程．参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：如图③，已知和矩形，与交于点G，求