专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组（考题猜想易错必刷30题10种题型专项训练）（解析版）-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题02一元一次不等式与一元一次不等式组

（易错必刷30题10种题型专项训练）不等式的性质解一元一次不等式一元一次不等式的应用一元一次不等式组的整数解一元一次不等式组的应用不等式的解集一元一次不等式的整数解解一元一次不等式组由实际问题抽象出一元一次不等式组一次函数与一元一次不等式一．不等式的性质（共5小题）1．下列说法错误的是（）A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2【答案】C【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：C．2．下列不等式说法中，不正确的是（）A．若x＞y，y＞2，则x＞2 B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2 C．若x＞y，则2x＞2y D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2【答案】B【解答】解：A、∵x＞y，y＞2，∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；B、∵x＞y，∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；C、∵x＞y，∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；D、∵x＞y，∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；故选：B．3．如果a＜b．那么3﹣2a＞3﹣2b．（用不等号连接）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＜b，两边同乘﹣2得：﹣2a＞﹣2b，不等式两边同加3得：3﹣2a＞3﹣2b，故答案为：＞．4．设a＜0，且有|a|•x≤a，试化简：|x+1|﹣|x﹣3|＝﹣4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＜0，∴原不等式变形为﹣ax≤a，∴x≤﹣1∴|x+1|﹣|x﹣3|＝﹣（x+1）+（x﹣3）＝﹣4．故答案为：﹣4．5．已知关于x、y的方程组求：（1）若3x+3y＝18，求a值；（2）若﹣5x﹣y＝16，求a值．问题解决：（1）王题解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①+②可得3x+3y＝3a+3，又因为3x+3y＝18，则a值为5；（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n得，再将③+④得：（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，⋯⋯请根据王磊的解题思路求出m、n及a的值．问题拓展：（3）已知关于x，y的不等式组，若x+5y＝2，求a的取值范围．【答案】（1）5，（2）m＝1，n＝﹣3，a＝﹣1．（3）a＞1．【解答】解：（1）①+②得：3x+3y＝3a+3，∵3x+3y＝18，∴3a+3＝18，∴a＝5．故答案为：5．（2）∵（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，∴，∴m＝1，n＝﹣3，a＝﹣1．（3）已知关于x，y的不等式组，①×3得：3x+6y＞﹣3a+9④，②×（﹣1）得：﹣2x﹣y＞﹣4a⑤，④+⑤得：x+5y＞﹣7a+9，∵x+5y＝2，∴2＞﹣7a+9．∴a＞1．二．不等式的解集（共2小题）6．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1【答案】C【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＞m+1，不等式组的解集是x＞2，∴不等式，①解集是不等式组的解集，∴m+1≤2，m≤1，故选：C．7．如果关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【答案】B【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，∴m+1＜0，∴m＜﹣1，故选：B．三．解一元一次不等式（共2小题）8．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3【答案】D【解答】解：由mx+n＞0的解集为x＜，不等号方向改变，∴m＜0且﹣＝，∴＝﹣＜0，∵m＜0．∴n＞0；由nx﹣m＜0得x＜＝﹣3，所以x＜﹣3；故选：D．9．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则不等式＜1的解为x＞﹣10．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：不等式＜1可化为：[]＜1，化简得：3x﹣4（x+1）＜6，即﹣x＜10，即x＞﹣10，所以，不等式的解集为x＞﹣10．四．一元一次不等式的整数解（共1小题）10．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围9≤a＜12．【答案】见试题解答内容【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤；其正整数解为1，2，3，则3≤＜4，所以a的取值范围9≤a＜12．五．一元一次不等式的应用（共5小题）11．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9．如果|（x]|＝3，则x的取值范围为3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．【答案】3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．【解答】解：由题意可得，当x＞0时，|（x]|＝（x]＝3，则3＜x≤4，当x＜0时，|（x]|＝﹣（x]＝3，则﹣3＜x≤﹣2，故答案为：3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．12．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴31﹣m＜2m，解得：m＞，∵m是正整数，∴m最小值＝11，设购买树苗总费用为W＝20m+5（31﹣m）＝15m+155，∵k＞0，∴W随m的增大而增大，当m＝11时，W最小值＝15×11+155＝320（元）．答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．13．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．【答案】见试题解答内容【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数4x+21人．由题意得4x+21＜55，∴x＜8.51≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7解得7＜x≤9．∴7＜x＜8.5．因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．当宿舍8间时，住宿生53人，答：住宿生53人．14．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7；（2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是3≤x＜4；（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是；（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．【答案】（1）4，﹣7；（2）3≤x＜4；（3）；（4）﹣1或或1或2．【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．故答案为：4，﹣7．（2）如果[x]＝3．那么x的取值范围是3≤x＜4．故答案为：3≤x＜4．（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．解得：≤x＜2．∵3x+1是整数．∴x＝．故答案为：．（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，∴[x]＝x﹣a，∵4a＝[x]+1，∴a＝∵0≤a＜1，∴0≤＜1，∴﹣1≤[x]＜3，∴[x]＝﹣1，0，1，2．当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1，当[x]＝0时，a＝，x＝，当[x]＝1时，a＝，x＝1，当[x]＝2时，a＝，x＝2，∴x＝﹣1或或1或2．15．某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品．（1）请用含x或y的代数式填空完成表：包装袋型号AB甲类农产品质量（千克）2x3y乙类农产品质量（千克）3（60﹣x）5（90﹣y）（2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值．（3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值．【答案】（1）3y；3（60﹣x）；（2）x的值为40；y的值为60．（3）m的最大值为480，最小值为405．【解答】解：（1）由题意可以填表如下：包装袋型号AB甲类农产品质量（千克）2x3y乙类农产品质量（千克）3（60﹣x）5（90﹣y）故答案为：3y；3（60﹣x）．（2）由题意可得，，解得．∴即x的值为40；y的值为60．（3）设有x个A型包装袋包装甲类农产品，则有y＝2x个B型包装袋包装甲类农产品．∵用于包装甲类的A，B型包装袋的数量之和不少于90个，∴x+2x≥90，∴x≥30．∵90﹣2x≥0，∴x≤45；∴30≤x≤45，∴m＝2x+3（60﹣x）+6x+5（90﹣2x）＝﹣5x+630，∵﹣5＜0，∴当30≤x≤45时，m随x增大而减小，∴当x＝45时，m有小值405，当x＝30时，m有最大值480，∴m的最大值为480，最小值为405．六．解一元一次不等式组（共3小题）16．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2【答案】A【解答】解：因为不等式组有解，k＜2．故选：A．17．阅读下列材料，然后解答后面的问题．求下列不等式的解集：（x+2）（x﹣3）＞0我们知道：“两个有理数相乘，同号得正”，则：或解得：x＞3或x＜﹣2．求下列不等式的解集：①；②．【答案】见试题解答内容【解答】①解：∵两个有理数相乘，异号得负，∴或，解得：空集或﹣1＜x＜5，即不等式的解集为﹣1＜x＜5．②解：﹣1＞0，＞0，即＞0，∵两个有理数相乘，同号得正，∴或，解得：6＜x＜7或空集，即不等式的解集为6＜x＜7．18．解不等式组并写出它的正整数解．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，即不等式组的正整数解是1，2．七．一元一次不等式组的整数解（共4小题）19．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1【答案】C【解答】解：如图，由图象可知：不等式组恰有3个整数解，需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．故选：C．20．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）A．5 B．8 C．9 D．15【答案】B【解答】解：，解不等式①得x≤k，解不等式②得x＜7，由题意得k＜7，解关于y的方程2y＝3+k得，y＝，由题意得，≥1，解得k≥﹣1，∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数，∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，当k＝﹣1时，y＝＝1，当k＝0时，y＝＝，当k＝1时，y＝＝2，当k＝2时，y＝＝，当k＝3时，y＝＝3，当k＝4时，y＝＝，当k＝5时，y＝＝4，当k＝6时，y＝＝，∵为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5，∵﹣1+1+3+5＝8，∴符合条件的所有整数k的和为8．故选：B．21．若不等式组的最大整数解与最小整数解的差为3，则m的值可能为（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：，解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＜，∴原不等式组的解集为：，∴不等式组的最小整数解为2，由题意得：不等式组的最大整数解为5，∴，∴10＜m≤12，故选C．22．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：，由①得：x≤3，由②得：x＞a，∴不等式的解集为：a＜x≤3，∵关于x的不等式组有5个整数解，∴x＝﹣1，0，1，2，3，∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1．故答案为：﹣2≤a＜﹣1．八．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）23．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D．【答案】C【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1），∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，∴可列不等式组为：，即．故选：C．九．一元一次不等式组的应用（共1小题）24．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地有哪几种方案？（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：A地B地C地运往D地（元/立方米）222020运往E地（元/立方米）202221在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10＝140，解得：x＝50，∴2x﹣10＝90．答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；（2）由题意可得，，解得：20＜a≤22，∵a是整数，∴a＝21或22，∴有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米；（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21＝2873（元），第二种方案共需费用：22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21＝2876（元），所以，第一种方案的总费用最少．一十．一次函数与一元一次不等式（共6小题）25．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2【答案】B【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．26．如图直线l1：y＝x﹣1与l2：y＝ax+b的交点在y轴上，则不等式组的解集为（）A．无解 B．x＞﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1【答案】C【解答】解：∵x﹣1＜0的解集是x＜1，从图象可知ax+b＜﹣1的解集是x＞0，∴不等式组的解集为0＜x＜1，故选：C．27．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1或x＞2．28．如图，直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），那么不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2．【答案】1＜x＜2．【解答】解：∵直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点P（1，1），直线y＝mx+n交x轴于点（2，0），∴不等式0＜mx+n的解集是：x＜2，不等式mx+n＜kx+b的解集是：x＞1，∴不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集是1＜x＜2，故答案为：1＜x＜2．29．如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）．（1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围；（2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2），∴当y1＜y2时，x＞2；（2）将（2，2）代入y1＝﹣x+b，得b＝3，∴y1＝﹣x+3，∴A（6，0