专题3-2 平面直角坐标系（考题猜想 平移与坐标的变化关系及坐标变化规律6种题型）解析版-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（人教版）

专题3-2平面直角坐标系（考题猜想，平移与坐标的变化关系及坐标变化规律6种题型）题型1：点的平移【例题1】（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（

）A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度B．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度C．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度【答案】B【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法；【详解】解：，平移方法为向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度．故选：B．【变式1】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标中，点平移后的坐标是，按照同样的规律平移其它点，则下列符合这种变换要求是（）A．→ B．→C．→ D．→【答案】C【分析】先找到点A的平移规律，再分别按照相同的规律判断选项即可【详解】解：由点平移后的坐标是的平移规律是：向左平移4个单位，向上平移1个单位，解：A．按照相同的规律平移得到，故选项错误，不符合题意；B．按照相同的规律平移得到，故选项错误，不符合题意；C．按照相同的规律平移得到，故选项正确，符合题意；D．按照相同的规律平移得到，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了点的平移，准确找到点A的平移规律是解题的关键【变式2】（2021·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）移动到点P′（3，4），可以是将点P（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位【答案】C【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得结论．【详解】解：将点向上平移2个单位长度得到的点坐标为，故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律【变式3】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移得到点，则平移了（

）个单位长度？A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，点纵坐标不变，横坐标由变为，据此可求出平移长度．【详解】解：将点向左平移得到点，平移的单位长度为：，故选：C．题型2：线段的平移【例题2】（2024七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点和，现将线段沿着直线平移，使点与点重合，则平移后点坐标是()A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了点的平移，根据题意得出平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位，进而即可求解．【详解】解：点，点，平移后点、重合，平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位，点的对应点的坐标为，即．故选：D．【变式1】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知的坐标分别为．若将线段平移至，的坐标分别为，则的值为．【答案】0【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出a、b的值，从而得出答案．本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【详解】解：已知的坐标分别为．将线段平移至，的坐标分别为，故线段向上平移了2个单位，线段向右平移了3个单位，则，∴，故答案为：0【变式2】（23-24九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移后得线段，若点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为．【答案】【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移两个单位，向下平移两个单位，由平移性质得，点也是向右平移两个单位，向下平移两个单位得到点B的对应点D的坐标，即可作答．【详解】解：∵已知点，，将线段平移后得线段，若点A的对应点C的坐标为∴点向右平移两个单位，向下平移两个单位得到对应点C的坐标为，则点也是向右平移两个单位，向下平移两个单位得到点B的对应点D的坐标，即∴对应点D的坐标为故答案为：（3，1）【变式3】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，线段端点坐标分别为，若将线段平移至线段，A点的对应点为，且，则的值为．

【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后点的坐标判断出平移方式为向右平移8个单位长度，再向上平移4个单位长度，据此求出m、n的值即可得到答案．【详解】解：由平移前后点的坐标可知，平移方式为向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴，∴，故答案为：题型3：图形的平移【例题3】（2024·河南开封·一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解．【详解】解：，，都是的顶点，∴，，，即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点，∴，∵点是线段边的中点，∴点的坐标为，即，过点作轴，∴，∵，∴，∴，∴点是线段边的中点，∴，∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，又∵，，∴沿轴向右平移个单位，∴．故选：C．【变式1】（2023·山东青岛·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意，可画出如下图形：

∴点的坐标，故选：．【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，由可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．【详解】解：∵∴，∵，∴，∴将沿x轴正方向平移1个单位得到，∴点C是将A向右平移1个单位得到的∴点C是的坐标是，即．故答案为：．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，菱形位置如图所示，且，．(1)画出平面直角坐标系，写出点C的坐标；(2)将菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，画出平移后的菱形，若点在菱形内，其平移后的对应点为，写出的坐标．【答案】(1)见详解，(2)见详解，【分析】本题主要考查作图，涉及确定平面直角坐标系中点的坐标和点的平移，根据给定的点确定原点以及点C的坐标；根据平移得性质即可求得菱形和点．【详解】（1）解：如图，由图可知点，（2）∵菱形向左平移3个单位．再向上平移4个单位，∴点也向左平移3个单位．再向上平移4个单位，则点题型4：沿坐标轴运动的点的坐标规律探究【例题4】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．根据已知点的坐标总结规律即可得解．【详解】解：由的坐标可得：时，当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商．∵，∴点的坐标是即．故选：B【变式1】（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，一动点在平面直角坐标系中从原点出发按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2024次运动后的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据从原点开始点P每5次横坐标增加3，纵坐标以重复出现，求解即可．【详解】解：由数轴可知，从原点开始点P每5次横坐标增加3，点P在x轴上，∵，，∴点P运动2020次的坐标为，∴第2024次运动后的坐标，即从再运动4次后的坐标为．故选：D【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点的坐标是【答案】【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次运动到点，第5次接着运动到点，…，∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∵，则经过第47次运动后，动点P的横坐标为47，纵坐标为2，即经过第47次运动后，动点P的坐标是∶，故答案为∶【变式3】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）一个动点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第35秒时动点所在位置的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查点的坐标探索规律题，解决本题的关键是读懂题意，能够正确确定点运动的规律，从而可以得到到达每个点所用的时间．应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律．【详解】解：1秒时到了，9秒时到了，25秒时到了，49秒时到了，4秒时到了；16秒时到了；36秒时到了，由质点运动的路径，36秒时到了，则35秒时位于点，故答案为：（5，0）题型5：绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究【例题5】（23-24七年级下·辽宁营口·期中）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则______．【答案】43【分析】本题考查了图形与规律，利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．利用所给的图形找到规律是解题的关键．【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到，这时；第3圈有16个点，即到，这时；，依次类推，第圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则，即，故答案为：43．【变式1】（21-22七年级下·湖北十堰·期中）如图，，，，，，…按此规律，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】经观察分析所有点，除外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标循环次数余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点在第一象限；第一象限的点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…观察易得到点的横纵坐标．【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2；第二象限的点：……角标除以4余数为3；第三象限的点：……角标除以4余数为0；第四象限的点：……角标除以4余数为1；由上规律可知：，∴点在第一象限．观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……，∴第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的横纵坐标（n为角标）∴点的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标（n为角标）求解【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，一个机器人从点出发，向正东方向走米到达点，再向正北方向走米到达点，再向正西方向走米到达点，再向正南方向走米到达点，再向正东方向走米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了用坐标确定位置，由于一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点的坐标为，再向正北走到达点的坐标为，再向正西走到达点的坐标为，然后依此类推即可求出点的坐标，熟练掌握规律是解题的关键．【详解】解：根据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为∴当机器人走到点时，点的坐标是．故选：【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．【详解】解：由题意，∴向左移动2022个单位，即∴向左移动2023个单位，即∴故选：D题型6：图形变换的点的坐标规律探究【例题6】（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律．解此题的关键是计算前三个正方形的面积，从中找出规律．根据相似三角形的判定原理，得出，继而得知；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前三个正方形的面积，从中找出规律．数形结合找出规律是解决问题的关键．【详解】解：设正方形的面积分别为，，，，根据题意得，（同位角相等）．，，在中，根据勾股定理得，，，，，同理，得，由正方形的面积公式，得，，，，由此可得．第2023个正方形的面积为，故选：A．【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知．观察每次变换前后三角形的顶点的变化，按照这样的变换规律，则点An的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形，解题的关键是找出点的规律；先由，