2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1

2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将正确答案填在试卷第三页对应的题号下.）1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×1073．下列计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（2ab）3＝6a3b3 C．a3•a4＝a7 D．a2+a4＝a64．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°5．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．|a|＜|b| C．a＞﹣b D．b＜﹣a7．《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，则所列方程正确的是（）A．（x+4.5）﹣2x＝1 B．2x﹣（x+4.5）＝1 C．x-x+4.52=1 D．8．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（）A．y=1x B．y=x+1x二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分.请将正确答案填在试卷第三页对应的位置上.）9．若分式1x-4有意义，则实数x的取值范围是10．分解因式：3a3﹣12a＝．11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是．12．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，则圆锥的侧面积是14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为．15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE＝CF．若AD＝33，BD=3，则DE+DF的最小值是16．如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，长方形的两个顶点分别落在边OP，OQ上，设点C，D为长方形的格点，连接OC，恰好经过格点D，则OC的长为．三．解答题（本大题共有11小题，共102分.）17．（8分）计算：（1）4×cos30°﹣|1-3（2）解不等式组：1+x18．（8分）先化简(3x+1-x+1)÷x2-4x19．（8分）已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F．（1）如图1，求证：四边形AECF为矩形．（2）如图2，连接BF、DE分别交AE、CF于M、N两点，请直接写出图中的所有平行四边形．20．（8分）为了深入学习领会党的二十大精神，某校团委组织了两次“二十大知识竞赛”．从中随机抽取了30名学生两次竞赛成绩（百分制）的数据，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．两次竞赛学生成绩情况统计图：b．两次竞赛学生的获奖情况如下：奖项竞赛参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数8mn平均分738595第二次竞赛人数9516平均分748593（说明：成绩≥90，获卓越奖；80≤成绩＜90，获优秀奖；成绩＜80，获参与奖）c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90909191919192939394949495959698，根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；（3）下列推断合理的是．①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．21．（8分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是．（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．22．（8分）作图题：（1）如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．（2）①利用方格纸画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'，②判断△ABC的形状并说明理由．23．（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝°；（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.36424．（10分）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．25．（12分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：x（分钟）05101520…y1（克）2523.52014.57…y2（克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xAxB（填“＞”，“＝”或“＜”）．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1a（a＜0）与y轴交于点A（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）．（2）当B的纵坐标为3时，求a的值；（3）已知点P(12，-1a)，Q（27．（12分）问题解决（1）如图1，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且AD＝CE．则线段AE，BD的数量关系为，∠BFE的度数为；类比迁移（2）如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D，E分别在AC，BC边上，AE，BD交于点F，且CE=①判断线段AE，BD之间的数量关系并说明理由；②求∠BFE的度数．拓展探究（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，若点D是边AC上一动点，点E是射线CB上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿AC边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中CF长的最大值和最小值．

2024年江苏淮安中考数学模拟题临考安心卷1参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将正确答案填在试卷第三页对应的题号下.）1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【分析有据】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．【解题有法】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107【分析有据】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题有法】解：1300000＝1.3×106，故选：C．3．下列计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（2ab）3＝6a3b3 C．a3•a4＝a7 D．a2+a4＝a6【分析有据】由完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项对选项进行一一解答即可．【解题有法】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故不符合题意．B、（2ab）3＝8a3b3，故不符合题意．C、a3•a4＝a7，故符合题意．D、a2与a4不是同类项，不能合并，故不符合题意．故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析有据】解法一：连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．解法二：用圆内接四边形的性质解题．【解题有法】解：解法一：如图，连接OC，∵∠ADC＝115°，∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，∴∠BAC=12∠BOC＝25°，故选：解法二：∵∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，故选：A．5．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析有据】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解题有法】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10．故选：D．6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．|a|＜|b| C．a＞﹣b D．b＜﹣a【分析有据】直接利用数轴得出a，b的取值范围，进而得出答案．【解题有法】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，则A、a＞﹣2，故此选项错误，不合题意；B、|a|＞|b|，故此选项错误，不合题意；C、a＜﹣b，故此选项错误，不合题意；D、b＜﹣a，故此选项正确，符合题意．故选：D．7．《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，则所列方程正确的是（）A．（x+4.5）﹣2x＝1 B．2x﹣（x+4.5）＝1 C．x-x+4.52=1 D．【分析有据】根据用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，可知绳子比木头长4.5尺；根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可知木头比绳子的一半长一尺，然后即可列出相应的方程．【解题有法】解：设木头长为x尺，由题意可得：x-x+4.52=8．如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图像判断可能是下列的哪一个函数（）A．y=1x B．y=x+1x【分析有据】由图象可知，当x＝0时，函数值不存在，当x＝﹣1时，y＜0，当x＜0时，y随x的增大先增大后减小；据此即可判断．【解题有法】解：A、y=1x，当x＜0时，yB、y=C、y=x2+1x，当x＝﹣D、y=-xx+1，当x＝0时，y二．填空题（共8小题）9．若分式1x-4有意义，则实数x的取值范围是x≠【分析有据】根据分式分母不为0进行计算即可．【解题有法】解：∵分式1x-4有意义，∴x﹣4≠0，∴x≠4，故答案为：x10．分解因式：3a3﹣12a＝3a（a+2）（a﹣2）．【分析有据】首先提取公因式3a，进而利用平方差公式进行分解即可．【解题有法】解：3a2﹣12a＝3a（a2﹣4）＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是m＞1．【分析有据】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解题有法】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，解得：m＞1．故答案为：m＞1．12．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于【分析有据】由旋转的性质可得∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB=2，可证△AFB′，△ADB和△BEF为等腰直角三角形，分别求出S△ADB，S△BEF【解题有法】解：如图，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴∠B＝∠C＝45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB=2∴△AFB′是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AF=22AB′＝∴BF＝AB﹣AF=2-∵∠B＝45°，EF⊥BF，AD⊥BD，∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形，∴AD＝BD=22AB＝1，EF＝BF=∴图中阴影部分的面积＝S△ADB﹣S△BEF=1=1=2故答案为：2-13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43，则圆锥的侧面积是60π【分析有据】由圆锥高为8，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=43【解题有法】解：∵AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα=∴tanα=∴BO＝6，∴AB＝10，根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×6×10＝60π，故答案为：60π．14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为1或﹣1．【分析有据】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，可以得到该函数的对称轴，再根据当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4和二次函数的性质，可以得到|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，然后求解即可．【解题有法】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，∴该函数的对称轴为直线x＝1，∵当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，∴当|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，解得a1＝1，a2＝﹣1，故答案为：1或﹣1．15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，CE＝CF．若AD＝33，BD=3，则DE+DF的最小值是21【分析有据】连接CD，将CD绕点C逆时针旋转120°得到CG，构造△ECD≌△FCG（SAS），推出DE+DF＝GF+DF，可得当点G，F，D在同一直线上时，DE+DF取最小值，作CH⊥AB于点H，CI⊥DG于点I，利用等腰三角形三线合一的性质及锐角三角函数解直角三角形即可．【解题有法】解：连接CD，将CD绕点C逆时针旋转120°得到CG，连接GF，则CG＝CD，∠GCD＝120°＝∠ACB，∴∠GCD﹣∠BCD＝∠ACB﹣∠BCD，即∠ECD＝∠FCG，在△ECD和△FCG中，CD=∴△ECD≌△FCG（SAS），∴DE＝GF，∴DE+DF＝GF+DF，∴当点G，F，D在同一直线上时，DE+DF取最小值，最小值为DG的长度．连接DG，作CH⊥AB于点H，CI⊥DG于点I，∵AD=33，∴AB=∵CH⊥AB，AC＝BC，∴BH=12∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠B∴tan∠∴33∴CH＝2，∴CD=∵CD＝CG，∠DCG＝120°，∴∠CDG∵CI⊥DG，∴cos∠∴32∴DI=∴DG=2即DE+DF的最小值是21．故答案为：21．16．如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，长方形的两个顶点分别落在边OP，OQ上，设点C，D为长方形的格点，连接OC，恰好经过格点D，则OC的长为3+2【分析有据】先求解CD=2，证明OD＝【解题有法】解：如图，∵边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在Rt△POQ内，点C，D为长方形的格点，∴CD=12+12=∵∠POQ＝90°，∴DO＝DM＝DQ＝3，∴CO=3+故答案为：3+2三．解答题（共11小题）17．计算：（1）4×cos30°﹣|1-3（2）解不等式组：1+x【分析有据】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解题有法】解：（1）4×cos30°﹣|1-＝4×32-（3-1＝23-3+=3-（2）1+x解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＜4，∴该不等式组的解集为x≤1．18．先化简(3x+1-x+1)÷x2-4x【分析有据】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．【解题有法】解：原式＝（3x+1=3-x2=4-x2=-(x=-x∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，∴当x＝0时，原式=-0+20-219．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F．（1）如图1，求证：四边形AECF为矩形．（2）如图2，连接BF、DE分别交AE、CF于M、N两点，请直接写出图中的所有平行四边形．【分析有据】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义即可得出∠AEB＝∠EAD＝∠BCF＝∠CFD＝90°，再根据四个角为直角的四边形为矩形即可得证；（2）根据平行四边形的判定及性质即可判定所有的平行四边形．【解题有法】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，∴∠AEB＝∠EAD＝∠BCF＝∠CFD＝90°，∴四边形AECF为矩形．（2）解：由（1）可知：四边形AECF为矩形，∴AF＝CE，ME∥FN，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴FD＝BE，FD∥BE，∴四边形FDEB是平行四边形，∴MF∥EN，∵ME∥FN，MF∥EN，∴四边形MFNE是平行四边形，由（1）及题意可知：四边形ABCD、AECF为平行四边形，∴图中所有的平行四边形为：四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE．20．为了深入学习领会党的二十大精神，某校团委组织了两次“二十大知识竞赛”．从中随机抽取了30名学生两次竞赛成绩（百分制）的数据，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．两次竞赛学生成绩情况统计图：b．两次竞赛学生的获奖情况如下：奖项竞赛参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数8mn平均分738595第二次竞赛人数9516平均分748593（说明：成绩≥90，获卓越奖；80≤成绩＜90，获优秀奖；成绩＜80，获参与奖）c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90909191919192939394949495959698，根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是96分，在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；（3）下列推断合理的是①③．①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．【分析有据】（1）根据成绩统计图可直接得出结果；（2）在统计图中直接标出点即可；（3）根据中位数，平均数的计算方法及统计图依次判断即可．【解题有法】解：（1）根据竞赛成绩统计图，第一次竞赛成绩在80≤成绩＜90之间的有12人，成绩≥90的有10人，∴m＝12，n＝10；（2）如图所示：（3）①第二次竞赛成绩数据中参与奖及优秀奖的人数为9+5＝14人，第15、16名学生的成绩为90、90，∴第二次竞赛成绩数据的中位数是90；故推断合理；②由统计图得，两次都获得卓越奖的人数有9人，故推断不合理；③第二次竞赛的平均成绩为：74×9+85×5+93×1630第一次竞赛的平均成绩为：73×8+85×12+95×1030故答案为：①③．21．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是13（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．【分析有据】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解题有法】解：（1）小张从中随机抽到卡片A的概率为13故答案为：13（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小张和小王两人都抽到卡片C的结果有1种，∴两人都抽到卡片C的概率是1922．作图题：（1）如图，已知∠AOB及点C、D两点，请利用直尺和圆规作一点P，使得点P到射线OA、OB的距离相等，且P点到点C、D的距离也相等．（2）①利用方格纸画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'，②判断△ABC的形状并说明理由．【分析有据】（1）连接CD，分别作线段CD垂直平分线和∠AOB的平分线，其交点即为所求；（2）①分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；②利用勾股定理逆定理求解即可．【解题有法】解：（1）如图所示，点P即为所求．（2）①如图所示，△A'B'C'即为所求．②∵AB2＝32+42＝25，AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形．23．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝20°；（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364【分析有据】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．【解题有法】解：（1）如图：∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，故答案为：20；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，∵∠CBE＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，∴BE＝AB•sin60°＝24×32=123在Rt△BGC中，BC＝10cm，∴BG＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（cm），∴CF＝GE＝BE﹣BG＝123-9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm∴点C到AD的距离约为11.4cm．24．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD的长．【分析有据】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程x2【解题有法】（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图，∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB．在△CAO和△BAO中，AO=∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥半径OC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD=O设AC＝x，则AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2解得x=2∴AC=2∴AD＝AB+BD＝AC+BD=225．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：x（分钟）05101520…y1（克）2523.52014.57…y2（克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA＜xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析有据】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．【解题有法】解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴c=25-0.04×∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴c=2510a∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．（3）由题意，当y＝4时，场景A中，xA＝20，场景B中，4＝﹣xB+25，解得：xB＝21，∴xA＜