2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（下）调研数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市如皋市高一（下）调研数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,1)，b=A.2 B.12 C.−2 2.若z+2z−=A.−2 B.2 C.−2i3.已知单位向量e1，e2满足(e1+e2)A.π4 B.π3 C.2π4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2siA.π6 B.π3 C.2π5.已知α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列结论正确的是(

)A.若m/​/α，n/​/α，则m/​/n B.若m⊥α，n⊥α，则m6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足条件A=π6，c=2A.(1,2) B.(2,7.如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，半径为r的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为25π，则r1A.5

B.5π

C.10

D.8.已知∀x∈(0,π4)A.1 B.2 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知sin2α=cosA.2π B.73π C.410.在复平面内，OZ1，OZ2对应的复数分别为z1=12+A.−32+12i B.11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC，CCA.若G为BB1的中点，则A1G/​/平面AEF

B.平面AEF截长方体A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.2sin35°13.已知空间四边形ABCD的对角线AC=22，BD=2，M，N分别为AB，14.已知O为坐标原点，函数y=cosωx(π<ω<2π)图象与x轴的一个交点为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，bc+1+cb+116.(本小题15分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1上一点．

(117.(本小题15分)

已知sin(α+β)=−255,sin18.(本小题17分)

已知|OB|=2|OA|=2，OA与OB的夹角为π3，C为△ABO外接圆上一点，OC与线段AB交于点D．

(1)若BD19.(本小题17分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，BC⊥平面ABE，BC/​/AD，且AD=2BC=2，F是DE的中点．

(1)证明：DA

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因为a=(2,1)，b=(cosα,sinα)，且2.【答案】D

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，

代入z+2z−=3−i，得(a+bi)+2(3.【答案】B

【解析】解：因为单位向量e1，e2满足(e1+e2)⋅e1=32，

所以e12+e1⋅e2=4.【答案】B

【解析】解：因为2sinC−sinAcosA=sinBcosB，

所以2sinCc5.【答案】D

【解析】解：对于A、若m/​/α，n/​/α，则m/​/n或m与n相交或m与n异面，故A错误；

对于B、若m⊥α，n⊥α，则m/​/n，故B错误；

对于C、若β⊥α，γ⊥α，则β/​/6.【答案】A

【解析】解：因为A=π6，c=2的△ABC有两个，

所以asinπ6=2sinC，

7.【答案】A

【解析】解：根据题意，画出几何体的轴截面，如图所示：

设O1、O2分别是上、下底面圆的圆心，O为内切球的球心，

过点O作OM⊥BC，垂足为M，连接OB、OC，

由切线定理知，BM=BO2=r2，CM=CO8.【答案】C

【解析】解：∵x∈(0,π4)，

∴0<tanx<1，tan(x+π4)>1，tan2x>0，

∴∀x∈(0,π4)，tan(x+π9.【答案】AB【解析】解：sin2α=cos(32π+α)=sinα，

所以2sinαc10.【答案】AC【解析】解：因为z1=12+32i，z2=cosθ+isinθ，且OZ1⊥OZ2，

所以(12,311.【答案】AC【解析】解：对于A选项，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，BC1，A1G，则GQ//BC1//EF，

∵AA1=QE，AA1//QE，

∴四边形AA1QE是平行四边形，∴A1Q//AE，

又A1Q∩GQ=Q，AE∩EF=E，A1Q、GQ⊂平面A1GQ，AE、EF⊂平面AEF，

∴平面A1GQ/​/平面AEF，

又A1G⊂平面A1GQ，

∴A1G//平面AEF，即A选项正确；

对于B选项，连接AD1，D1F，AE，则EF/​/AD1，

∴A，E，F，D1四点共面，

∴平面AEF截长方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为四边形AEFD1，即B选项错误；

对于C选项，将平面AA1B1B与平面BB1D1D沿12.【答案】3【解析】解：2sin35°−3s13.【答案】45°【解析】解：如图，

取AD中点G，连接MG，NG，

则BD//GM，CD//NG，

∴异面直线AC和BD所成的角即为∠MGN(或其补角)，

∵AC=22，BD=2，M、N分别为AB、CD的中点，

∴NG=2，14.【答案】3π【解析】解：令ωx=π2+kπ,k∈Z，得x=π2ω+kπω,k∈Z，

所以A(π2ω+kπω,0)，k∈15.【答案】解：(1)因为bc+1+cb+1=1，a=1，

整理可得：b2+c2=bc+1，

即b2+c2−a2=【解析】(1)由题意及余弦定理可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；

(16.【答案】证明：(1)连接B1D1，交A1C1于Q，可得Q为B1D1的中点，连接QO，O为底面ABCD的中心，

由题意可得D1Q//OB，且D1Q=OB，

所以四边形OBQD1是平行四边形，所以D1O//QO，

BQ⊂平面A1BC1，D1O⊄平面A1BC1，

所以D1O/​/平面A1BC【解析】(1)连接B1D1，交A1C1于Q，由题意可证得四边形OBQD1是平行四边形，可证得D1O//QO，进而可证得结论；

17.【答案】解：(1)∵α∈(0,π4),β∈[−π2,0]，

∴2α∈(0,π2)，α+β∈(−π2,π4)，

又sin(α+β)=−255,si【解析】(1)由已知分别求出cos2α与cos(α+β)的值，再由sin(18.【答案】解：(1)因为|OB|=2|OA|=2，OA与OB的夹角为π3，

所以OA⋅OB=1×2×12=1，

若BD=2DA，则AD=13AB=13(OB−OA)，

所以OD⋅AB=(OA+AD)⋅(OB−OA)=[OA+13(OB【解析】(1)以OA，OB为基底，表示目标向量，再根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；

(2)(ⅰ)易知∠BOC19.【答案】(1)证明：取AE的中点G，连接BG，GF，

因为F是DE的中点，所以GF/​/AD，AD=2GF，

又BC/​/AD，且AD=2BC，所以GF/​/BC，GF=BC，

所以四边形BCFG是平行四边形，所以CF//BG，

因为BC⊥平面ABE，BC/​/AD，

所以AD⊥平面ABE，

又BG⊂平面ABE，所以AD⊥BG，

所以DA⊥CF．

(2)解：由(1)知CF//BG，

所以∠DBG就是直线CF与直线DB所成角，即cos∠DBG=64，

设AG=x(x>0)，

由勾股定理知，DG=4+x2，BG=4−