上海市杨浦区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市杨浦区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分。1．（3分）函数y＝sinx的最小正周期是．2．（3分）已知10a＝3，10b＝4，则10a+b的值是．3．（3分）若log2x＝4，则x的值是．4．（3分）若tanα＝﹣2，则tan（π﹣α）的值是．5．（3分）函数y＝的定义域为．6．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是．7．（3分）已知，则cos2α＝．8．（3分）已知tanα＝2，tanβ＝3，则cot（α+β）．9．（3分）函数y＝log3（x2﹣2x+4）的值域为．10．（3分）设x∈R，则方程|x﹣2|+|2x+3|＝|3x+1|的解集为．11．（3分）甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店．12．（3分）定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，设全集为U，集合A（A﹣B）∪（B﹣A）＝U，则下列结论正确的是．（填序号）①A⊇B；②；③A∩B＝∅；④；⑤A∪B＝U二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（3分）设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则ac＞bc C．若，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b14．（3分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要15．（4分）函数的图像是（）A． B． C． D．16．（4分）对于任意，不等式（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）2≥m（*）有以下两个结论：①当m＜4时，对于任意实数a，不等式（*）；②对于任意实数a，总存在m＞9，使不等式（*）（）A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{1}，集合B＝{x|x2﹣3x+a＝0，x∈R}．（1）若B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的值．18．（8分）解下列不等式：（1）|2x﹣3|≤1（2）19．（10分）是否存在正数a，使得是偶函数，求出a的值；若不存在20．（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，完成两个任务的研究．（1）小王获得了以下信息：a．教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b．在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；c．从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；d．教学楼AB的高度是20米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．（2）小李获得了以下信息：a．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米b．大屏幕的高度PQ是2米c．当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．21．（12分）若定义域为R的函数y＝f（x）满足：对于任意x∈R，都有f（x+π）（x）+f（π），则称函数y＝f（x）（1）判断函数y＝cosx是否具有性质P，并说明理由；（2）若函数具有性质P，求出ω和φ的值．（3）若函数y＝f（x）具有性质P，且当x∈（0，f（x）＝cosx，求方程f（x）（m∈R）的解的个数．

2023-2024学年上海市杨浦区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分。1．（3分）函数y＝sinx的最小正周期是2π．【分析】由已知结合正弦函数的周期公式即可求解．【解答】解：根据正弦函数的性质可知，y＝sinx的最小正周期为2π．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期公式的应用，属于基础题．2．（3分）已知10a＝3，10b＝4，则10a+b的值是12．【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为10a＝3，10b＝4，则10a+b＝10a×10b＝6×4＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．3．（3分）若log2x＝4，则x的值是16．【分析】由已知结合指数及对数的转化公式即可求解．【解答】解：因为log2x＝4，所以x＝44＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了指数及对数的转化公式的应用，属于基础题．4．（3分）若tanα＝﹣2，则tan（π﹣α）的值是2．【分析】利用诱导公式即可求解．【解答】解：若tanα＝﹣2，则tan（π﹣α）＝﹣tanα＝2．故答案为：4．【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．5．（3分）函数y＝的定义域为{x|x≠0}．【分析】化分数指数幂为根式，再由分母不为0求解函数的定义域．【解答】解：∵y＝＝，∴函数的定义域为{x|x≠8}．故答案为：{x|x≠0}．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6．（3分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是12π．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可得解．【解答】解：∵扇形的圆心角为＝120°，∴S扇形＝＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题．7．（3分）已知，则cos2α＝．【分析】利用cos2α＝1﹣2sin2α，即可得出结论．【解答】解：∵，∴cos6α＝1﹣2sin8α＝1﹣＝故答案为：．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（3分）已知tanα＝2，tanβ＝3，则cot（α+β）﹣1．【分析】根据两角和的正切公式可求出tan（α+β）的值，然后即可得出cot（α+β）的值．【解答】解：，∴．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两角和的正切公式，是基础题．9．（3分）函数y＝log3（x2﹣2x+4）的值域为{y|y≥1}．【分析】由已知结合对数函数及二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为x2﹣2x+8＝（x﹣1）2+4≥3，所以y＝log3（x4﹣2x+4）≥7．故答案为：{y|y≥1}．【点评】本题主要考查了二次函数及对数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题10．（3分）设x∈R，则方程|x﹣2|+|2x+3|＝|3x+1|的解集为．【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出结果．【解答】解：利用分段函数进行求解：当x≥2时，x﹣2+8x+3＝3x+3恒成立；当﹣时，2﹣x+2x+6＝3x+1，不成立；当﹣时，2﹣x+2x+5＝﹣3x﹣1，不成立；当x时，2﹣x﹣2x﹣4＝﹣3x﹣1，综上所述：方程成立的x的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：绝对值方程的解法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11．（3分）甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完11天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店．【分析】设从第x天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店，则有480﹣（x﹣1）×20≤475×（1﹣5%）x﹣1，借助计算器求解即可．【解答】解：设从第x天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店，由题意可得480﹣（x﹣1）×20≤475×（1﹣8%）x﹣1，即500﹣20x≤475×0.95x﹣6，所以475×0.95x﹣1+20x≥500，当x＝10时，475×4.95x﹣1+20x≈499＜500，当x＝11时，475×0.95x﹣2+20x≈504＞500，所以从11天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店．故答案为：11．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题．12．（3分）定义集合A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，设全集为U，集合A（A﹣B）∪（B﹣A）＝U，则下列结论正确的是②③⑤．（填序号）①A⊇B；②；③A∩B＝∅；④；⑤A∪B＝U【分析】利用新定义、补集、交集、并集、子集定义直接求解．【解答】解：∵全集为U，集合A，∴A∪B＝U，A∩B＝∅；A⊇B不成立，故①错误；A⊆，故②正确；∩B＝B，故④错误．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查集合的运算，考查新定义、补集、交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（3分）设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，则ac＞bc C．若，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b【分析】结合不等式性质检验选项A，举出反例检验选项B，C，D即可判断．【解答】解：由不等式的性质可知，当a＞b时，A正确；当c＝0时，B显然错误；当a＝﹣1，b＝4时，C．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．14．（3分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【分析】举出反例可判断充分性不成立，结合函数单调性定义检验必要性．【解答】解：因为函数y＝f（x）的定义域为R，若f（2）＜f（8），8]上不一定单调递增，例如f（x）＝（x﹣4）6，满足f（2）＜f（4），但在[2但f（x）在[2，4]上是严格增函数时，即“f（2）＜f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]是严格增函数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了函数单调性的判断，属于基础题．15．（4分）函数的图像是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，分析f（x）的奇偶性排除A、C，利用特殊值排除B，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），排除A、C，又由f（1）＝＞0．故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数的特殊值，属于基础题．16．（4分）对于任意，不等式（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）2≥m（*）有以下两个结论：①当m＜4时，对于任意实数a，不等式（*）；②对于任意实数a，总存在m＞9，使不等式（*）（）A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误【分析】对于①，转化为m≤（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）2，通过换元可得结论；对于②，利用①，可得结论．【解答】解：对于①，由不等式（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）2≥m，得m≤（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）2，因为（3+2sinθcosθ）2+（asinθ+acosθ）6＝[（sinθ+cosθ）2+2]8+a2（sinθ+cosθ）2＝（sinθ+cosθ）3+（4+a2）（sinθ+cosθ）5+4，设t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），]，则θ+，]，sin（θ+，7]，所以t∈[1，]，所以t8∈[1，2]，设x＝t2，则f（x）＝x2+（4+a8）x+4，x∈[1，因为x＝6+a2≥4，二次函数的对称轴为x＝﹣，所以f（x）在x∈[5，2]上单调增，所以f（x）的最小值为f（x）min＝f（1）＝9+a6，最大值为f（x）max＝f（2）＝4+2（5+a2）+4＝24+8a2，所以当m＜4时，对于任意实数a，命题①正确；对于②，对于任意实数a，使不等式（*）成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{1}，集合B＝{x|x2﹣3x+a＝0，x∈R}．（1）若B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的值．【分析】（1）根据集合为空集转化为方程无解的情况，进行求解即可．（2）根据集合的包含关系即可求解．【解答】解：（1）若B＝∅，则方程x2﹣3x+a＝7无解，所以有判别式Δ＝9﹣4a＜8，解得a＞．（2）因为A⊆B，所以集合A为集合B的子集，即8为方程x2﹣3x+a＝4的解，所以1﹣3+a＝4，解得a＝2．【点评】本题需要注意熟知空集的性质，以及子集的性质即可．18．（8分）解下列不等式：（1）|2x﹣3|≤1（2）【分析】（1）直接利用绝对值不等式的解法求出结果；（2）直接利用分式不等式的解法求出结果．【解答】解（1）|2x﹣3|≤7，整理得﹣1≤2x﹣5≤1，故解集为[1，4]．（2），整理得，故，整理得，转换为（x﹣4）（x﹣11）＜8，解得4＜x＜11．故不等式的解集为（4，11）．【点评】本题考查的知识点：绝对值不等式的解法，分式不等式的解法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19．（10分）是否存在正数a，使得是偶函数，求出a的值；若不存在【分析】由已知结合偶函数定义即可求解．【解答】解：若是偶函数，即＝＝，整理得，ax＝8x，所以a＝4，即存在a＝4，使得f（x）＝．【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，属于基础题．20．（12分）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，完成两个任务的研究．（1）小王获得了以下信息：a．教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b．在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；c．从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；d．教学楼AB的高度是20米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．（2）小李获得了以下信息：a．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米b．大屏幕的高度PQ是2米c．当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．【分析】（1）在△AMC中，利用正弦定理可得MC，从而确定CD长度；（2）利用两角差的正切公式，基本不等式即可确定．【解答】解：（1）由题意知，且可知∠AMC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∠ACM＝15°+30°＝45°，⇒∠CAM＝180°﹣105°﹣45°＝30°，由正弦定理可得，则体育馆的高度CD为10米；（2）设ND＝x，则，，∴＝，当且仅当时，∠PNQ取到最大值．【点评】本题考查正弦定理，两角差的正切公式，基本不等式，属于中档题．21．（12分）若定义域为R的函数y＝f（x）满足：对于任意x∈R，都有f（x+π）（x）+f（π），