制程统计与分析基础

制程统计与分析基础——品管培训教材目录概率介绍正态分布数学期望、方差与标准差制程能力分析制程重量的分析与管制☞概率介绍必然事件：在一定条件下必然发生的事件，用U

表示；不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，用V表示；随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，用A、B……表示。☞概率介绍概率：随机事件A发生的可能性大小，用p表示；P（A）=p☞概率介绍分析：某企业每班生产成品n件，其中正品m件，故在该班正品发生的频率p=m/n案例：某企业白班生产成品100件，其中抽验20件，合格18件，请问合格品出现的频率是多少？答：p=18/20=0.900☞概率介绍抽检件数106015060090012001800正品件数75313154882010911631正品频率0.7000.8830.8730.9130.9110.9090.906讨论：频率m/n本身是不确定的，随着实验次数的增加，频率总是在某一常数附近摆动，而且n愈大，频率与这个常数的偏差愈小，而这个常数就是概率。☞概率介绍概率的性质：0≤P（A）≤1P（U）=1P（V）=0☞正态分布随机变量离散型：随机变量的可能取值能够一一列出，如抽检每班生产的产品；非离散型（连续型）：随机变量的所有可能值不能一一列出，如农作物的亩产量；☞正态分布x1x20x3x4x5xp(x)离散型分布图xp(x)非离散型分布图注：x—随机变量；p(x)—概率☞正态分布小结：（随机变量的概率特性）p(x)>0∑p(x)=1∫p(x)dx=1(-∞<x<+∞)p(a<x≤b)=∫p(x)dx

（x取值【a,

b

】）（非离散型曲线性质）☞正态分布小结：由直方图衍生出的分布趋势图可以反映出正态分布的特性直方图分布图☞正态分布随机变量的分布密度函数：p(x)=e-(x-µ)2/2σ2/σ(2π)1/2(σ,μ>0;-∞<x<+∞)π:圆周率;e:自然对数的底σ:正态分布的均值;μ:正态分布的标准差;随机变量服从参数μ,σ的正态分布,记做N(μ,σ2)☞正态分布公式简化来分析正态分布：当σ=1、μ=0时，

p(x)=e-x2/2/(2π)1/2

此为标准正态分布，其曲线称为标准正态分布曲线；其余N(μ,σ2)，通过φ(x)=p((x-μ)/σ)来转化.☞正态分布小结:(正态分布的性质)p(x)>0,曲线是位于x轴上方的连续曲线;p(x)以x=μ为中心左右对称,即(μ-x)=(μ+x);p(x)在(-∞,μ)内单调递增,在(μ,+∞)内单调递减,在x=μ处有极大值1/σ(2π)1/2p(x)在x=μ+σ处有拐点;当x→±∞时,x轴为渐近线.☞正态分布固定σ时,μ的变化:

μ增大,曲线向右平移;

μ减小,曲线向左平移;固定μ时,σ的变化:

σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;

σ越小,曲线越“高瘦”,总体分布越集中.☞正态分布练习:求:(1)f(x)的最大值;(2)简易描绘此正态分布曲线.☞正态分布在区间(μ-σ，μ+σ)、(μ-2σ，μ+2σ)、(μ-3σ，μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%故：实践操作中主要研究区间(μ-3σ，μ+3σ)的特性。▷对于正态分布N(μ,σ2)总体取值的概率：

☞数学期望、方差与标准差数学期望对某种产品的水分进行m次测量，有m1次测得结果为x1，m2次测得结果为x2，…，xk次测得结果为xk，则测得平均值为：ξ=（x1m1+x2m2+…+xkmk）/n=∑ximi/n

其中m1+m2+…+mk=n，mi为xi出现的频数，mi/n为xi出现的频率（修正为概率）。故：此平均值为随机变量所取值与对应的概率乘积之和。☞数学期望、方差与标准差定义：数学期望是概率意义下的平均值，也称均值；正态分布N(μ,σ2)的参数μ是ξ的数学期望

μ=（∑xn）/n☞数学期望、方差与标准差描述随机变量分布的离散程度的指标：极差：R=max(x1，x2…xn)-min(x1，x2…xn)方差：σ2=(∑(xi-x)2)/(n-1)标准差：σ=【(∑(xi-x)2)/(n-1)】1/2☞数学期望、方差与标准差案例：今取样某种产品10个，分为两组进行水分测定，得出结果如下：A组：65、60、80、75、70B组：44、69、70、71、96讨论：(1)ξA=ξB=70(2)RA=20RB=52

因RB>RA，故B组变量值离散程度大分析：极差分析仅仅考虑最大值与最小值之差，而没有考虑其他数据，因此只能粗略的反映离散程度。☞数学期望、方差与标准差每组数据的放大（由5个→25个）A组：65、60、80、75、70、61、60、60、61、60、62、78、79、80、80、80、79、61、80、62、79、78、61、60、79

RA=20σ2A=81.4B组：44、69、70、71、96、68、69、71、70、72、68、69、69、70、71、71、72、70、69、69、70、71、70、71、70

RB=52σ2B=57.5讨论：从整体的分析来看，B组的离散程度小于A组。☞数学期望、方差与标准差方差公式的推导：算术平均值：x=∑xn/n离差之和：A=∑(xn-x)因离差存在正负值，正负相抵后A=0，故采用平方的方法来解决正负相抵的问题；A2=∑(xn-x)2☞数学期望、方差与标准差自由度：f=n-1（注：自由度指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数）总体方差的无偏估计值（样本方差）：σ2=(∑(xi-x)2)/(n-1)样本标准差：σ=【(∑(xi-x)2)/(n-1)】1/2☞数学期望、方差与标准差使用范围统计量定义公式计算公式总体方差(

2)(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n标准差()√(X-)2/n√(X2-(X)2/n)/n样本方差(S2)(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)标准差(S)√(X-Xm)2/(n-1)√(X2-(X)2/n)/(n-1)方差与标准差的公式摘要☞数学期望、方差与标准差方差和标准差时表示一组数据离散程度的最好指标，是最常用的差异量数。其特点有：1、反应灵敏，每个数据变化都应在方差上体现；2、计算严密；3、容易计算；4、适合代数运算；5、受抽样变动影响小；6、简单明了；7、容易受极端数据影响。☞制程能力分析精密度与准确度精密度够准确度够精密准确均够不准确也不精密☞制程能力分析名词定义USL(UpperSpecLimit)：规格上限LSL(LowerSpecLimit)：规格下限μ：规格目标值，一般而言规格公差(T)：规格上限与规格下限的差距，即USL-LSL制程能力指标制程准确度

Ca(Capabilityofaccuracy)制程精密度

Cp(Capabilityofprecision)制程能力指数

Cpk(Capabilityofprocessindex)☞制程能力分析案例：评价瓦楞纸箱是否符合要求？（尺寸、耐压强度、耐破强度等）以耐压强度该指标为例进行说明：耐压强度计算公式：P=KG（n-1）/S式中P----纸箱耐压强度，kgf/cm2

G----纸箱装货后重量，kgf/cm2

n----堆码层数

K----堆码安全系数

S----箱底面积，cm2堆码安全系数根据贮存期和贮存条件决定，国标规定：

贮存期小于30d，取K=1.6

贮存期30d-100d，取K=1.65

贮存期大于100d，取K=2.0

☞制程能力分析假设耐压强度（简化）标准要求为180±20kgf，抽检结果如下：175、175、180、185、176、180、177、179、183、179、173、186计算得：x=179kgfσ=4.09kgf☞制程能力分析制程准确度Ca（CapabilityofAccuracy）Ca：衡量制程平均值与目标值之一致性，或称K值；Ca的意义如下：单边规格则无法计算Ca；Ca衡量制程之平均水准，但没有考虑到制程变异程度。USLLSLμ☞制程能力分析Ca值等级判断：Ca愈接近零表示制程准确度愈好计算1：=(179-180)/(40/2)*100%=-5%等级Ca值品质状况/处理原则A0≦|Ca|≦6.25%制程准确度达到水准，制程稳定B6.25%≦|Ca|≦12.5%制程应设法加强或调整C12.5%≦|Ca|≦25%检讨或修正操作规范,并加强操作员训练D25%≦|Ca|≦50%应对制程与规格重新检讨修正E|Ca|≧50%应立即停止生产，全面检讨☞制程能力分析制程精密度Cp（CapabilityofPrecision）Cp：衡量制程变异程度与规格公差相异之情形，即制程所生产的产品品质特性与规格的比值；Cp的意义如右：Cp衡量制程变异程度，但没有考虑到制程是否已偏离规格。USLLSLσ☞制程能力分析Cp值等级判断：Cp愈大表示制程精密度愈好等级Cp值品质状况/处理原则ACp≧1.67制程精密度达到水准，制程稳定B1.33≦Cp<1.67设法缩小规格公差C1≦Cp<1.33设法寻找可以改善品质的原因D0.67≦Cp<1应对制程与规格重新检讨修正E0≦Cp<0.67应立即停止生产，全面检讨计算2：

USL-LSL40

Cp===1.636σ6*4.09☞制程能力分析制程能力指数CpkCpk：同时衡量制程准确性与变异程度之指标，综合Ca与Cp两值之指数；Cpk=Cp*（1-|Ca|）Cpk的意义如下：USLLSLμσ☞制程能力分析Cpk值等级判断：Cpk愈大表示制程能力愈好等级Cpk值品质状况/处理原则ACpk≧1.67品质达到水准，品质稳定B1.33≦Cpk<1.67品质达到水准，制程能力优良，不过可稍加改进C1≦Cpk<1.33须进行制程改善D0.67≦Cpk<1制程能力不佳，应全面检讨E0≦Cpk<0.67应立即停止生产，全面检讨单边规格时，Cpk=|Cp|Cpk≦Cp若Cp≒Cpk表示制程平均很接近目标值若Cp=1.33，Cpk=0.3表示制程平均偏离若Cp=0.8，Cpk=0.78表示制程变异太大☞制程能力分析计算3：

Cpk=Cp*（1-|Ca|）=1.63*（1-|-0.05|）=1.55讨论：该批纸箱在耐压强度方面整体制程能力还是比较好的，但在某些方面还是需要做改进。☞制程能力分析USLLSLμUSLLSLμUSLLSL3σUSLLSL4σUSLLSL5σUSLLSL6σ

位于界限值以外

位于界限值上

位于距界限值3σ内的位置

位于距界限值4σ内的位置

位于距界限值5σ内的位置

位于距界限值6σ内的位置☞制程重量的分析与管制国家《定量包装商品计量监督规定》要求：单件负偏差——抽检个体即：对于抽检的单个样品的负偏差不得低于《规定》中的相关要求；（具体详见下表）均值——抽检全体即：对于抽检的全部样品的均值不得低于标识的净重。☞制程重量的分析与管制单件负偏差的具体要求：净含量

Q负

偏

差

Q的百分比

g或mL5g----50g

5mL----50mL9----50g----100g

50mL----100ml----4.5100g----200g

100mL----200mL4.5----200g----300g

200mL----300mL----9300g----500g

300mL----500mL3----500g----1kg

500mL----1L----151kg----10kg

1L----10L1.5----10kg----15kg

10L----15L----15015kg----25kg

15L----25L1.0----☞制程重量的分析与管制案例：2005年1月1日白班9：00抽检22g福州小鱼丸，数据如下：20.5、20.5、21.0、22.5、21.5、22.0、22.0、23.0、21.5、22.0x=21.7gR=2.5g分析：单件负偏差为22*9%=1.98结论：

均值不合格，单件负偏差合格☞制程重量的分析与管制定期汇总与分析：班→日→周→月→年月汇总：☞制程重量的分析与管制案例分析：☞制程重量的分析与管制制程能力分析：x=∑xi/n=21.28gμ=22gUCL=22-1.98=20.02gLCL=22+1.98=23.98gCa=（21.28-22）/1.98*100%=-36.4%Cp=3.96/（6*1.09）=0.606CPK=0.606*（1-0.364）=0.385结论：因0≦Cpk<0.67，故应立即停止生产，全面检讨☞制程重量的分析与管制管制图：计量值管制图（x-R管制图，x-δ管制图）计数值管制图（P管制图，nP管制图）☞制程重量的分析与管制以x-R管制图为例进行说明：x管制图：

CL=x=∑xi/K=170.20/8=21.28UCL=x+A2R=21.28+0.577*2.19=22.54LCL=x-A2R=21.28-0.577*2.19=20.02R管制图：

CL=R=17.5/8=2.19UCL=D4R