九年级数学下册专题09 三角函数与几何综合（解析版）

专题09三角函数与几何综合类型一、网格问题例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，，，∵，，∴，∴，在中，，由题意知，，∴，∴，∴，故选：【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．【变式训练1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．【详解】

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝．【答案】/【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可.【详解】解：如图，由图可知，，，∴，而，，，，∴，∴，故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形.【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点都是小正方形的顶点，与相交于点，则的值是．【答案】.【分析】建立平面直角坐标系，利用直线解析式确定交点的坐标，计算两点间距离，判定三角形的形状，继而计算即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，连接DE，交AB于点F，根据题意，得A（0，3），B（4，1），C（1，3），D（2，0），E（3，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为，同理可得，直线CD的解析式为，直线DE的解析式为，∴，解得，∴点P的坐标为（，），同理可得，点F的坐标为（，），∴=，=，=，∴，∴△DPF是等腰直角三角形，∴∠BPD=45°，∴sin∠BPD=sin45°=，故答案为：.【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的计算，勾股定理的逆定理，根据题意，熟练建立平面直角坐标系，利用待定系数法确定解析式，利用解析式确定交点坐标，利用两点间距离公式确定线段长是解题的关键.【变式训练4】．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是．【答案】【分析】设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，根据平行线分线段成比例定理得出，由勾股定理求出BD、DC、AC，求出DE和CE，过C作CF⊥BD于F，根据三角形的面积得出，求出CF，根据勾股定理求出EF，再解直角三角形求出答案即可．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AD＝5，BC＝4，∵，∴∴，由勾股定理得：，，，则，，过C作CF⊥BD于F，∵△BCD的面积，∴△DCE的面积为，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，能求出CF的长是解此题的关键．类型二、三角函数与圆综合例．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F．（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；（2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）相切，见解析；（3）．【分析】（1）由AB是直径，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，证明∠EDC=∠BAC=2∠DAC，只需证明∠CAF=∠DAC即可；（2）证明∠BAF=90°即可；（3）连接BE，则cos∠ABE=cos∠ADE==，求得AE，EC，后利用勾股定理表示BC，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAC=2∠DAC，∵A，B，D，E四点共圆，∴∠EDC=∠BAC，∠DEC=∠ABC，∴∠EDC==2∠DAC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∵AF⊥DE，∴∠CAF=90°-∠AEF=90°-∠DEC=90°-∠ACD=∠DAC，∴∠EDC==2∠CAF；（2）直线AF与⊙O的相切．理由如下：∵AB=BC，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，∵∠BAD=∠CAD，由（1）得∠BAD=∠CAD=∠CAF=30°，∴∠BAF=3∠BAD=90°，∵AB是直径，∴直线AF与⊙O的相切；（3）如图，连接BE，则∠ABE=∠ADE，∴cos∠ABE=cos∠ADE==，设AB=25k，则BE=24k，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE==7k，∵AB=AC，∴AC=25k，EC=AC-AE=25k-7k=18k，在直角三角形BEC中，BC==30k，∴==．【点睛】本题考查了圆的内接四边形外角等于内对角，等腰三角形的性质，直径上的圆周角是直角，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定，等边三角形的判定，熟记切线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式训练1】．如图，中，以为直径的交于点D，．（1）求证：为的切线；（2）在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）为直径，得到，根据，得到，问题得证；（2）先证明，，设，则，得到，，即，得到，进而得到，即可得到．【详解】解：（1）证明：∵为直径，∴，∴．∵，∴．∴，∴为的切线．（2）解：∵，∴．∵，∴．设，则．∴，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数、圆周角定理等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键．【变式训练2】．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，tanA=，求GF的长．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）根据圆的性质得，再通过角的转换及可证明；（2）连接，由圆的相关性质可证，得到，即可求GF的长；【详解】（1）证明：，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图，连接，是的直径，，，，，的半径为，,，，在中，，，，，∵OG∥BE，O为AB的中点，，，，，即，，解得．所以的长为．【点睛】本题主要考查了圆的性质、锐角三角函数，掌握相关知识，并灵活应用是解题的关键．【变式训练3】．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形和三角形内角和的性质，推导得，结合平行线的性质，得，根据切线的性质分析，即可完成求解；（2）分别连接、，根据直径所对圆周角为直角和三角函数的性质，推导得；根据勾股定理的性质，得；再结合相似三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连接，∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴∴∵，∴∴是的切线；（2）分别连接、，∵是的直径，∴，即．在中，，设，∴∵，∴．∴或（舍去）∴∴．∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∴，即．∴经检验，是原方程的解∴．【点睛】本题考查了三角函数、圆、相似三角形、勾股定理、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、圆周角、切线、相似三角形的性质，从而完成求解．课后训练1．如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据HL判定Rt△ABMRt△AND，再由全等三角形的对应角相等证明∠DAM=∠AND，继而证明DN//AM，进一步得到△DNT△AMT，然后根据相似三角形对应边成比例解题，结合tan∠ABM=，可解得，据此解题．【详解】∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，∴Rt△ABMRt△ADN（HL）∴∠DAN=∠BAM，DN=BM．∵∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，∴∠DAM=∠ADN，∴DN//AM，∴△DNT△AMT，∴=，∵tan∠ABM===∴∵AD=DC=4，∴AT=AD=1，故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在反比例函数、的图像上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】点A，B落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．【详解】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数上，点B在上，∴S△AOD＝，S△BOE＝2，又∵∠AOB＝90°,∠ADO=∠BEO=90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°∠OBE+∠BOE＝90°，∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD∽△OBE，∴，∴设OA＝a，则OB＝2a，AB＝，在RtAOB中，cos∠ABO＝故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出cos∠ABO的值．3．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为，的值为．【答案】212【分析】设直线与x轴的交点为D，则D（2b,0），C（0，b），可求tan∠OCA，根据OA=OC，得∠OCA=∠CAO，即tan∠OCA=tan∠CAO；设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则=，，是方程=的两个根，利用OA=OC和一元二次方程根与系数的关系定理计算即可．【详解】设直线与x轴的交点为D，∵∴D（2b,0），C（0，b），∴OD=2b，OC=b，∴tan∠OCA=，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO，∴tan∠OCA=tan∠CAO=2故答案为：2；设点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则，是方程=的两个根，∴，是方程的两个根，∴+=2b，=2k，∴=，∵OA=OC，∴∴，解得b=，∴+=，∴=，∵，∴，∴，∴，解得=4或=-4（舍去）∴==6，∵=2k，∴2k=24，∴k=12，故答案为：12；故答案为：2,12．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的相交，一元二次方程的解法，根与系数的关系定理，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，灵活用等腰三角形的性质构造等式，构造一元二次方程是解题的关键．4．如图，内接于的半径为6，于点，则的长为．【答案】【分析】作直径BE，连接CE，作CFBE于点F，则在直角△BCE中解直角三角形求得EC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长．【详解】解：作直径BE，连接CE，作CFBE于点F，如图，，，是直径，CFBE，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及三角函数的定义，勾股定理，正确作出辅助线是关键．5．如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形EDFG面积的最大值=．【答案】/【分析】设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，用含x和y的代数式表示出矩形EDGF的面积，再配方可求出面积的最大值．【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H,在Rt△ECD中，∵tan∠DEC=，∴sin∠DEC=，cos∠DEC=，∴EC=x.∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，∴HE=y×sin∠EFH=y×sin∠DEC=y，∴FH=，∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH=，∵AC=AH+HE+EC=，∴=4，∴y=，∴S矩形EDEF=xy==，∴当x=时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的最值，等腰直角三角形，锐角三角函数的定义，属于中档题．6．如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则．

【答案】1【分析】取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据，得到．【详解】解：如图所示，取格点D，连接，∵，，，，∴是直角三角形，，∵，∴．故答案：1．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等，添加辅助线，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正切的定义，是解决问题的关键．7．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，的平分线交于点．（1）求证：；（