新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-基础班(学生版+解析)

第9讲与圆有关的计算1弧长的计算弧长公式:半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

【例题精选】例1(2023秋•北碚区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（）A．π B．2π C．π D．π例2(2023•成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（）A． B． C． D．π【随堂练习】1．(2023•合肥二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（）A． B． C． D．2．(2023•东莞市校级一模）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．π B．π C．π D．π2扇形面积的计算1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【例题精选】例1(2023•张家港市模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．2π B．π C． D．例2(2023•镇江模拟）如图所示，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【随堂练习】1．(2023•铁西区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（）A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣183圆锥的计算圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【例题精选】例1(2023•湖州模拟）一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是（）A．8π B．16π C．32π D．48π例2(2023•北海模拟）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（）A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2【随堂练习】1．(2023春•锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm22．(2023•宁波模拟）将一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为（）A．24πcm2 B．18πcm2 C．15πcm2 D．12πcm23．(2023•双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（）A．2π B．3π C．4π D．5π4．(2023•通州区一模）若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．1 B．2 C．3 D．45．(2023•嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（）A．2 B．1 C．3 D．4综合应用一．选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（）A．2π B．3π C．6π D．12π2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm23．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（）A． B． C． D．二．解答题5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．第9讲与圆有关的计算1弧长的计算弧长公式:半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

【例题精选】例1(2023秋•北碚区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（）A．π B．2π C．π D．π分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到∠A＝60°，求得∠BOC＝2∠A＝120°，由弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AO＝4，∴AB＝8，∵BC＝4，∴sinA＝＝＝，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴劣弧的长度＝＝，故选：A．【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，三角函数的定义，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．例2(2023•成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（）A． B． C． D．π分析：根据圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，然后根据弧长公式求解即可．【解答】解：∵∠C＝30°，根据圆周角定理可知：∠AOB＝60°，∵OA＝2，∴l＝＝，∴弧AB的长为π．故选：A．【点评】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键，难度一般．【随堂练习】1．(2023•合肥二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠A＝90°﹣24°＝66°，∴∠BOC＝2×66°＝132°，∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠A＝66°，∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，∵AB＝4，∴劣弧CD的长＝＝；故选：B．2．(2023•东莞市校级一模）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．2扇形面积的计算1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【例题精选】例1(2023•张家港市模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．2π B．π C． D．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，然后根据扇形的面积公式计算阴影部分的面积．【解答】解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴阴影部分的面积＝＝π．故选：C．【点评】本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．例2(2023•镇江模拟）如图所示，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．分析：连接BD，AC交于O，根据菱形的性质得到AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，解直角三角形得到AC＝2，BD＝2，于是得到结论．【解答】解：连接BD，AC交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，BO＝AB＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝S菱形ABCD﹣S扇形ABC＝2×2﹣＝2﹣π故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【随堂练习】1．(2023•铁西区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（）A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径长为6，∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6，∴阴影部分的面积是：＝9π﹣18，故选：A．3圆锥的计算圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【例题精选】例1(2023•湖州模拟）一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是（）A．8π B．16π C．32π D．48π分析：首先求得扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式求得圆锥的侧面展开扇形的面积即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为8π，∵侧面展开扇形的半径为8，∴该圆锥的侧面积为lr＝×8×8π＝32π，故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟记扇形的面积公式，难度不大．例2(2023•北海模拟）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（）A．4πm2 B．2πm2 C．8πm2 D．6πm2分析：由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以通过计算圆侧的面积可得到做这把遮阳伞需用布料的面积．【解答】解：做这把遮阳伞需用布料的面积＝×2π×2×3＝6π（m2）．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【随堂练习】1．(2023春•锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2 C．10cm2 D．10πcm2【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π（cm2）．故选：B．2．(2023•宁波模拟）将一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为（）A．24πcm2 B．18πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2【解答】解：圆锥的母线长＝＝5，所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．故选：C．3．(2023•双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（）A．2π B．3π C．4π D．5π【解答】解：这个圆锥的表面积＝π•12+×2π×1×3＝4π．故选：C．4．(2023•通州区一模）若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长＝4π，∴圆锥的底面圆半径＝＝2，故选：B．5．(2023•嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（）A．2 B．1 C．3 D．4【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．故选：A．综合应用一．选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（）A．2π B．3π C．6π D．12π【解答】解：S扇形＝＝3π，故选：B．2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm2【解答】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．母线长是：＝6（cm），则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．故选：C．3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，解得：r＝3，故选：C．4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（）A． B． C． D．【解答】解：120°的圆心角所对的弧长＝＝．故选：A．二．解答题5．如图，正方形ABCD