人教B版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何复习提升练含答案

本章复习提升易混易错练易错点1对空间向量的相关概念理解不清致错1.下列命题中正确的是()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面C.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λbD.零向量是模为0,方向任意的向量2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是()A.2AB·CAC.2AD·DC3.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈4.(2024陕西西安长安第一中学期中)已知向量a=(2,3,-1),b=(-4,t,2),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.

易错点2混淆空间角与向量的夹角致错5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,CB=CD=CF,则二面角F-BD-C的余弦值为.6.(2023山东日照一中月考)如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图2.(1)求证:A1O⊥BD;(2)求直线A1C与平面A1BD所成角的正弦值;(3)在线段A1C上是否存在点F,使得直线DF和BC所成角的余弦值为55?若存在,求出A易错点3不能正确建立空间直角坐标系致错7.(2024河北邯郸永年第二中学开学考试)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求二面角H-GF-C的大小.思想方法练一、函数与方程思想在空间向量与立体几何中的应用1.(2024河北沧州沧县中学月考)如图所示,圆锥的高PO=2,底面圆O的半径为R,延长直径AB到点C,使得BC=R,分别过点A,C作底面圆O的切线,两切线相交于点E,点D是切线CE与圆O的切点.(1)证明:平面PDE⊥平面POD;(2)若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为105352.(2022湖南长沙雅礼中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC=120°.(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;(2)若M为PB的中点,N为线段PC上一动点,求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围.二、转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,平面AB1D1与平面BC1D之间的距离为()A.24.(2023山东滨州期中)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,E是BC的中点.(1)求证:AD⊥PE;(2)若PA⊥PC,求二面角B-PC-D的余弦值.

答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.D由于零向量与任意向量共线,所以当b为零向量时,a与c的关系不确定,故A错误;当向量a,b,c共面时,它们所在的直线不一定共面,故B错误;在共线向量定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数λ,使a=λb,否则λ可能不存在,故C错误;D显然正确.易错警示本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为A,C正确.2.B由题意得AB与CA,AD与DC2EF·DB=−a2易错警示由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量AB和3.答案AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE解析由AB=λCD+μCE(λ,μ∈易错警示由向量共线得到的相关直线的位置关系有平行和重合两种可能;由向量共面得到的线面关系有平行和线在面内两种可能.4.答案(-∞,-6)∪-解析∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,即-8+3t-2<0,解得t<103由a∥b,得-4综上,实数t的取值范围为(-∞,-6)∪-6易错警示向量a,b的夹角为钝角等价于a·b<0且a与b不共线.注意两个向量同向共线时,数量积大于零,反向共线时,数量积小于零.5.答案5解析因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°,所以∠ADB=90°,故AD⊥BD.连接AC,则AC⊥BC.因为FC⊥平面ABCD,所以FC⊥AC,FC⊥BC,所以CA,CB,CF两两互相垂直.以C为坐标原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D32,-1设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),则m取z=1,则x=3,y=1,所以m=(3,1,1).易知CF=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cos<m,CF>由图可知,二面角F-BD-C为锐二面角,所以二面角F-BD-C的余弦值为55易错警示求二面角的大小时,应用向量法分别求出两个半平面的法向量,它们的夹角的大小与二面角的大小可能相等也可能互补,一般结合图形判断所求二面角是钝二面角还是锐二面角.6.解析(1)证明:因为AB=AC,D,E分别为AB,AC的中点,所以AD=AE,即A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BCED.又BD⊂平面BCED,所以A1O⊥BD.(2)过点O作OH⊥BC交BC于点H,则H为BC的中点.因为在题图1中,AB=AC=25,BC=4,所以OH=12(2易得OA1,DE,OH两两互相垂直,以O为坐标原点,OH,OE,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A1(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),D(0,-1,0),所以A−2),A设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,则x=-1,y=-2,所以n=(-1,-2,1).设直线A1C与平面A1BD所成的角为α,则sinα=|cos<n,A1所以直线A1C与平面A1BD所成角的正弦值为22(3)假设在线段A1C上存在一点F满足题意.设A1由(2)易得DA1=(0,1,2),因为直线DF和BC所成角的余弦值为55所以|cos<DF,即|4+8λ|-3(舍去),所以当点F与点A1重合时,直线DF和BC所成角的余弦值为55,此时A易错警示(1)当两条异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线所成的角;当两条异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角是这两条异面直线所成的角.(2)求解直线和平面所成的角θ时,要注意直线的方向向量n与平面的法向量a的夹角和所求角θ之间的关系,线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.7.解析(1)证明:在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE得BC=2EF,又H为BC的中点,所以BH=EF,又BH∥EF,所以四边形BHFE为平行四边形,所以BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连接DG,易知DF=12所以四边形DGCF为平行四边形,所以DG∥CF.又CF⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,得AB=BC,连接BG,因为G是AC的中点,所以GB⊥GC.因此GB,GC,GD两两互相垂直.以G为坐标原点,BG,GC,GD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则CF=DE=1,BG=CG=2,所以G(0,0,0),B(2,0,0),H22设平面FGH的一个法向量为n=(x,y,z),则n·取x=1,得y=-1,z=2,所以n=(1,-1,2).易知GB=(所以cos<GB,n>=GB·由图知,二面角H-GF-C为锐二面角,所以二面角H-GF-C的大小为60°.易错警示运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系.思想方法练1.解析(1)证明:连接AD.由题意得PO⊥平面ABD,∵CE⊂平面ABD,∴PO⊥CE.∵CE与圆O相切于点D,∴OD⊥CE.∵PO∩OD=O,PO,OD⊂平面POD,∴CE⊥平面POD.又CE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面POD.(2)以O为坐标原点,OC,易知CA=3R,OD=R,CD=3R,△CAE∽△CDO,∴CDCA∴P(0,0,2),D32设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z),则m令x=3,则m=3,根据直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535∵直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535∴|cos<m,PE>|=|m·PE||m||PE当R=2时,P(0,0,2),D(3,1,0),E(2设平面PED的一个法向量为n=(a,b,c),则n令a=3,得n=(3,1,2),所以点A到平面PED的距离为n·当R=233时,P(0,0,2),D设平面PED的一个法向量为l=(a1,b1,c1),则l令a1=3,得l=(3,3,2),所以点A到平面PED的距离为l·综上,点A到平面PED的距离为322.解析(1)证明:设AC∩BD=O,易得BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA.又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.(2)以O为坐标原点,OC,OD所在直线分别为x轴,y轴,过点O且平行于PA的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(3,0,0),P(−因为M为PB的中点,所以M-3设PN=λPC(0≤λ≤1),则N(2所以MN=由(1)知BD⊥平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0).设直线MN与平面PAC所成的角为θ,则sinθ=|cos<MN,n>|=|MN0≤λ≤1,将直线和平面所成的角的正弦值用含参的式子表示,利用函数的性质求出最值.故当λ=516时,sinθ取得最大值,为2当λ=1时,sinθ取得最小值,为28所以28≤sinθ≤277思想方法方程思想在空间向量中的应用主要表现在探索性问题中,通过设置参数,建立方程(组),求方程(组)的解解决问题.函数思想在空间向量中的应用主要表现在“运动问题”和“最值问题”中,构造出的函数一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值,利用基本不等式求最值时要注意满足适用的条件.3.C由题意可得,原问题等价于求点C1到平面AB1D1的距离h.将平面与平面之间的距离转化为点到平面的距离.解法一:由等体积法可得V三棱锥C1-AB1D1=V三棱锥A-B解法二:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.易得A(2,0,0),B1(设平面AB1D1的一个法向量为m=(x,y,z),则m令x=1,得m=(1,-1,1).所以点C1到平面AB1D1的距离为|m·B4.解析以D为坐标原点,菱形ABCD的边DC的垂线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),A(3,−1,0),C(0,2,0),B(设PD=a(a>0),则P(0,0,a).(1)证明:易得AD=(−因为AD·PE=−(2)易得PA=(因为PA⊥PC,所以PA·PC=-2+a2=0,解得a=2(负值