高考数学一轮总复习：第七章 不等式及推理与证明

高考数学一轮总复习：第七章不等式及推理与证明目录第1课时不等式与不等关系第2课时一元二次不等式的解法第3课时简单的线性规划第4课时基本不等式第5课时合情推理与演绎推理第6课时直接证明与间接证明第1课时不等式与不等关系1．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab>0.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析对于①，∵ab>0，bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴②正确；对于③，∵bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴ab>0，∴③正确．2．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()A．a2>b2 B.eq\f(b,a)<1C．lg(a－b)>0 D．(eq\f(1,3))a<(eq\f(1,3))b答案D解析方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a＝－1，b＝－2，则a2<b2，eq\f(b,a)>1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三项．故选D.3．设a∈R，则a>1是eq\f(1,a)<1的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>1，则eq\f(1,a)<1成立；反之，若eq\f(1,a)<1，则a>1或a<0.即a>1⇒eq\f(1,a)<1，而eq\f(1,a)<1a>1，故选A.4．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式成立的是()A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0答案D5．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案D解析一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>eq\f(1,a)，∴b<eq\f(1,a)不成立；另一方面，若b<eq\f(1,a)，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.7．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－2答案D解析方法一(特殊值法)：取a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a－b<0，0<ab<eq\f(1,4)，log2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1 B．logeq\s\do9(\f(1,2))b<logeq\s\do9(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1答案C解析方法一(特殊值法)：取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).方法二(单调性法)：0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x在(0，＋∞)上为减函数，∴logeq\s\do9(\f(1,2))b>logeq\s\do9(\f(1,2))a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定答案B解析设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙用时间为eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(s（v1＋v2）2－4sv1v2,v1v2（v1＋v2）)＝eq\f(s（v1－v2）2,v1v2（v1＋v2）)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．10．下列四个数中最大的是()A．lg2 B．lgeq\r(2)C．(lg2)2 D．lg(lg2)答案A解析因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lgeq\r(2)－(lg2)2＝lg2(eq\f(1,2)－lg2)>lg2(eq\f(1,2)－lgeq\r(10))＝0，即lgeq\r(2)>(lg2)2；lg2－lgeq\r(2)＝eq\f(1,2)lg2>0，即lg2>lgeq\r(2).所以最大的是lg2.11．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz>0，设M＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，则()A．M>0 B．M<0C．M＝0 D．M不确定答案B解析∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝0，∴xy＋yz＋zx<0，∴M＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(yz＋zx＋xy,xyz)<0.13．(1)若角α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是________．答案(－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2))解析∵－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案(－3，3)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.(3)若－1<a＋b<3，2<a－b<4，则2a＋3b的取值范围为________．答案(－eq\f(9,2)，eq\f(13,2))解析设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因为－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，所以－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2).即－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).14．设α∈(0，eq\f(1,2))，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．答案T1<T2解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab＋1________a＋b.答案<解析(ab＋1)－(a＋b)＝1－a－b＋ab＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab＋1<a＋b.(2)若a>0，b>0，则不等式－b<eq\f(1,x)<a的解集为________．答案(－∞，－eq\f(1,b))∪(eq\f(1,a)，＋∞)解析由已知，得－b<0，a>0，∴eq\f(1,x)∈(－b，a)＝(－b，0)∪{0}∪(0，a)．∴x∈(－∞，－eq\f(1,b))∪(eq\f(1,a)，＋∞)．16．设a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋（b＋c）2)，y＝eq\r(b2＋（c＋a）2)，z＝eq\r(c2＋（a＋b）2)，则x，y，z的大小顺序是________．答案z>y>x解析方法一(特值法)：取a＝3，b＝2，c＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.z2－y2＝c2＋(a＋b)2－b2－(c＋a)2＝2a(b－c)>0，故z2>y2，即z>y，故z>y>x.17．已知a＋b>0，比较eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).18．已知a>0且a≠1，比较loga(a3＋1)和loga(a2＋1)的大小．答案loga(a3＋1)>loga(a2＋1)解析当a>1时，a3>a2，a3＋1>a2＋1.又y＝logax为增函数，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；当0<a<1时，a3<a2，a3＋1<a2＋1.又y＝logax为减函数，所以loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．第2课时一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R的是()A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－2eq\r(5)x＋eq\r(5)>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0答案C解析在C项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R.2．若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－eq\f(1,m))＜0的解集为()A．{x|eq\f(1,m)＜x＜m} B．{x|x>eq\f(1,m)或x＜m}C．{x|x>m或x＜eq\f(1,m)} D．{x|m＜x＜eq\f(1,m)}答案D解析当0<m<1时，m<eq\f(1,m).3．函数y＝eq\f(ln（x＋1）,\r(－x2－3x＋4))的定义域为()A．(－4，－1) B．(－4，1)C．(－1，1) D．(－1，1]答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,－x2－3x＋4>0，))解得－1<x<1.4．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，选B.5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是()A．x>1或x<eq\f(1,2) B．x>1或－1<x<eq\f(1,2)C．－1<x<eq\f(1,2) D．x<－1或x>eq\f(1,2)答案B解析原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>0，,1－|x|<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,1－|x|>0.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)，,x>1或x<－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－1<x<1.))∴x>1或－1<x<eq\f(1,2)，故选B.6．不等式eq\f(x2－x－6,x－1)>0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或x>3)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－2或1<x<3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<1或x>3)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<1或1<x<3))答案C解析eq\f(x2－x－6,x－1)>0⇒eq\f(（x－3）（x＋2）,x－1)>0⇒(x＋2)·(x－1)(x－3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为()A．{x|－1<x<eq\f(1,2)} B．{x|x<－1或x>eq\f(1,2)}C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}答案A解析由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由韦达定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,（－1）×2＝\f(2,a)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.可知x＝－1，x＝eq\f(1,2)是对应方程的根，∴选A.8．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>eq\f(1,3)}，则f(ex)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>－ln3} B．{x|－1<x<－ln3}C．{x|x>－ln3} D．{x|x<－ln3}答案D解析设－1和eq\f(1,3)是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴a＝－(－1＋eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)，b＝－1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>eq\f(1,3)}，∴f(x)＝－(x2＋eq\f(2,3)x－eq\f(1,3))＝－x2－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)，∴f(x)>0的解集为x∈(－1，eq\f(1,3))．不等式f(ex)>0可化为－1<ex<eq\f(1,3).解得x<lneq\f(1,3)，∴x<－ln3，即f(ex)>0的解集为{x|x<－ln3}．9．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是()A．(－eq\f(23,5)，＋∞) B．[－eq\f(23,5)，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，－eq\f(23,5)]答案A解析由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－eq\f(23,5).10．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为()答案C解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－2＋1＝\f(1,a)，,－2×1＝－\f(c,a)，))解得a＝－1，c＝－2.则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.11．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1，2，3)都成立的x的取值范围是()A．(0，eq\f(1,a1)) B．(0，eq\f(2,a1))C．(0，eq\f(1,a3)) D．(0，eq\f(2,a3))答案B12．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是()A．(3，4) B．(－2，－1)∪(3，4)C．(3，4] D．[－2，－1)∪(3，4]答案D解析由题意得，原不等式化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．答案{x|x<－5或x>5}解析2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－eq\f(7,2)(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－eq\f(1,2)<eq\f(1,x)<2，则实数x的取值范围是________．答案x<－2或x>eq\f(1,2)解析当x>0时，x>eq\f(1,2)；当x<0时，x<－2.所以x的取值范围是x<－2或x>eq\f(1,2).15．若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案a>eq\f(1,4)解析不等式可变形为a>eq\f(2x－1,4x)＝(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,4))x，令(eq\f(1,2))x＝t，则t>0.∴y＝(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,4))x＝t－t2＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，因此当t＝eq\f(1,2)时，y取最大值eq\f(1,4)，故实数a的取值范围是a>eq\f(1,4).16．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为{x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，求k的值；(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．答案(1)k＝－eq\f(2,5)(2)k＝－eq\f(\r(6),6)(3)k<－eq\f(\r(6),6)(4)k≥eq\f(\r(6),6)解析(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5).(2)因为不等式的解集为{x|x∈R，x≠eq\f(1,k)}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6).(3)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq\f(\r(6),6).(4)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6).17．已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0,x2－6x＋8＜0))的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，求实数a的取值范围．答案(－∞，9]解析不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0,x2－6x＋8<0))的解集为(2，3)，令g(x)＝2x2－9x＋a，其对称轴为x＝eq\f(9,4)，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a≤9.第3课时简单的线性规划1．下列各点中，与点(1，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是()A．(0，0) B．(－1，1)C．(－1，3) D．(2，－3)答案C解析点(1，2)使x＋y－1>0，点(－1，3)使x＋y－1>0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．故选C.2．二元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－y＋3）（x＋y）≥0，,0≤x≤4，))表示的平面区域是()A．矩形 B．三角形C．直角梯形 D．等腰梯形答案D解析由(x－y＋3)(x＋y)≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x＋y≥0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≤0，,x＋y≤0，))且0≤x≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.3．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9答案A解析作出可行域如图所示，作出直线l0：y＝－2x，平移l0经过点A时，z有最小值，此时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋3＝0，,2x－3y＋3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－3.))即A(－6，－3)，∴zmin＝2×(－6)－3＝－15.4．已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))则z＝－2x＋y的最大值是()A．－1 B．－2C．－5 D．1答案A解析作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z取得最大值，故zmax＝－2×1＋1＝－1.5．实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y≥0，,2x－y－2≤0，))则使得z＝2y－3x取得最小值的最优解是()A．(1，0) B．(0，－2)C．(0，0) D．(2，2)答案A解析约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z＝2y－3x中，易得在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．6．已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))则z＝2x－2y－1的取值范围是()A．[eq\f(5,3)，5] B．[0，5]C．[eq\f(5,3)，5) D．[－eq\f(5,3)，5)答案D解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×eq\f(1,3)－2×eq\f(2,3)－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是[－eq\f(5,3)，5)．7．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))则z＝|x－3y|的最大值为()A．10 B．8C．6 D．4答案B解析不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋3y≤4，,x≥－2，))所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线x－3y＝0过点A时，m＝x－3y取最大值；当平移直线x－3y＝0过点C时，m＝x－3y取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即zmax＝8.8．x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1答案D解析作出约束条件满足的可行域，根据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.9．已知O为坐标原点，A(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋|y|≤1，,x≥0，))则z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，显然当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，且zmax＝2.故选D.10．已知实数x，y满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－2）2≤1，,x－y－1≥0，))则z＝eq\f(y,x－2)的最小值为()A．3＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案C解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z＝eq\f(y,x－2)＝eq\f(y－0,x－2)表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z＝eq\f(y,x－2)的最小值，设切线方程为y＝k(x－2)，则A到切线的距离为1，故1＝eq\f(|k－2|,\r(1＋k2)).解得k＝eq\f(3,4).11．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x≤1，,x＋y≤3，,y≥m，))若z＝x＋3y的最大值与最小值的差为7，则实数m＝()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)答案C解析作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z＝x＋3y在点(1，2)处取得最大值；zmax＝1＋3×2＝7，在点(m－1，m)处取得最小值，zmin＝m－1＋3m＝4m－1.又由题知7－(4m－1)＝7，解得m＝eq\f(1,4)，故选C.12．设实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,y≤a，))若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值是________．答案1解析依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,y≤a，))表示的平面区域，结合图形可知，直线z＝x＋2y经过直线y＝a与直线x－y＝0的交点，即点(a，a)时，z＝x＋2y取得最大值3，因此a＋2a＝3，a＝1.13．点(x，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，则Z的最小值为________．答案eq\f(9,2)解析|x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是点(x，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z的最小值为点P(2，2)到直线x＋y＝1距离的平方，即为(eq\f(|2＋2－1|,\r(2)))2＝eq\f(9,2).14．已知整数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，))则z＝4－x·(eq\f(1,2))y的最小值为________．答案eq\f(1,16)解析z＝4－x·(eq\f(1,2))y＝2－2x·2－y＝2－2x－y.设m＝－2x－y，要使z最小，则只需m最小．作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由m＝－2x－y得y＝－2x－m，平移可知当直线y＝－2x－m经过点B时，m最小，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x－3y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即B(1，2)，此时m＝－2－2＝－4，所以z＝4－x·(eq\f(1,2))y的最小值为2－4＝eq\f(1,16).15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？答案A，B两种金属板各取5张．解析设A，B两种金属板各取x张，y张，总用料面积为z，则约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋6y≥45，,5x＋6y≥55，,x，y∈N，))目标函数z＝2x＋3y.作出不等式组的可行域，如图所示．将z＝2x＋3y化成y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，得到斜率为－eq\f(2,3)，在y轴上截距为eq\f(z,3)，且随z变化的一组平行直线．当直线z＝2x＋3y经过可行域上点M时，截距最小，z取得最小值．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝55，,3x＋6y＝45，))得点M的坐标为(5，5)．此时zmin＝2×5＋3×5＝25.所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．第4课时基本不等式1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a＋b答案D解析只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a＋b.2．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案B解析方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<eq\r(ab)＝eq\r(2)<eq\f(a＋b,2)＝1.5<b＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数eq\f(a＋b,2)与几何平均数eq\r(ab)的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.3．下列函数中，最小值为4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0<x<π)C．y＝4ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝eq\f(4,sinx)取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案D解析∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故选D.5．若x，y是正数，则(x＋eq\f(1,2y))2＋(y＋eq\f(1,2x))2的最小值是()A．3 B.eq\f(7,2)C．4 D.eq\f(9,2)答案C解析原式＝x2＋eq\f(x,y)＋eq\f(1,4y2)＋y2＋eq\f(y,x)＋eq\f(1,4x2)≥4.当且仅当x＝y＝eq\f(1,\r(2))时取“＝”号．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则eq\f(1,ab)的最小值为()A.eq\f(1,4) B．4C.eq\f(1,2) D．2答案C解析∵4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，∴ab≤2，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2)，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．7．若x<0，则函数y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)的最小值是()A．－eq\f(9,4) B．0C．2 D．4答案D解析y＝x2＋eq\f(1,x2)－x－eq\f(1,x)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＋2eq\r(（－x）（－\f(1,x)）)＝4，当且仅当x＝－1时取等号．8．函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2答案A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2（x－1）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(（x－1）（\f(3,x－1)）)＋2＝2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)时，取等号．9．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋a·eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋a≥1＋a＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2，当且仅当a·eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))的最小值为(eq\r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.10．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(5) D.eq\f(\r(10),2)答案A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝eq\r(3)sinβ，n＝eq\r(3)cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝eq\r(3)sinβsinα＋eq\r(3)cosβcosα＝eq\r(3)cos(α－β)．故选A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤eq\r(3).11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值为()A．3 B．6C．9 D．12答案A12．若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值为()A．16 B．9C．6 D．1答案C解析方法一：因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二：因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))－10≥16－10＝6.方法三：因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a－1＝eq\f(1,b－1)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.13．某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p与eq\f(m＋n,2)的大小关系为()A．p>eq\f(m＋n,2) B．p＝eq\f(m＋n,2)C．p≤eq\f(m＋n,2) D．p≥eq\f(m＋n,2)答案C解析依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝eq\r(（1＋m%）（1＋n%）)≤eq\f(1＋m%＋1＋n%,2)＝1＋eq\f(m%＋n%,2)，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤eq\f(m＋n,2)，故选C.14．(1)当x>1时，x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________；(2)当x≥4时，x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．答案(1)5(2)eq\f(16,3)解析(1)∵x>1，∴x－1>0.∴x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(4)＋1＝5.(当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1).即x＝3时“＝”号成立)∴x＋eq\f(4,x－1)的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋eq\f(4,x)在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)＋1有最小值eq\f(16,3).15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋eq\f(1,ab)的最小值为________．答案eq\f(17,4)解析ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．y＝x＋eq\f(1,x)在x∈(0，eq\f(1,4)]上为减函数．∴ab＋eq\f(1,ab)的最小值为eq\f(1,4)＋4＝eq\f(17,4).16．已知a>b>0，求a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋eq\f(64,a2)，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤[eq\f(b＋（a－b）,2)]2＝eq\f(a2,4).∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)≥a2＋eq\f(64,a2)≥2eq\r(a2·\f(64,a2))＝16.当a2＝eq\f(64,a2)且b＝a－b，即a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(2)时等号成立．∴a2＋eq\f(16,b（a－b）)的最小值为16.17．设x，y均为正实数，且eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，求xy的最小值．答案16解析由eq\f(1,2＋x)＋eq\f(1,2＋y)＝eq\f(1,3)，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2eq\r(xy)＋8，∴(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－8≥0，解得eq\r(xy)≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.18．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10eq\r(2)时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．答案(1)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)(2)eq\f(1,16)解析(1)由题意得y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)(0<x<20)，当x＝10eq\r(2)时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0<x<20)．(2)y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)＝eq\f(1,400)(eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2))[(400－x2)＋x2]＝eq\f(1,400)[4＋9＋eq\f(4（400－x2）,x2)＋eq\f(9x2,400－x2)]≥eq\f(1,400)[13＋2eq\r(\f(4（400－x2）,x2)·\f(9x2,400－x2))]＝eq\f(1,16)，当且仅当eq\f(4（400－x2）,x2)＝eq\f(9x2,400－x2)，即x＝4eq\r(10)时取“＝”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为eq\f(1,16).第5课时合情推理与演绎推理1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，∴第七个三角形数为eq\f(7×（7＋1）,2)＝28.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2019＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6为周期的周期数列．又2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝3.选A.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415……………A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案C解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝()A.eq\f(2015,2016) B.eq\f(2016,2017)C.eq\f(2017,2018) D.eq\f(2018,2017)答案B解析由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴eq\f(9,3（n－1）×3n)＝eq\f(1,n（n－1）)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，∴eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2016)－eq\f(1,2017))＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017)，故选B.8．如图，根据图中的数构成的规律，a表示的数是()122343412124548a485A．12 B．48C．60 D．144答案D9．已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3，9) B．(4，8)C．(3，10) D．(4，9)答案D解析因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.10．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2＋b2＝c2，即(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2＝1，则△ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上都有可能答案A解析由题意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2>(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，故△ABC为锐角三角形．11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝eq\f(2S,l)”，类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝eq\f(3V,S)”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a，b，则其外接圆半径r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)”．这两位同学类比得出的结论是()A．两人都对 B．甲错、乙对C．甲对、乙错 D．两人都错答案C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为()答案B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.13．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2017＝()A．502 B．503C．504 D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.15．有一个游戏：将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．答案4，2，1，3解析由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3.16．对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b；))a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b，a≥b，,b－a，a<b.))则下列判断正确的是________．①2015⊕(2014⊗2015)＝2014；②(a⊕a)⊗a＝0；③(a⊕b)⊗a＝a⊕(b⊗a)．答案②解析对于①，由定义的运算可知，2014⊗2015＝2015－2014＝1，故2015⊕(2014⊗2015)＝2015⊕1＝2015，故①错误．对于②，因为a⊕a＝a，故(a⊕a)⊗a＝a⊗a＝a－a＝0，故②正确．由于③，当a≥b时，a⊕b＝a，故(a⊕b)⊗a＝a⊗a＝0，而b⊗a＝a－b，故a⊕(b⊗a)＝a⊕(a－b)．显然，若b≥0，则a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a，若b<0，则a<a－b，所以a⊕(a－b)＝a－b.故(a⊕b)⊗a≠a⊕(b⊗a)．故③错误．17．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日．答案42解析最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．第6课时直接证明与间接证明1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”“索”的“因”应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案C解析eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0答案D3．下列不等式不成立的是()A.eq\f(1,2)<ln2 B.eq\r(3)＋1>2eq\r(2)C．233<322 D．sin1>cos1答案B4．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案C解析要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a＋7＋2eq\r(a（a＋7）)与2a＋7＋2eq\r(（a＋3）（a＋4）)的大小，只要比较eq\r(a（a＋7）)与eq\r(（a＋3）（a＋4）)的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案B解析注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是()A．a2＋b2≥eq\f(1,2) B．ab≤eq\f(1,4)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4 D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤1答案D解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,2)，∴A成立；ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴B成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,（\f(a＋b,2)）2)＝4，∴C成立；(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)>1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>1，故D不成立．7．设x，y，z∈R＋，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2答案C解析假设a，b，c三个数都小于2.则6>a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＋2eq\r(y·\f(1,y))＋2eq\r(z·\f(1,z))＝6，即6>6，矛盾．所以a，b，c三个数中至少有一个不小于2.8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案略证明要证lg(1＋eq\r(ab))≤eq\f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋eq