人教B版高中数学必修第一册专题强化练3利用均值不等式求最值含答案

专题强化练3利用均值不等式求最值1.(2023豫南名校期中)已知两个正实数x,y满足x+y=1,则xyxA.162.(2024浙江温州期末)已知m,n均为正实数,且满足m2n+2mn2-4m-n=0,则m+2n的最小值为()A.22+1B.15C.3.(2023浙江宁波九校期末)已知x>y>0,且x2-y2=1,则2x2+3y2-4xy的最小值为()A.34.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则()A.2a+b的最小值为8B.1C.ab的最大值为8D.b+15.(2024广东梅州期末)若a>0,b>0,则mina,ba6.(2023山东青岛月考)若正实数x,y满足x2y+7.(2023河北石家庄正定中学月考)设a>2b>0,那么a4+4b8.(2022广东深圳南山外国语学校月考)已知x>0,y>0.(1)若不等式1x+(2)若x+y=1,1x+9.(2022江苏常州北郊高级中学月考)如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1.(1)求直角三角形ABC面积的最大值;(2)求正方形ABDE面积的最小值.

答案与分层梯度式解析专题强化练3利用均值不等式求最值1.B2.A3.B4.ACD1.B易得xyx+4y=11y+4x.因为正实数x,y满足x+y=1,所以4x2.A由题意得m2n+2mn2=mn(m+2n)=4m+n,所以m+2n=4m+nmn=1m+4n,所以(m+2n)2=1m+4n(m+2n)=9+3.B由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1.设x+y=a,x-y=b,则x=a+所以2x2+3y2-4xy=2a+b22当且仅当a=3b,即a=3,b=故2x2+3y2-4xy的最小值为1.4.ACD由16=ab+2a+b得b=16-2a+b=2a+18a+1−2=2(a+1)+18a+1-4≥221a+1+1b+216=ab+2a+b≥ab+22ab,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<ab≤22,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确b+19=18(9-a当且仅当18(9-a)10(a故选ACD.5.答案1解析令h=mina,ba2+4b则h2≤aba2+4而aba2+4因此当a=ba2+4b2,且a=2b,即a=12,b=6.答案22解析∵x2y+2yx=3xy−1,∴x2+4y22xy=3-xyxy,∴x2+4y2=2(3-xy),即(x+2y)2=6+2xy,∵7.答案32解析因为a>2b>0,所以a-2b>0,所以b(a-2b)=12(2b)(a-2b)≤12×2b+a-2b228.解析(1)∵x>0,y>0,1x+∴(x+y)1x+又(x+y)1x+1y=2+yx+(2)∵1x+ay≥9恒成立,∵x>0,y>0,a>0,x+y=1,∴1x+ay=1x+ay(x+y)=a+1+axy+yx≥a+1+2ax故a的最小值为4.9.解析(1)因为直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1,所以1=a+b+a2+b2≥2ab解得0<ab≤2-2所以S△ABC=12ab≤3故直角三角形ABC面积的最大值为3-(2)易得正方形ABDE的面积为a2+b2,因