新人教版高中数学教材例题课后习题选择性必修一22直线的方

第二章直线和圆的方程

直线的方程

直线的点斜式方程

例1直线/经过点温(-2,3)且倾斜角a=45。，求直线/的点斜式方程，并画出直线/.

解：直线/经过点不(-2,3),斜率A：=tan45°=l,代入点斜式方程得

y-3=x+2.

画图时，只需再找出直线/上的另一点4(和,)，例如，取玉=一1,则乂=4,得点片的

坐标为(-1,4),过《，[两点的直线即为所求，如图.

例2已知直线ll:y=kix+b],l2:y=k2x+b2,试讨论：(直〃/人的条件是什么?(2)/11/2

的条件是什么？

分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现“〃2或4时，占，与

与4,4应满足的关系.

解：(1)若〃4，则占=内，此时4,4与V轴的交点不同，即4Hb2；反之，若匕=的，

且则“〃2.

(2)若4上，2，则桃2=一1；反之，若桃2=-1，则/i，/

由例2我们得到，对于直线4:丁=占x+4,l2:y=k2x+b2,

[/〃2=匕=，且4Hb2;

4-L4=k1h=-1.

练习

1.写出下列直线的点斜式方程.

(1)经过点2(3,-1),斜率是

(2)经过点3卜啦,2),倾斜角是30。；

(3)经过点。(0,3),倾斜角是0。；

(4)经过点。(-4,-2)倾斜角是号.

【答案】⑴j+1=伍・3)；(2)y—2=*x+6；(3)y-3=0(x-0)；(4)

y+2=-(x+4)；

【解析】

【分析】根据直线的点斜式方程解题即可.

【详解】(1)因为直线经过点4(3,-1),斜率是亚，

所以直线的点斜式方程为y+l=&(x-3)；

(2)因为直线经过点8(-五,2),倾斜角是30。，所以斜率为日

所以直线的点斜式方程为y-2=[(》+收)；

(3)经过点倾斜角是0。，所以斜率为0

所以直线的点斜式方程为＞-3=0(》-0)；

(4)经过点。(-4,-2),倾斜角是言，所以斜率为一百

所以直线的点斜式方程为y+2=-G(x+4)；

2.(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是,倾

斜角是;

(2)已知直线的点斜式方程是y+2=3(x+l),那么此直线的斜率是,倾

斜角是

JT

【答案】①.1②.45°##-③.3④.arctan3

4

【解析】

【分析】（1）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角；

（2）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角.

【详解】（1）已知直线的点斜式方程是丁-2=x-1,则该直线的斜率为1,倾斜角

为45°;

（2）已知直线的点斜式方程是夕+2=3（x+l）,则该直线的斜率为3,倾斜角为

arctan3.

故答案为:（1）1；45°;（2）3；arctan3.

3.写出下列直线的斜截式方程.

（1）斜率是母，在y轴上的截距是-2；

（2）斜率是-2,在y轴上的截距是4.

【答案】⑴y=巫x_2；⑵y=-2x+4；

'2

【解析】

【分析】由直线的斜截式方程求解即可.

【详解】（1）因为直线斜率是且，在y轴上的截距是-2,

2

所以直线的斜截式方程为y=^-X-2；

（2）因为直线斜率是-2,在y轴上的截距是4,

所以直线的斜截式方程为y=-2》+4：

4.判断下列各对直线是否平行或垂直.

（1）/j*.y~—X3fI2*y=~x—2；

53

（2）/j'=9，2：y=一1x.

【答案】(1)I川2,(2)/,1/2

【解析】

【分析】根据两直线(斜率都存在)平行则斜率相等且纵截距不相等，两直线(斜

率都存在)垂直则斜率互为负倒数，判断即可；

【详解】解：(1)因为4：y=；x+3,/2：y=；x—2；

所以勺=g，伪=3，h=g,b2=-2,因为占=左2且4kb2,所以“〃2；

5353

(2)因为小y=",/2:y=-1x,所以占二不总=一丁

因为占•左2=gx[—|)=—l,所以

直线的两点式方程

例3如图，已知直线/与X轴的交点为44,0),与N轴的交点为8(0,6),其中bHO.

解：将两点4。,0),8(0,6)的坐标代入两点式，得

y-0_x-a

h-00-a

即

"=1.

ab

例4已知AZBC的三个顶点4—5,0),8(3,—3),C(0.2),求边8C所在直线的方程，以

及这条边上的中线AM所在直线的方程.

解：如图，过8(3,-3),CQ2)的两点式方程为

y-2_x-0

-3-23-0

整理得

5x+3y-6=0.

这就是边BC所在直线的方程.

边8C上的中线是顶点N与边8C中点〃所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为

(3+0-3+21

【三，27

过/(—5,0),两点的直线方程为

y-0x+5

」-03+5，

22

整理可得

x+13y+5=0.

这就是边BC上中线AM所在直线的方程.

♦

练习

5.求经过下列两点的直线的两点式方程.

(1)6(2,1),£(0,-3)；

(2)4(0,5),5(5,0).

【答案】⑴"=；二⑵0-5=x—0

5-0

【解析】

【分析】根据直线的两点式方程求解即可.

【详解】因为直线的两点式方程为：一一L

%f£一玉

因为6（2,1）,7^（0,-3）,

所以直线々巴的两点式方程：第=三；

因为4（0,5）,8（5,0）,

所以直线工8的两点式方程：曰=丹：

6.根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.

（1）在x轴、了轴上的截距分别是2,3；

（2）在x轴、y轴上的截距分别是-5,6.

【答案】（1）：+4=1（图见解析）（2）4+7=1（图见解析）

23-56

【解析】

【分析】由截距式±+4=1直接写出答案即可.

【详解】（1）由截距式得：-+z=l.

23

7.根据下列条件，求直线的方程.

（1）过点（0,5）,且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点（5,0）,且在两坐标轴上的截距之差为2.

【答案】（1）5%-3^+15=0（2）3x—5y—15=0或7x—5y—35=。

【解析】

【分析】（1）根据题意求出直线在X轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.

（2）根据题意求出直线在歹轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.

【详解】（1）因为直线在歹轴上的截距为5,则在x轴上的截距为2-5=-3.

则直线为二+岁=1-5x—3y+15=0.

-35

（2）因为直线在x轴上的截距为5,则在歹轴上的截距为5-2=3或5+2=7.

则直线为1+1=1-3工-5歹-15=0或;+"=1-7x-5y-35=0.

所以直线为3》一5^-15=0或7工一5y一35=0

直线的一般式方程

4

例5已知直线经过点工（6,-4）,斜率为-一，求直线的点斜式和一般式方程.

3

4

解：经过点”（6,-4）,斜率为-弓的直线的点斜式方程是

4

y+4=-y（x-6）,

化为一般式，得

4x+3y—12=0.

例6把直线/的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线/的斜率以及它在x轴与y

轴上的截距，并画出图形.

分析：求直线/在x轴上的截距，即求直线/与x轴交点的横坐标，只要在直线/的方程中

令y=0即可得x的值.

解：把直线/的一般式方程化为斜截式

y=—x+3.

-2

因此，直线/的斜率A=它在y轴上的截距是3.

在直线/的方程x—2少+6=0中，令y=0,得

x=-6,

即直线/在x轴上的截距是-6.

由上面可得直线/与x轴j轴的交点分别为

2(-6,0),5(0,3),

过/,8两点作直线，就得直线/

练习

8.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.

(1)经过点火8,-2),斜率是-；；

(2)经过点网4,2),平行于x轴；

(3)经过点耳(3,-2),)(5,—4)；

3

(4)在x轴、〉轴上的截距分别是,，-3.

【答案】(1)x+2y-4=0；(2)y-2=0；(3)x+y-l=0；(4)2x-y-3=0

【解析】

【分析】(1)由点斜式写出直线方程，并化为一般式；

(2)由点斜式写出直线方程，并化为一般式；

(3)由两点式写出直线方程，并化为一般式；

(4)由截距式写出直线方程，并化为一般式；

【详解】(1)由点斜式写出直线方程丁=一；。-8)-2=-；8+2,

其一般式为x+2y-4=0；

(2)由点斜式写出直线方程V=0x(x-4)+2=2,

其一般式为y-2=o；

y—(—2)x-3y+2x—3

(3)由两点式写出直线方程；:二=不=0.=一丁，

其一般式为X+V-1=0；

工+2=lo冬_2L=i

(4)由截距写出直线方程3-333，

2

其一般式为2x-y-3=0；

9.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.

(1)3x+y-5=0；

⑵“一；

45

(3)x+2y=0-

(4)7x-6y+4=0.

5172

【答案】(1)-3,5；(2)—,-5；(3)—,0；(4)—,—.

4263

【解析】

【分析】直线y=+6的斜率为左，在y轴上的截距为6,故将直线的一般式变为

斜截式，即可得到斜率和在〉轴上的截距.

【详解】(1)3x+y-5=0即歹=-3x+5,斜率为-3，在V轴上的截距为5；

(2)rrh即好；一,斜率为:在，轴上的截距为由

(3)x+2y=0,即歹=一,斜率为,在歹轴上的截距为0；

22

10.已知直线/的方程是4t+段+C=0.

(1)当时，直线/的斜率是多少？当8=0时呢？

(2)系数/,B,C取什么值时，方程/x+8y+C=0表示经过原点的直线？

A

【答案】(1)6k0时，斜率左=一万；当3=0El寸，直线/的斜率不存在；(2)C=0

且48不同时为0.

【解析】

【分析】(1)当时，直接由直线方程求出斜率；当3=0时，直线/的斜率不

存在；

(2)由直线过原点可得C=0,再由48不同时为0即可得解.

A

【详解】(1)当6/0时，直线/的斜率是左=-万；当8=0时，直线/的斜率不存

在；

(2)因为直线Zx+绘+C=0过原点，所以。=0,

所以当。=0且48不同时为0时，方程4丫+跌+。=0表示经过原点的直线.

习题

复习巩固

11.写出满足下列条件的直线的方程.

(1)经过点48,-2),斜率是也;

3

(2)经过点8(-2,0),且与x轴垂直：

(3)斜率是-4,在y轴上的截距是7；

(4)经过4一1,8),8(4,-2)两点；

(5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行；

(6)在x轴、y轴上的截距分别是4,-3.

【答案】(1)V3x—3y—8A/3—6=0(2)x=-2(3)4x+y-7=0(4)2x+y—6—0

(5)y=2；(6)3x—4_y-12=0

【解析】

【分析】(1)利用点斜式求出直线方程；

(2)依题意直接得到直线方程为x=-2；

(3)利用斜截式求出直线方程；

(4)首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程；

(5)依题意可知斜率为0,即可得到直线方程；

(6)利用截距式求出直线方程；

【详解】解：(1)经过点48,-2),斜率是乎；则直线方程为歹+2=*卜-8)，

即氐-3y-8舁6=0

(2)经过点次-2,0),且与x轴垂直；则直线方程为x=-2

(3)斜率是-4,在y轴上的截距是7；则直线方程为y=-4x+7,即4x+y—7=0

-2-8

(4)经过Z(T8),8(4,-2)两点；则斜率左=用曰=一2,所以直线方程为

y-8=-2(x+l),即2x+y-6=0

(5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行；则直线方程为丁=2

(6)在x轴、y轴上的截距分别是4,-3.则直线方程为±+±=1,即3x-4y-12=0

4-3

12.判断/(L3),8(5,7),C(10,12)三点是否共线，并说明理由.

【答案】4B,。三点共线；理由见解析

【解析】

【分析】根据向量共线定理判断即可.

【详解】因为4(1,3),5(5,7),0(10,12),

所以几=(4,4),於=(9,9)，

->4T

因为=

所以4B,C三点共线.

13.已知两点工(7,-4),8(-5,6),求线段的垂直平分线的方程.

【答案】6x-5y-l=0

【解析】

【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定

垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.

【详解】因为两点力(7,-4),3(-5,6),

所以线段相中点坐标为(L1),心尸峥孚=-?，

—5—76

所以线段Z8的垂直平分线的斜率为',

由点斜式可知：线段"5的垂直平分线的方程为：^-l=-|(x-l),

整理得：6x-5y-l=0.

14.已知I-BC1的三个顶点”(8,5),5(4-2),C(-6,3),求经过两边48和ZC的

中点的直线的方程.

【答案】x+2y-9=0

【解析】

【分析】首先求得中点坐标，再根据直线的两点式方程求解即可.

【详解】设和ZC的中点分别为RE,

因为/(8,5),5(4,-2),。(-6,3),

3

所以。(6,5),七(1,4)

3_4

所以直线。E的方程为：I二2，

x-1~6-1

整理得：x+2y-9=0,

经过两边Z8和ZC的中点的直线的方程为x+2y-9=0.

15.一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的重量每增加

1N,弹簧就伸长1.5cm.试写出弹簧的长度/(单位：cm)与所挂物体重量G(单

位：N)之间关系的方程.

【答案】/=14+1.5G

【解析】

【分析】根据题意先求出弹簧的原长，再由条件列出弹簧的长度/(单位：cm)与

所挂物体重量G(单位：N)的关系方程.

【详解】设弹簧的原长是1cm,

・••挂4N的物体时，长20cm.在弹性限度内，

所挂物体的重量每增加1N,弹簧就伸长1.5cm.

20=1+4x1.5,解得L=14cm.

・•.在弹性限度内，弹簧的长度/(单位：cm)

与所挂物体重量G(单位：N)之间关系的方程：/=14+L5G.

16.菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6,求菱形各边所

在直线的方程.

【答案】3x+4y-12=0；3x-4y+12=0；3x+4y+12=0；3x-4y-12=0

【解析】

【分析】根据菱形的结构特征可确定直线经过点，再由点斜式即可求解.

【详解】由题意作出菱形图形，如图，

3

直线6C的方程：y=1(x+4),即3x-4y+12=0,

直线的方程：y=—1(x+4),即3x+4y+12=0,

4

直线ZO的方程：y=-(x-4),即3x—4_y—12=0

17.求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

【答案】3x-2y=0或x+y-5=0

【解析】

【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可.

【详解】(1)当截距为0时•：直线为"-2丁=0。

(2)当截距不为0时、设截距为。，则直线为x+y=。，将尸(2,3)代入解得。=5,

所以直线为x+y-5=0.

综上所述：直线为标-2歹=0或x+y-5=0.

18.求满足下列条件的直线的方程.

(1)经过点2(3,2),且与直线4x+y-2=0平行；

(2)经过点C(2,-3),且平行于过"(1,2)和N(-1,5)两点的直线；

(3)经过点3(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直.

313

【答案】(1)y=-4x+14；(2)y=—x；(3)y——x—

-222

【解析】

【分析】(1)两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；

(2)求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；

(3)两直线垂直，斜率乘积等于-1,求得斜率，从而写出方程；

【详解】(1)与直线4x+y-2=0平行的直线斜率为一4,且经过点〃(3,2)

则直线为V=-4(X_3)+2=-4X+14；

(2)过/(1,2)和N(-1,5)两点的直线斜率为-4=-9，

—1—12

则与MN平行且过点C(2,-3)的直线方程为：y=--(x-2)-3=--x；

(3)直线2x+y-5=0的斜率为一2,与之垂直的直线斜率为:，

则经过点8(3,0),且与直线2x+y—5=0垂直的直线方程为丁=2。-3)=5'-：；

综合运用

19.的三个顶点是2(4,0),6(6,7),C(0,3),求：

(1)边8C上的中线所在直线的方程；

(2)边8c上的高所在直线的方程；

(3)边3c的垂直平分线的方程.

3319

【答案】(1)y——+20；(2)y=—x+6；(3)y=—xH

’222

【解析】

【分析】(1)求得8c的中点坐标，结合N点坐标，求得中线方程；

(2)求得8C的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过血4,0),求得高的方程；

3

(3)由(1)知8c的中点坐标(3,5),由(2)知高的斜率为-写出垂直平分线

2

的方程;

【详解】（1）8c的中点坐标为（亍,亍）=（3,5）

则边BC上的中线所在直线的方程为y=-^-x（x-4）=-5x+20；

3—4

7—424

（2）边5c的斜率为M=则其上的高的斜率为-1,且过力（4,0）,

,33

则边5c上的高所在直线的方程为歹=-2。-4）=-2》+6；

3

（3）由（1）知3c的中点坐标（3,5）,由（2）知高的斜率为-不，

2

3319

则边BC的垂直平分线的方程为y=--（x-3）+5=--x+y.

20.求直线Nx+圾+C=0T,8不同时为0）的系数4B,C分别满足什么关系

时，这条直线有以下性质：

（1）与两条坐标轴都相交；

（2）只与x轴相交；

（3）只与y轴相交；

（4）是x轴所在的直线；

（5）是y轴所在的直线.

【答案】（1）A^O,8*0：（2）A^O,B=0；（3）A=0,8*0；（4）4=0,

8H0,C=0；（5）A^0,5=0,C=0；

【解析】

【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的性质可得；

（2）根据直线只与x轴相交的性质可得；

（3）根据直线只与y轴相交的性质可得；

（4）由x轴所在的直线方程即可得解；

（5）由y轴所在的直线方程即可得解.

【详解】（1）直线4v+8y+C=0（A,8不同时为0）与x轴相交时，

Ax+By+C=0

方程组有唯一解，所以

y=0

同理直线小+为+C=0（48不同时为0）与〉轴相交时,

[Ax+By+C=0

方程组-有唯一解，所以6工0,

|x=A0

所以当/WO,8Ho时，直线Nx+8y+C=0与两条坐标轴都相交；

(2)已知直线只与x轴相交，

所以直线/*+为+C=0与y轴平行或重合，

C

所以当/力0,B=0时，直线x=——只与X轴相交；

A

(3)已知直线只与y轴相交，

所以直线4c+绘+C=0与x轴平行或重合，

C

所以当/=0,8^0时，直线N=—1只与y轴相交；

(4)当2=0,5*0,。=0时，直线y=0是x轴所在的直线；

(5)当ZHO,5=0,C=0时，直线x=0是y轴所在的直线；

21.设点温(%,%)在直线Nx+W+C=0上，求证：这条直线的方程还可以与

/(》-%)+83-汽)=0.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】将点片(％,为)代入直线4c+8y+C=0中，可得&+Wo+C=O与已知

直线方程联立即可求证.

【详解】因为点4(/,义)在直线4v+&+C=0上，所以小。+为°+C=0,

所以AXQ+By。+C=Ax+By+C,E|JAx+By-Ax0-By。=0,

整理可得：工(工一看)+8(P一%)=0.

22.若直线/沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回

到原来的位置.试求直线/的斜率.

【答案】-g

【解析】

【分析】设直线/的方程为y=kx+h,平移后的方程为

y^k(x+3)+b+l=kx+3