2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第58讲随机事件的概率与古典概型教师版

第58讲随机事务的概率与古典概型思维导图学问梳理1．事务的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事务A的概率．3．事务的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系若A发生，则B确定发生事务B包含事务A(事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事务A与事务B相等A＝B并(和)事务A发生或B发生事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交(积)事务A发生且B发生事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)互斥事务A∩B为不行能事务事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅，P(A∪B)＝14．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率为eq\a\vs4\al(1).(3)不行能事务的概率为eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．古典概型(1)特点：①有限性：在一次试验中全部可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．(2)计算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)题型归纳题型1随机事务的关系【例1-1】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A．是对立事务 B．是不行能事务C．是互斥但不对立事务 D．不是互斥事务【解析】选C明显两个事务不行能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事务为互斥不对立事务，故选C.【例1-2】从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事务中，是对立事务的是()A．① B．②④C．③ D．①③【解析】选C“至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，依据取到数的奇偶性知共有三种状况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事务，易知其余都不是对立事务．故选C.【跟踪训练1-1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事务“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事务是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡【解析】选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事务，它是“2张全是移动卡”的对立事务，故选A.【跟踪训练1-2】对飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事务是________________________，互为对立事务的是________．【解析】设I为对飞机连续射击两次所发生的全部状况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事务．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事务．【答案】A与B，A与C，B与C，B与DB与D【名师指导】推断互斥、对立事务的2种方法定义法推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两事务为对立事务，对立事务确定是互斥事务集合法①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥．②事务A的对立事务eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集题型2随机事务的频率与概率【例2-1】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校全部的1000名学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅运用A27人3人仅运用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数；(2)从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变更．现从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变更？说明理由．[解](1)由题知，样本中仅运用A的学生有27＋3＝30(人)，仅运用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不运用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都运用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事务C为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)记事务E为“从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅运用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变更，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变更．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事务一般不简洁发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变更．所以可以认为有变更．答案示例2：无法确定有没有变更．理由如下：事务E是随机事务，P(E)比较小，一般不简洁发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变更．【跟踪训练2-1】我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为0.98.【答案】0.98【跟踪训练2-2】某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的全部可能值为900,300，－100，Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃，由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.【名师指导】1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计值．2．随机事务概率的求法利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会慢慢趋近于某一个常数，这个常数就是概率．题型3互斥事务、对立事务概率公式的应用【例3-1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)易知P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事务为M，则M＝A∪B∪C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事务N，则事务N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事务，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).【跟踪训练3-1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).【跟踪训练3-2】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育熬炼状况，通过分层抽样获得了部分学生一周的熬炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设全部学生的熬炼时间相互独立，求该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的概率．【解】(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，故C班有学生8÷eq\f(1,5)＝40人．(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种状况，而且这些状况是等可能的．当甲的熬炼时间为6小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有2种状况；当甲的熬炼时间为6.5小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为7小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为7.5小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有3种状况；当甲的熬炼时间为8小时时，甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的有4种状况．故该周甲的熬炼时间比乙的熬炼时间长的概率P＝eq\f(2＋3＋3＋3＋4,40)＝eq\f(3,8).【名师指导】求互斥事务的概率的方法(1)干脆法(2)间接法(正难则反)题型4古典概型【例4-1】(1)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变更．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(11,16)(2)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖须要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行其次次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．依据这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)[解析](1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故全部的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(3,3)＝20种．故所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，故选A.(2)分为两个互斥事务：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事务A，记“其次次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事务B，则由题意得P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5)C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故选C.[答案](1)A(2)C【跟踪训练4-1】我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公允的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)【解析】选B甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为eq\f(1,4)，选B.【跟踪训练4-2】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工