重庆市2025届高三数学下学期开学考试试题含解析

Page23留意事项1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要细致核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一样.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题

每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若复数是实数，则实数（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再由已知列式计算作答.【详解】依题意，，因，且z是实数，则，解得，所以实数.故选：A2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一推断，即可选择.【详解】对：简洁知是偶函数，且在单调递减，故错误；对：简洁知是偶函数，当时，，其在单调递增，在单调递减，故错误；对：简洁知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；对：简洁知是奇函数，故错误；故选：C.3.某种包装的大米质量（单位：）听从正态分布，依据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】【分析】依据大米质量，利用正态分布的对称性求出，再列式计算作答.【详解】因大米质量，且，则，所以大米质量在以上的袋数大约为.故选：B4.已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解．【详解】由题意知的定义域为R，且，得为奇函数，且，且在上单调递增．由得，即．解得．故选：B．5.在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时，所得数据如下：测量值6.8毫米6.9毫米7.0毫米7.1毫米7.2毫米次数51510155依据此数据推想，假如再用游标卡尺测量该零件2次，则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为（）A.0.04 B.0.11 C.0.13 D.0.26【答案】C【解析】【分析】依据表格中的数据可知2次测得的平均值为，有两种状况：一次，一次和两次都是，利用古典概型求概率公式计算即可.【详解】2次测得的平均值为，有两种状况：一次，一次，概率；两次都是，概率，，故选：C.6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2024年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的探讨与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的阅历公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（）A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h【答案】B【解析】【分析】依据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：依据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流，放电时间为28.5h.

故选：B.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，利用两角差的正弦公式得到，再平方得到求解.【详解】解：因为，所以．所以，所以，得，因为，所以．故选：C．8.已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（）A.0 B.1 C.0或1 D.1或2【答案】B【解析】【分析】设是函数图象的切点，则由导数的几何意义可求得，设是函数的切点，同样利用导数的几何意义可求出，然后依据零点存在性定理可求得结果【详解】设是函数图象的切点，则，∴（1）又（2），将（1）代入（2）消去整理得：，∴，设是函数的切点，据题意，又故，令，，∴，故，在定义域上为增函数，又，故，故，∴，在上是增函数当时，；当时，；由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个函数零点个数是1，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中（）A.众数可为3 B.中位数可为2 C.极差可为2 D.最大点数可为5【答案】AC【解析】【分析】依据方差、平均数、众数、中位数的定义进行逐项推断.【详解】解：对于选项A：假如五次都为，满意题意，众数为，符合题意，故A正确；对于选项B：若中位数，则出现这组状况方差最小，但此时方差大于，故不符合题意，故B错误；对于选项C：这种状况下方差小于，故C正确；对于选项D：若最大点数为，当方差最小，该组数为，该组数的方差大于，故D错误；故选：AC10.已知直线y=kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则以下正确的结论有（）A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的离心率为C.双曲线的渐近线方程为y=±2x D.【答案】BCD【解析】【分析】设出，得到方程组，求出，或，从而得到离心率，及渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.【详解】以为直径的圆过右焦点，以为直径的圆：设，则，，∴解得：，或，所以，即A错误，B正确.渐近线方程C正确.D选项，不妨设，且点B在第一象限，则，此时同理可得：当时，D正确，故选：BCD.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B.若，且的最小值为，则ω=2C.若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]D.若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】先化简的解析式；由三角函数的图像变换推断选项A；由，可得是函数的最大、小值点，从而可推断B；由在上单调递增，则，可推断选项C；设，即在仅有3个零点，可推断选项D.【详解】函数选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；选项D：设，当时，若在仅有3个零点，即在仅有3个零点则，所以，D正确，故选：ABD．12.已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A.对于随意直线m，均有AE⊥PFB.不存在直线m，满意C.对于随意直线m，直线AE与抛物线C相切D.存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|【答案】AC【解析】【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可推断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可推断；D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可推断.【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直线m，满意，选项B不正确．C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．D选项，如图3，设直线m的方程，，，，由，得．当，即且时，由韦达定理，得，．因为，，所以，又，，所以成立，故D不正确．故选：AC．三、填空題：本题共4小題，每小题5分，共20分.13.已知是两个单位向量，，且，则=________．【答案】##0.5【解析】【分析】依据垂直关系得到，结合向量模长求出，计算出的值.【详解】由题意得，因为是两个单位向量，所以，解得，所以.故答案为：14.正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】取BC中点E，连接SE，DE，则（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，利用余弦定理计算即可得出结果.【详解】取BC的中点E，连接SE，DE，则（或其补角）为异面直线SD与AB所成的角，由题意知，，所以．故答案为：15.以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________．【答案】【解析】【分析】设点在第一象限，可得，由此可确定圆的半径，利用可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，，不妨设点在第一象限，如图所示，由，得：，圆的半径，．故答案为：.16.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为_______.【答案】①②.【解析】【分析】依据翻折后得到的四面体ABCD是由两个等边三角形和两个直角三角形组成，依据直线三角形斜边的中线定理，得出四面体ABCD的外接球的球心，再利用多面体内切球的半径为（是多面体的体积，是多面体的表面积）得出四面体ABCD的内切球的半径，作出截面，利用对称性得为等腰直角三角形，进而得到也为等腰直角三角形从而可求解.【详解】如图（1）（2），在四面体ABCD中，与是边长为2的等边三角形，与是斜边为的等腰直角三角形，设AC中点为则，即为四面体的外接球球心，外接球．设BD的中点为E，则，又所以平面ACE，所以四面体ABCD关于平面ACE对称，同理，所以四面体ABCD关于平面对称，从而其内切球的球心必在线段上，设内切球的半径为r，中，，．由等体积法，即，得，如图（3），作出截面，设内切球与平面ACD、平面ABC分别相切于点G、H，由对称性知点G、H分别在线段、上，且，，由，可知三角形为等腰直角三角形，从而是等腰直角三角形，所以．故答案为：，.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是内切球球心的位置的确定，再作出过两个球心的截面图，数形结合即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（1）求C；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理将化角为边，可得的关系，再结合（1）可求得，再依据三角形的面积公式，即可得解.【小问1详解】解：因，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，则；【小问2详解】因为，，所以，即，因为，所以，所以，所以．18.已知等差数列的公差为正实数，满意，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若，且___________，求数列的前项和为，以下有三个条件：①；②；③从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并依据题意解决问题.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，依据题意求得公差，从而可得出答案；（2）依据数列通项与数列前项和的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法即可得出答案.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得（负值舍去），所以，所以；【小问2详解】解：选①，由，当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，则，两式相减得，所以.选②，由，当时，，所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，以下步骤同①.选③，由，得，两式相减得：，又，，所以，所以数列不是等比数列，不能选择.19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明DE⊥平面，进而依据面面垂直的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而依据空间向量的夹角运算求得答案.【小问1详解】如图，连接BD.在菱形ABCD中，连接BD，∠BAD=60°，所以为正三角形，因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.因为AB//CD，所以DE⊥CD.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以DE⊥平面.又因为平面DEF，所以平面DEF⊥平面.【小问2详解】设，以D为原点，以直线DE，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.设为平面DEF的法向量，由得取，得.由（1），则平面，即为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.某公司对40名试用员工进行业务水平测试，依据测试成果评定是否正式录用以及正式录用后岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节全部40名试用员工全部参与；参与面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在内进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40（1）请完成上面的列联表，并推断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）公司确定：在笔试环节中得分低于85分的员工干脆淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级干脆定为一级无需参与面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若全部被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参与面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：，【答案】（1）表格见解析，没有；（2）①；②.【解析】【分析】（1）依据频率直方图求出得分不低于90分的人数，结合所给的公式和数据进行求解推断即可；（2）①依据古典概型的计算公式，结合和事务的概率公式进行求解即可；②分类运算即可得解.【小问1详解】得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：男女合计优得分不低于90分8412良得分低于90分161228合计241640所以，因此没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；【小问2详解】不低于85分的员工的人数为：，干脆定为一级的概率为，岗位等级初定为二级的概率为：，岗位等级初定为三级的概率为：.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：.21.已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；或【解析】【分析】（1）依据题意列出关于a,b,c的方程，可求得答案;（2）设直线MN方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，求得相关点的坐标，利用三角形面积之间的关系表示出，列方程求得m，可得答案.【小问1详解】由题意知，，因为