高中数学热点题型增分练专题07圆切线与圆最值归类学生版新人教A版选择性必修第一册

专题7圆切线与圆最值归类【题型一】圆最值1：圆上动点与圆心【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（

）A． B．9 C．7 D．【提分秘籍】基本规律一般状况下，圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决。解题时要留意几何法的合理利用，同时还要留意转化方法的运用【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．42.（2024·全国·高二专题练习）已知点，，，动点P满意，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3.（2024·福建·福州三中高二期中）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（

）A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2C．的最大值为 D．的最大值为【题型二】圆最值2：直线动点与圆【典例分析】（2024·江苏·高邮市第一中学高二期末）已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（

）A．1 B．2 C． D．【提分秘籍】基本规律一般状况下，直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离。【变式训练】1.（2024·广东深圳·高二阶段练习）已知点是圆上的动点，直线与轴､轴分别交于两点，当最小时，（

）A． B． C． D．2.（2024·河南·高二开学考试（文））若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（

）A． B． C．1 D．－13.（2024·安徽·高二开学考试）已知直线与圆交于两点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（

）A．内切 B．外离 C．外切 D．相交【题型三】圆最值3：阿波罗尼斯圆【典例分析】（2024·江西·景德镇一中高二期中）已知点，动点满意，则的取值范围（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律解题时，往往会遇到“隐形圆问题”，常规的处理方法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）到定点的距离为定长的动点的轨迹；（2）假如为定点，且动点满意，则动点的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆）（3）假如中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满意，则三角形面积的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二期末）阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，阿波罗尼斯圆就是他的探讨成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满意，则的最大值为（

）A． B． C． D．3.（2024·内蒙古·宁城县蒙古族中学高二阶段练习（理））已知两定点，假如平面内动点满意条件，则的最大值是_____【题型四】圆最值:4：将军饮马型【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知圆上的动点和定点，则的最小值为A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律满意已知圆上点M与两定点A,B，则型距离，可以借助特别点借助三角形相像来转为为两点之间的距离求解。【变式训练】1..（2024·河北省曲阳县第一高级中学高二阶段练习）已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（

）A． B． C． D．2.（2024·湖南省临澧县第一中学高二开学考试）阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的探讨，主要探讨成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的探讨成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来探讨与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（

）A． B．C． D．3.（2024·浙江省杭州学军中学高二期中）已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为________.【题型五】圆最值5：定角范围【典例分析】（2024·全国·高二专题练习）已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【提分秘籍】基本规律和圆的切线有关的角度问题，难度较难大。圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.【变式训练】1.（2024·浙江·高二期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二专题练习）已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．43.（2024·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标的取值范围为______________.【题型六】圆最值6：最短距离【典例分析】（2024·黑龙江·哈尔滨三中高二学业考试）已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律最短距离，可以转化为：1.三角形两边之差小于第三边，共线，则可以取等号。2.利用光学性质，借助对称转化为两点之间距离。【变式训练】1.（2024·江苏·星海试验中学高二阶段练习）一束光线，从点A(-2，2)动身，经x轴反射到圆C：上的最短路径的长度是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二课时练习）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【题型七】切线1:入射与反射光线【典例分析】（2024·重庆南开中学高二阶段练习）自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的全部斜率之和为（

）A． B．2 C． D．4【提分秘籍】基本规律入射光线与反射光线，可以分别找对应光线上点关于“镜面”对称点来求解。【变式训练】1.．（2024·甘肃·白银市第十中学高二期末（理））已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，光线恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．2.（2024·江苏·高二专题练习）一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程的斜率为（

）A． B．或 C． D．或3（2024·全国·高二专题练习）过点的直线经x轴反射后与圆相切，则切线的斜率为（

）A． B． C． D．【题型八】切线2：切点弦方程【典例分析】（2024·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律切点弦方程求解，可以有如下两种思路1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【变式训练】1.（2024·广东·佛山一中高二期中）过点作圆的两条切线，设切点分别为、，则直线的方程为（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二课时练习）过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与圆M：恒有公共点，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．3.．（2024·全国·高二专题练习）过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（

）A． B．6C．8 D．【题型九】切线3：切点弦过定点【典例分析】（2024·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律把圆的切线问题转化为求两圆的公共弦问题，然后就能得到直线的方程，再利用含参直线过定点的解题策略求定点坐标即可.【变式训练】1.（2024·安徽·安庆市其次中学高二期中）圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则直线过定点A． B． C． D．2.（2024·山东·高青县第一中学高二期中）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（

）A． B． C． D．3.（2024·黑龙江·大庆中学高二阶段练习）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，、为切点，则直线经过定点（

）A． B． C． D．【题型十】切线4：切线长最值范围【典例分析】（2024·安徽·舒城育才学校高二阶段练习）已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律圆的切线(1)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；(2)过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的状况，以防漏解．（3）求圆外定点的切线长，多转化为定点、切点、圆心所在三角形。【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）若过直线上一点向圆：作一条切线切于点，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．2.（2024·江西·高二期中（理））已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或3.（2024·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，当切线长最小时，弦的长度为（

）A． B． C． D．【题型十一】切线5：切线三角形与四边形面积最值【典例分析】（2024·浙江·高二专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（

）A． B．2 C． D．【提分秘籍】基本规律切点四边形可以转化为圆外定点、切点、圆心所在三角形。【变式训练】1.（2024·江苏·高二专题练习）过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．或2.（2024·全国·高二课时练习）过圆：上一点作圆：的切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（

）A． B．2 C． D．33.（2012·青海西宁·一模（理））已知圆O：，点P是椭圆C：上一点，过点P作圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB分别交轴、轴于点M、N，则的面积的最小值是A． B．1 C． D．【题型十二】切线6：切点弦最值【典例分析】.（2024·江苏·高二专题练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律求切点弦长度（范围）：1.抓化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。2.转化为圆心到切点弦距离最值求解【变式训练】1.（2024·江苏·高二专题练习）若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点满意，过作单位圆的两条切线，切点分别为，则线段长度的取值范围是______.3.（2024·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知圆与直线，过l上随意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【题型十三】切线7：向量范围【典例分析】（2024·浙江省杭州其次中学高二期中）已知P是函数图象上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（

）A． B． C．0 D．【提分秘籍】基本规律圆切线求向量，属于有难度的题型，借助于定（动）点、切点和圆心所构成的直角三角形来转化求解。涉及到长度，夹角等较多因素。【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）已知圆，，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是A．6 B．5 C．4 D．32.（2024·四川·北大附中成都为明学校高二期中（理））过点作圆C：的切线，切点分别为A，B，则的最小值为A． B． C． D．3.（2024·湖北·武汉外国语学校（武汉试验外国语学校）高二期末）过点P向圆C:作切线，切点分别为A，B.则的最小值为（

）A． B．6 C． D．【题型十四】切线转化综合【典例分析】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是A． B．[,]C． D．）【变式训练】1.（2024·安徽省宣城中学高二开学考试）已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为A．4 B．3 C．2 D．12.（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满意：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（

）A．1 B． C．3 D．73.（2024·全国·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满意的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2024·全国·高二单元测试）若x，y满意，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．无法确定2.（2024·全国·高二专题练习）过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（

）A． B． C． D．3.（2024·四川成都·高二开学考试（理））若两定点，，动点M满意，则动点M的轨迹围成区域的面积为（

）．A． B． C． D．4.（2024·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个好玩的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处动身，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________．5.（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（

）A． B． C． D．6.（2024·重庆·高二阶段练习）一束光线，从点动身，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（

）A． B． C． D．7.（2024·江苏·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．8.（2024·全国·高二专题练习（文））过点D(1,－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线的方程为（

）A．2y－1＝0 B．2y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝09.（2024·江苏·高二单元测试）已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线､，､为切点，则直线过定点（

）A． B． C． D．10.（2024·江苏·高二课时练习）若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．411.（2024·全国·高二专题练习）已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点做圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（

）A．1 B． C．1或 D．212.（2024·江苏·高二专题练习）若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．13.（2024·福建·莆田二中高二阶段练习）已知圆的圆心为为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________．14.（2024·山东德州·高二期末）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中，为切点，若的最大值为120°，则的值为（

）A． B． C．4 D．6培优其次阶——实力提升练1.（2024·福建·闽江学院附中高二期中）已知圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．2.（2024·全国·高二课时练习）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．3.（2024·浙江·杭州市余杭中学高二期中）阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满意：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．4.（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且，点，则的取值范围是（）A． B．C． D．5.（2024·全国·高二课时练习）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A． B． C． D．6.（2024·全国·高二课时练习）已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．107.（2024·福建·厦门一中高二阶段练习）已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（

）A． B． C． D．48.（2024·江西·高二阶段练习（文））已知圆О的方程为，过圆О外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．9.（2024·全国·高二单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为A． B． C． D．10.（2024·全国·高二专题练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（

）A．4 B． C． D．311.（2024·全国·高二专题练习）已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点若四边形的最小面积是，则的值为（

）A． B． C． D．12.（2024·江苏·高二课时练习）过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．313.（2024·江苏·高二专题练习）已知圆，圆，过圆M上随意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是A． B．3 C． D．14.（2024·全国·高二专题练习）已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．培优第三阶——培优拔尖练1.（2024·湖南·长沙市明德中学高二阶段练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（

）A． B． C． D．2.（2024·江苏·高二阶段练习）已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，△APB的面积为（

）A． B．1 C．2 D．3.（2024·重庆市万州其次高级中学高二开学考试）古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满意.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（

）A．轨迹的方程为B．在轴上存在异于的两点，使得C．在上存在点，使得D．当三点不共线时，射线是的角平分线4.（2024·全国·高二专题练习）阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，主要